§4.2平面向量基本定理及向量坐標(biāo)表示

考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考向瞭望?把脈高考§4.2平面向量基本定理及向量坐標(biāo)表示雙基研習(xí)?面對(duì)高考雙基研習(xí)?面對(duì)高考基礎(chǔ)梳理1．平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(1)平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)________向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，_________一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝____________.其中，不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組________．不平行存在唯一基底λ1e1＋λ2e2(2)平面向量的坐標(biāo)表示①在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使a＝xi＋yj，把有序數(shù)對(duì)_______叫作向量a的坐標(biāo)，記作a＝________，其中___叫作a在x軸上的坐標(biāo)，__叫作a在y軸上的坐標(biāo)．(x，y)(x，y)yx(x，y)點(diǎn)A2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算向量aba＋ba－bλa坐標(biāo)(x1，y1)(x2，y2)(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)該向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)λbx1y2－x2y1＝0提示：不能，因?yàn)閤2，y2有可能為0，故應(yīng)表示成x1y2－x2y1＝0.

思考感悟1．(2009年高考廣東卷)已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，則向量a＋b(

)A．平行于x軸B．平行于第一、三象限的角平分線C．平行于y軸D．平行于第二、四象限的角平分線解析：選C.∵a＋b＝(0,1＋x2)，∴平行于y軸．課前熱身2．(2009年高考重慶卷)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b與4b－2a平行，則實(shí)數(shù)x的值是(

