§5.3等比數(shù)列

§5.3等比數(shù)列考點探究·挑戰(zhàn)高考考向瞭望·把脈高考雙基研習(xí)·面對高考雙基研習(xí)?面對高考基礎(chǔ)梳理1．等比數(shù)列的相關(guān)概念及公式相關(guān)名詞等比數(shù)列{an}的相關(guān)概念及公式定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于__________，那么這個數(shù)列叫作等比數(shù)列，這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比．同一個常數(shù)相關(guān)名詞等比數(shù)列{an}的相關(guān)概念及公式通項公式an＝_______等比中項如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使得a，G，b成________，那么稱G為a、b的等比中項，且有G＝________.前n項和公式

Sn＝

a1qn－1等比數(shù)列思考感悟1．b2＝ac是a，b，c成等比數(shù)列的什么條件？提示：b2＝ac是a，b，c成等比數(shù)列的必要不充分條件，因為當b＝0，a，c至少有一個為零時，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比，反之，若a，b，c成等比，則必有b2＝ac.2．等比數(shù)列的性質(zhì)(1)等比數(shù)列{an}滿足________________時，{an}是遞增數(shù)列；滿足_________________時，{an}是遞減數(shù)列．(2)有窮等比數(shù)列中，與首末兩項等距離的兩項的積____．特別地，若項數(shù)為奇數(shù)時，還等于______的平方．(3)對任意正整數(shù)m、n、p、q，若m＋n＝p＋q，則___________.特別地，若m＋n＝2p，則________.相等中間項am·an＝ap·aq思考感悟2．數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝aqn＋b(a，b∈R)，{an}是等比數(shù)列，則a，b滿足的條件是什么？課前熱身1．在等比數(shù)列{an}中，a5＝3，則a3·a7等于(

)A．3

B．6C．9 D．18答案：C2．(2011年南陽調(diào)研)設(shè)a1＝2，數(shù)列{an＋1}是以3為公比的等比數(shù)列，則a4的值為(

