第四章靜態(tài)場的解主要內(nèi)容邊值問題的分類邊值問題的唯一性定理鏡像法分離變量法有限差分法4.1邊值問題的分類邊界條件：所討論區(qū)域邊界上電位的指定值（邊值）來確定積分常數(shù)。邊值問題：通過微分方程組和相關(guān)邊界條件描述的問題。靜態(tài)場問題通常分為兩大類：1.分布型問題由已知場源（電荷、電流）分布，直接從場的積分公式求空間各點的場分布2.邊值型問題已知場量在場域邊界上的值，求場域內(nèi)的場分布靜態(tài)場邊值問題的解法可分為：1.解析法給出的結(jié)果是場量的解析表示式，如鏡像法、分離變量法2.數(shù)值法通過數(shù)值計算，給出場量的一組離散數(shù)據(jù)，如有限差分法、有限元法邊界條件的類型：實際邊值問題的邊界條件分為三類：1.已知整個邊界上的電位函數(shù)，稱為“狄利克萊”邊界條件2.已知整個邊界上的電位法向?qū)?shù)，稱為“諾伊曼”邊界條件3.已知一部分邊界上的電位函數(shù)和另一部分邊界上的電位法向?qū)?shù)，稱為混合邊界條件格林公式兩式相減，得格林第二恒等式4.2唯一性定理邊值問題的求解是偏微分方程的求解，同時要考慮解得存在性、唯一性和穩(wěn)定性。已知整個邊界上的電位函數(shù)（第一類邊界條件），則場域的解答是唯一的。已知整個邊界上的電位法向?qū)?shù)（第二類邊界條件），則場域的解答是唯一的。已知一部分邊界上的電位函數(shù)和另一部分邊界上的電位法向?qū)?shù)（第三類邊界條件），則場域的解答是唯一的。唯一性定理證明（用格林公式，反證法）用于求解分布在導(dǎo)體附近的電荷產(chǎn)生的場。4.3鏡像法

幾個實例：qq′非均勻感應(yīng)電荷等效電荷非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代

求解位于接地導(dǎo)體板附近的點電荷產(chǎn)生的電位

接地導(dǎo)體球附近有一個點電荷，如圖。q非均勻感應(yīng)電荷q′等效電荷非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代

鏡像法(methodofimages)

實質(zhì)：是以一個或幾個等效電荷代替邊界的影響，將原來具有邊界的非均勻空間變成無限大的均勻自由空間，從而使計算過程大為簡化。

依據(jù)：惟一性定理。因此，等效電荷的引入必須維持原來的邊界條件不變，從而保證原來區(qū)域中靜電場沒有改變，這是確定等效電荷的大小及其位置的依據(jù)。這些等效電荷通常處于鏡像位置，因此稱為鏡像電荷（theimagecharge），而這種方法稱為鏡像法。

關(guān)鍵：確定鏡像電荷的大小及其位置。鏡像電荷位置選擇原則：1.鏡像電荷必須位于求解區(qū)域以外2.鏡像電荷的引入不能改變原問題的邊界條件

局限性：僅僅對于某些特殊的邊界以及特殊分布的電荷才有可能確定其鏡像電荷。

1.點電荷對無限大接地的導(dǎo)體平面的鏡像

介質(zhì)導(dǎo)體qrP

介質(zhì)qrPhh

介質(zhì)

以一個處于鏡像位置的點電荷代替邊界的影響，使整個空間變成均勻的介電常數(shù)為的空間，則空間任一點P的電位由q

及q'

共同產(chǎn)生，即因為無限大接地導(dǎo)體平面的電位為零，求得4.3.1接地導(dǎo)體平面的鏡像

電荷守恒：當(dāng)點電荷q

位于無限大的導(dǎo)體平面附近時，導(dǎo)體表面將產(chǎn)生異性的感應(yīng)電荷，因此，上半空間的電場取決于原先的點電荷及導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷?？梢姡鲜鲧R像法的實質(zhì)是以一個異性的鏡像點電荷代替導(dǎo)體表面上異性的感應(yīng)電荷的作用。根據(jù)電荷守恒原理，鏡像點電荷的電量應(yīng)該等于這些感應(yīng)電荷的總電量，讀者可以根據(jù)導(dǎo)體表面電荷密度與電場強(qiáng)度或電位的關(guān)系證明這個結(jié)論。

半空間等效：上述等效性僅對于導(dǎo)體平面的上半空間成立，因為在上半空間中，源及邊界條件未變。2.線電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像電荷的密度和位置分別為

介質(zhì)導(dǎo)體ρrP

介質(zhì)ρ

rPhh

介質(zhì)

3.點電荷對相交半無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像

如圖，兩半無限大接地導(dǎo)體平面垂直相交。

要滿足在導(dǎo)體平面上電位為零，則必須引入3個鏡像電荷。如圖所示。

對于非垂直相交的兩導(dǎo)體平面構(gòu)成的邊界，若夾角為，則所有鏡像電荷數(shù)目為2n-1個。q

對于半無限大導(dǎo)體平面形成的劈形邊界應(yīng)用鏡像法時，僅當(dāng)這種導(dǎo)體劈的夾角等于

的整數(shù)分之一時，才可求出其鏡像電荷。為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入幾個鏡像電荷。例如，夾角為的導(dǎo)電劈需引入

