4.3.2

等比數(shù)列的前n項和公式應(yīng)用1.等比數(shù)列前n項和公式：2.等比數(shù)列求和要考慮公比是否為1.3.等比數(shù)列求和的常用方法：錯位相減法.

若等比數(shù)列{an}的公比q≠1，前n項和為Sn，則Sn,S2n－Sn,S3n－S2n成等比數(shù)列,其中公比為qn.復習引入4.等比數(shù)列的片段和性質(zhì)：消元方法：約分或兩式相除思考：你能發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列前n項和公式Sn＝

(q≠1)的函數(shù)特征嗎？探究新知??當q≠1時，即Sn是n的指數(shù)型函數(shù).當q＝1時，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函數(shù).結(jié)構(gòu)特點：qn的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù).例1數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n－2.求{an}的通項公式,并判斷{an}是否是等比數(shù)列.解:當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.當n＝1時，a1＝S1＝31－2＝1，不滿足上式.由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，所以a1，a2，a3不是等比數(shù)列，即{an}不是等比數(shù)列.典例分析思考：還有其他方法判斷{an}是否是等比數(shù)列嗎？思考：若{an}是公比為q的等比數(shù)列，S偶,S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項和與奇數(shù)項和，則S偶,S奇之間有什么關(guān)系？(1)若等比數(shù)列{an}的項數(shù)有2n項，則(2)若等比數(shù)列{an}的項數(shù)有2n＋1項，則S奇＝a1＋a3＋…

＋a2n-1＋a2n+1＝a1＋(a3＋…a2n-1＋a2n+1)＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)＝a1＋qS偶S奇＝a1＋qS偶S偶＝a2＋a4＋…＋a2nS奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1S偶＝a2＋a4＋…＋a2n探究新知??S偶＝qS奇??例2已知等比數(shù)列{an}共有2n項，其和為－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，求公比q.解：由題意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80∴S奇＝－80，S偶＝－160，典例分析變式：若等比數(shù)列{an}共有2n項，其公比為2，其奇數(shù)項和比偶數(shù)項和少100，則數(shù)列{an}的所有項之和為______.300

典例分析

例4去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬噸，其中14萬噸垃圾以填埋方式處理，6萬噸垃圾以環(huán)保方式處理.預計每年生活垃圾的總量遞增5%，同時，通過環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬噸.為了確定處理生活垃圾的預算，請你測算一下從今年起5年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量(精確到0.1萬噸).典例分析分析：由題意可知，每年生活垃圾的總量構(gòu)成等比數(shù)列，而每年以環(huán)保方式處理的垃圾量構(gòu)成等差數(shù)列.因此，可以利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識進行計算.

所以，從今年起5年內(nèi)，通過填埋方式處理的垃圾總量約為63.5萬噸.小試牛刀分組求和法(1)求形如cn＝an±bn的前n項和公式，其中{an}與{bn}是等差數(shù)列或等比數(shù)列；(2)

將等差數(shù)列和等比數(shù)列分開：Tn＝c1

+c2+…+cn

＝(a1

+a2+…+an

)±(b1

+b2+…+bn

)(3)利用等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項和公式來計算Tn.解：變式：

典例分析

(2)這是待定系數(shù)法的應(yīng)用，可以將它還原為(1)中的遞推公式形式，通過比較系數(shù)，得到方程組；(3)利用(2)的結(jié)論可得出解答.

小試牛刀1.求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0).當x≠1時，Sn＝x＋

2x2＋

3x3＋

4x4

＋

…＋

nxnxSn＝

x2＋

2x3＋

3x4＋

…＋

(n－1)xn＋nxn＋1∴(1－x)Sn＝x＋

x2＋

x3＋

x4

＋

…＋

xn

－nxn＋1課堂練習課堂練習課堂練習課堂練習課堂練習課堂小結(jié)1.等比數(shù)列前n項和公式Sn的函數(shù)特征：當q＝1時，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函數(shù).當q≠1時，即Sn是n的指數(shù)型函數(shù).(1)若等比數(shù)列{a