)A．80 B．81C．54 D．53答案：A3．(2010年高考重慶卷)在等比數(shù)列{an}中，a2010＝8a2007，則公比q的值為(

)A．2 B．3C．4 D．8答案：A4．(教材習(xí)題改編)設(shè){an}是等比數(shù)列，a1＝2，a8＝256，則a2＋a3＝________.答案：125．若數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，則Sn＝________.答案：2n－1考點探究?挑戰(zhàn)高考考點突破考點一等比數(shù)列的判定及證明例1(2009年高考全全國卷Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)設(shè)bn＝an＋1－2an，證明：：數(shù)列{bn}是等比數(shù)數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公公式．【思路點撥撥】本題第(1)問將an＋2＝Sn＋2－Sn＋1代入可以以得到an的遞推式式，再由由bn＝an＋1－2an代入即證證；第(2)問將bn的通項公公式代入入bn＝an＋1－2an，可得an的遞推式，再再依照題型模模式求解即可可．【解】(1)證明：由已知知有a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3，又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，即bn＋1＝2bn.因此數(shù)列{bn}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列．．考點二等比數(shù)列中基本量的計算等比數(shù)列基本本量的計算是是等比數(shù)列中中的一類基本本問題，解決決此類問題的的關(guān)鍵是熟練練掌握等比數(shù)數(shù)列的有關(guān)公公式，并靈活活運用，在運運算過程中，，還應(yīng)善于運運用整體代換換思想簡化運運算的過程．．尤其要注意意的是，在使使用等比數(shù)列列的前n項和公式時，，應(yīng)根據(jù)公比比q的情況進行分分類討論．例2(1)(2010年高考江西卷卷)等比數(shù)列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，則an＝()A．(－2)n－1B．－(－2)n－1C．(－2)nD．－(－2)n(2)(2010年高考遼寧卷卷)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，已知3S3＝a4－2,3S2＝a3－2，則公比q＝()A．3B．4C．5D．6【思路點撥】根據(jù)題意，建建立關(guān)于首項項a1和公比q的方程組求解解．【答案】(1)A(2)B(3)B【名師點評】等比數(shù)列中有有五個量a1、n、q、an、Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程程(組)求解．變式訓(xùn)練1數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，數(shù)列{an·an＋1}是公比為q(q>0)的等比數(shù)列．．(1)求使anan＋1＋an＋1an＋2>an＋2an＋3(n∈N＋)成立的q的取值范圍；；(2)若bn＝a2n－1＋a2n(n∈N＋)，求{bn}的通項公式．．考點三等比數(shù)列的前n項和及其性質(zhì)等比數(shù)列的性性質(zhì)可以分為為三類：一是是通項公式的的變形，二是是等比中項的的變形，三是是前n項和公式的變變形，根據(jù)題題目條件，認認真分析，發(fā)發(fā)現(xiàn)具體的變變化特征即可可找出解決問問題的突破口口．例3(2011年南陽調(diào)研)在等比數(shù)列{an}中，a1最小，且a1＋an＝66，a2·an－1＝128，前前n項和和Sn＝126，(1)求公公比比q；(2)求n.【思路路點點撥撥】根據(jù)據(jù)等等比比數(shù)數(shù)列列的的性性質(zhì)質(zhì)，，a2·an－1＝a1·an，由由此此可可得得關(guān)關(guān)于于a1、an的方方程程，，結(jié)結(jié)合合Sn＝126可求求得得q和n.考點四等比數(shù)列的綜合問題在解解決決等等差差、、等等比比數(shù)數(shù)列列的的綜綜合合題題時時，，重重點點在在于于讀讀懂懂題題意意，，而而正正確確利利用用等等差差、、等等比比數(shù)數(shù)列列的的定定義義、、通通項項公公式式及及前前n項和和公公式式是是解解決決問問題題的的關(guān)關(guān)鍵鍵．．例4【思路路點點撥撥】對于于(1)，根根據(jù)據(jù)an與Sn的關(guān)關(guān)系系可可求求得得k的值值，，從從而而得得到到{an}的通通項項公公式式；；對對于于(2)，可可先先求求出出{bn}的通通項項公公式式，，然然后后用用錯錯位位相相減減法法求求出出Tn，再再結(jié)結(jié)合合Tn的單單調(diào)調(diào)性性證證明明不不等等式式．．【失誤誤點點評評】本題題易易弄弄不不清清“錯位位相相減減”的項項數(shù)數(shù)而而致致使使解解答答錯錯誤誤．．解：：(1)因為為對對任任意意的的n∈N＋，點點(n，Sn)均在在函函數(shù)數(shù)y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均為為常常數(shù)數(shù))的圖圖像像上上．．所所以以得得Sn＝bn＋r，當n＝1時，，a1＝S1＝b＋r，當n≥2時，，an＝Sn－Sn－1＝bn＋r－(bn－1＋r)＝bn－bn－1＝(b－1)bn－1，又因因為為{an}為等等比比數(shù)數(shù)列列，，所所以以r＝－－1，公公比比為為b，所所以以an＝(b－1)bn－1，方法法感感悟悟方法法技技巧巧2．方方程程觀觀點點以以及及基基本本量量(首項項和和公公比比a1，q)思想想仍仍然然是是求求解解等等比比數(shù)數(shù)列列問問題題的的基基本本方方法法：：在在a1，q，n，an，Sn五個個量量中中，，知知三三求求二二．．(如例例2)3．等等比比數(shù)數(shù)列列的的性性質(zhì)質(zhì)是是等等比比數(shù)數(shù)列列的的定定義義、、通通項項公公式式以以及及前前n項和和公公式式等等基基礎(chǔ)礎(chǔ)知知識識的的推推廣廣與與變變形形，，熟熟練練掌掌握握和和靈靈活活應(yīng)應(yīng)用用這這些些性性質(zhì)質(zhì)可可以以有有效效、、方方便便、、快快捷捷地地解解決決許許多多等等比比數(shù)數(shù)列列問問題題．．(如例例3)4．解解決決等等比比數(shù)數(shù)列列的的綜綜合合問問題題時時，，首首先先要要深深刻刻理理解解等等比比數(shù)數(shù)列列的的定定義義，，能能夠夠用用定定義義法法或或等等比比中中項項法法判判斷斷或或證證明明一一個個數(shù)數(shù)列列是是等等比比數(shù)數(shù)列列；；其其次次要要熟熟練練掌掌握握等等比比數(shù)數(shù)列列的的通通項項公公式式與與前前n項和和公公式式，，能能夠夠用用基基本本量量方方法法和和等等比比數(shù)數(shù)列列的的性性質(zhì)質(zhì)解解決決有有關(guān)關(guān)問問題題．．(如例例4)5．Sn＋m＝Sn＋qnSm.失誤誤防防范范1．把把等等比比數(shù)數(shù)列列與與等等差差數(shù)數(shù)列列的的概概念念和和性性質(zhì)質(zhì)進進行行類類比比，，可可以以加加深深理理解解，，提提高高記記憶憶效效率率．．注注意意三三點點：：(1)等比比數(shù)數(shù)列列的的任任何何一一項項都都不不能能為為0，公公比比也也不不為為0；(2)等比比數(shù)數(shù)列列前前n項和和公公式式在在q＝1和q≠1的情情況況下下是是不不同同的的；；(3)等比比數(shù)數(shù)列列可可看看作作是是比比等等差差數(shù)數(shù)列列高高一一級級的的運運算算，，一般般等等差差數(shù)數(shù)列列中中的的“和”、“差”、“積”形式式類類比比到到等等比比數(shù)數(shù)列列中中就就變變成成“積”、“商”、“冪”的形形式式．．2．由由an＋1＝qan，q≠0，并并不不能能立立即即斷斷言言{an}為等等比比數(shù)數(shù)列列，，還還要要驗驗證證a1≠0.考情分析考向瞭望?把脈高考等比比數(shù)數(shù)列列是是每每年年高高考考必必考考的的知知識識點點之之一一，，考考查查重重點點是是等等比比數(shù)數(shù)列列的的定定義義、、通通項項公公式式、、性性質(zhì)質(zhì)、、前前n項和和公公式式，，題題型型既既有有選選擇擇題題、、填填空空題題，，也也有有解解答答題題，，難難度度中中等等偏偏高高．．客客觀觀題題主主要要考考查查對對基基本本運運算算，，基基本本概概念念的掌掌握握程程度度；；主主觀觀題題考考查查較較為為全全面面，，在在考考查查基基本本運運算算，，基基本本概概念念的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)上上，，又又注注重重考考查查函函數(shù)數(shù)與與方方程程、、等等價價轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化等等思思想想方方法法．．預(yù)測2012年高考考，等等比數(shù)數(shù)列的的定義義、性性質(zhì)、、通項項公式式、前前n項和公公式仍仍是考考查重重點，，應(yīng)特特別重重視等等比數(shù)數(shù)列性性質(zhì)的的應(yīng)用用．規(guī)范解解答例(本題滿滿分12分)(2010年高考考四川川卷)已知等等差數(shù)數(shù)列{an}的前3項和為為6，前8項和為為－4.(1)求數(shù)列列{an}的通項項公式式；