5

個鏡像電荷。

/3/3q例：真空中，電量為1μC的點電荷位于點P(0,0,1)處，xOy平面是一個無限大的接地導(dǎo)體板。求z軸上電位為10000V的點的坐標(biāo)。解：根據(jù)鏡像法，可知上半空間的電位是xzOPfqo1.點電荷對接地導(dǎo)體球面的鏡像

若導(dǎo)體球接地，導(dǎo)體球的電位為零。為了等效導(dǎo)體球邊界的影響，令鏡像點電荷q'位于球心與點電荷q的連線上。那么，球面上任一點電位為可見，為了保證球面上任一點電位為零，必須選擇鏡像電荷為4.3.2導(dǎo)體球面的鏡像Padrqr

為了使鏡像電荷具有一個確定的值，必須要求比值對于球面上任一點均具有同一數(shù)值。由上圖可見，若要求三角形△OPq

與△

OqP相似，則常數(shù)。由此獲知鏡像電荷應(yīng)為鏡像電荷離球心的距離d應(yīng)為這樣，根據(jù)q及q'

即可計算球外空間任一點的電場強(qiáng)度。fqoPadrqr

若導(dǎo)體球不接地，則位于點電荷一側(cè)的導(dǎo)體球表面上的感應(yīng)電荷為負(fù)值，而另一側(cè)表面上的感應(yīng)電荷為正值。導(dǎo)體球表面上總的感應(yīng)電荷應(yīng)為零值。因此，對于不接地的導(dǎo)體球，若引入上述的鏡像電荷q'

后，為了滿足電荷守恒原理，必須再引入一個鏡像電荷q"，且必須令

顯然，為了保證球面邊界是一個等位面，鏡像電荷q”

必須位于球心。事實上，由于導(dǎo)體球不接地，因此，其電位不等零。由q及q’在球面邊界上形成的電位為零，因此必須引入第二個鏡像電荷q”

以提供一定的電位。qfOPadrq2.點電荷對不接地導(dǎo)體球面的鏡像

真空中一點電荷Q位于導(dǎo)體球附近。導(dǎo)體球半徑為a，點電荷距離球心距離為d（d>a）。求：導(dǎo)體球接地時空間電位分布。解:當(dāng)導(dǎo)體球接地時，由鏡像法，原問題可等效為空間只存在Q和鏡像電荷q’。易知：例則球外空間任意點處電位為：導(dǎo)體球接地，因此球內(nèi)空間電位為0，即：1.點電荷對電介質(zhì)分界平面的鏡像問題：點電荷位于兩種電介質(zhì)分界面上方h，求空間電位分布。分析：在介質(zhì)分界面上將存在極化面電荷，空間電位由極化面電荷和電荷q共同產(chǎn)生。解決問題方法：鏡像法，即用鏡像電荷等效極化電荷作用。qhO1

2

zqhO1

zhq′PR1

R1′

區(qū)域1的電位由q和位于區(qū)域2中的鏡像電荷q′共同產(chǎn)生hO2

PR2

z

區(qū)域2的電位由q和位于區(qū)域1中的鏡像電荷

共同產(chǎn)生4.3.3介質(zhì)平面的鏡像qhO1

zhq′PR1

R1′hO2

zPR2

在z=0面上應(yīng)用電位邊界條件2.線電流對磁介質(zhì)分界平面的鏡像hzx

2

1IO問題：線電流位于兩種磁介質(zhì)分界面上方h，求空間磁場分布。分析：在介質(zhì)分界面上將存在磁化電流，空間中的磁場由磁化電流和直線電流I共同產(chǎn)生。解決問題方法：鏡像法，即用鏡像線電流等效磁化電流作用。

區(qū)域1的磁場由I和位于區(qū)域2中的鏡像線電流I’共同產(chǎn)生

區(qū)域2的的磁場由I和位于區(qū)域1中的鏡像線電流I”共同產(chǎn)生r'hhPzx

1IH1H2OrI''

1hzx

2

1IOhPzx

2I+I''Or''

2為了維持邊界條件不變，求出的上半空間及下半空間的場在邊界上應(yīng)滿足恒定磁場的邊界條件，即。由此求得hPzx

2I+I''Or”

2x

1

1r'hhPzIH1H2H1H2HOrI''例

設(shè)一根載有恒定電流I的無限長導(dǎo)線與無限大的理想導(dǎo)磁平面平行放置，如圖示。導(dǎo)線與平面間的距離為h

，試求上半空間任一點磁場強(qiáng)度。

Xhyx

=

0IOXhyx

=

0IOH1r'hhPyx

0IH2OrI''

0解采用鏡像法。設(shè)在鏡像位置放置一根無限長的恒定電流I

，那么上半空間任一點合成磁場強(qiáng)度為I′=I根據(jù)則因此合成磁場為r'hhPyx

0IH1H2OrI''

0直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系使用鏡像法時必須注意：邊界必須是無限大，或者是具有球或圓柱對稱性