)A．－2

B．0C．1 D．2答案：D答案：C答案：－2或11考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考點(diǎn)突破考點(diǎn)一平面向量基本定理及其應(yīng)用利用平面向量量基本定理表表示向量時(shí)，，要選擇一組組恰當(dāng)?shù)幕椎讈?lái)表示其他他向量，即用用特殊向量表表示一般向量量．例1【答案】x≤0且0≤x＋y≤1【規(guī)律小結(jié)】用已知向量來(lái)來(lái)表示另外一一些向量是用用向量解題的的基本功，除除利用向量的的加減法、數(shù)數(shù)乘運(yùn)算外，，還應(yīng)充分利利用平面幾何何的一些定理理，因此在求求向量時(shí)要盡盡可能轉(zhuǎn)化到到平行四邊形形或三角形中中，選用從同同一頂點(diǎn)出發(fā)發(fā)的基本向量量或首尾相連連的向量，運(yùn)運(yùn)用向量加減減法運(yùn)算及數(shù)數(shù)乘運(yùn)算來(lái)求求解，即充分分利用相等向向量、相反向向量和線段的的比例關(guān)系，，運(yùn)用加法的的三角形法則則、平行四邊邊形法則、減減法的三角形形法則、三角角形中位線定定理、相似三三角形對(duì)應(yīng)邊邊成比例等平平面幾何的性性質(zhì)，把已知知向量轉(zhuǎn)化為為與未知向量量有直接關(guān)系系的向量來(lái)求求解．變式訓(xùn)練1利用向量的坐坐標(biāo)運(yùn)算解題題，主要就是是根據(jù)相等的的向量坐標(biāo)相相同這一原則則，通過(guò)列方方程(組)進(jìn)行求解．在在將向量用坐坐標(biāo)表示時(shí)，，要分清向量量的起點(diǎn)和終終點(diǎn)坐標(biāo)，也也就是要注意意向量的方向向，不要寫(xiě)錯(cuò)錯(cuò)坐標(biāo)．考點(diǎn)二向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2【思路點(diǎn)撥】建立直角坐標(biāo)標(biāo)系，利用向向量的坐標(biāo)運(yùn)運(yùn)算解答．【答案】2【思維總結(jié)】向量的坐標(biāo)運(yùn)運(yùn)算主要是利利用加、減、、數(shù)乘運(yùn)算法法則進(jìn)行．若若已知有向線線段兩端點(diǎn)的的坐標(biāo)，則應(yīng)應(yīng)先求出向量量的坐標(biāo)，解解題過(guò)程中要要注意方程思思想的運(yùn)用及及正確使用運(yùn)運(yùn)算法則．1．凡遇到與平平行有關(guān)的問(wèn)問(wèn)題時(shí)，一般般要考慮運(yùn)用用向量平行的的充要條件．．2．向量共線的的坐標(biāo)表示提提供了通過(guò)代代數(shù)運(yùn)算來(lái)解解決向量共線線的方法，也也為點(diǎn)共線、、線平行問(wèn)題題的處理提供供了容易操作作的方法．解解題時(shí)要注意意共線向量定定理的坐標(biāo)表表示本身具有有公式特征，，應(yīng)學(xué)會(huì)利用用這一點(diǎn)來(lái)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)和方方程，以便用用函數(shù)與方程程的思想解題題．考點(diǎn)三向量共線(平行)的坐標(biāo)表示(2010年高考考陜西西卷)已知向向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，則m＝________.【思路點(diǎn)點(diǎn)撥】由向量量平行行的充充要條條件列列出關(guān)關(guān)于m的方程程，然然后求求解．．【解析】∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)．∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴1×2－(－1)··(m－1)＝0，∴m＝－1.例3【答案】m＝－1【誤區(qū)警警示】解答本本題過(guò)過(guò)程中中，易易將方方程列列成(－1)××1＋2(m－1)＝0即x1x2＋y1y2＝0而出錯(cuò)錯(cuò)，導(dǎo)導(dǎo)致此此種錯(cuò)錯(cuò)誤的的原因因是：：沒(méi)有有準(zhǔn)確確記憶憶兩個(gè)個(gè)向量量平行行的充充要條條件，，將其其與向向量垂垂直的的條件件混淆淆．向量的的坐標(biāo)標(biāo)運(yùn)算算常在在三角角函數(shù)數(shù)、解解析幾幾何等等知識(shí)識(shí)交匯匯點(diǎn)處處命題題，解解答這這類問(wèn)問(wèn)題的的關(guān)鍵鍵是認(rèn)認(rèn)真領(lǐng)領(lǐng)會(huì)題題中所所給信信息，，并將將所得得的信信息應(yīng)應(yīng)用于于題目目中去去，以以解決決實(shí)際際問(wèn)題題．考點(diǎn)四向量的綜合問(wèn)題已知向向量u＝(x，y)與向量量v＝(y,2y－x)的對(duì)應(yīng)應(yīng)關(guān)系系用v＝f(u)表示．．(1)設(shè)a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向向量f(a)與f(b)的坐標(biāo)標(biāo)；(2)求使f(c)＝(p，q)(p、q為常數(shù)數(shù))的向量量c的坐標(biāo)標(biāo)；(3)證明：：對(duì)任任意的的向量量a、b及常數(shù)數(shù)m、n，恒有有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立．．例4【思路點(diǎn)點(diǎn)撥】本題關(guān)關(guān)鍵是是找出出“函數(shù)”v＝f(u)的對(duì)應(yīng)應(yīng)關(guān)系系，此此處的的變量量為向向量的的坐標(biāo)標(biāo)，因因此，，可通通過(guò)坐坐標(biāo)運(yùn)運(yùn)算來(lái)來(lái)解決決問(wèn)題題．【解】(1)∵a＝(1,1)，∴f(a)＝(1,2××1－1)＝(1,1)．又∵b＝(1,0)，∴f(b)＝(0,2××0－1)＝(0，－1)．(3)證明：：設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，∴f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)．∵mf(a)＝m(a2,2a2－a1)，nf(b)＝n(b2,2b2－b1)，∴mf(a)＋nf(b)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立立．．方法法技技巧巧1．用用向向量量解解答答幾幾何何問(wèn)問(wèn)題題的的一一般般思思路路是是：：選選擇擇一一組組基基底底，，運(yùn)運(yùn)用用平平面面向向量量基基本本定定理理將將條條件件和和結(jié)結(jié)論論表表示示成成向向量量形形式式，，再再通通過(guò)過(guò)向向量量的的運(yùn)運(yùn)算算來(lái)來(lái)解解答答．．(如例例1)2．向向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)運(yùn)運(yùn)算算，，使使得得向向量量的的線線性性運(yùn)運(yùn)算算都都可可用用坐坐標(biāo)標(biāo)來(lái)來(lái)進(jìn)進(jìn)行行，，實(shí)實(shí)現(xiàn)現(xiàn)了了向向量量運(yùn)運(yùn)算算完完全全代代數(shù)數(shù)化化，，將將數(shù)數(shù)與與形形緊緊密密結(jié)結(jié)合合起起來(lái)來(lái)，，就就可可以以使使很很多多幾幾何何問(wèn)問(wèn)題題的的解解答答轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為我我們們熟熟知知的的數(shù)數(shù)量量運(yùn)運(yùn)算算．．(如例例2)方法法感感悟悟3．兩兩個(gè)個(gè)向向量量共共線線的的充充要要條條件件在在解解題題中中具具有有重重要要的的應(yīng)應(yīng)用用，，一一般般地地，，如如果果已已知知兩兩向向量量共共線線，，求求某某些些參參數(shù)數(shù)的的值值，，則則利利用用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2),則a∥b的充充要要條條件件是是x1y2－x2y1＝0””比較較簡(jiǎn)簡(jiǎn)捷捷．．(如例例3)4．對(duì)對(duì)于于向向量量坐坐標(biāo)標(biāo)的的綜綜合合應(yīng)應(yīng)用用，，關(guān)關(guān)鍵鍵是是利利用用已已知知條條件件轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為方方程程或或函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系式式解解決決．．(如例例4)1．?dāng)?shù)數(shù)學(xué)學(xué)上上的的向向量量是是自自由由向向量量，，向向量量a＝(x，y)經(jīng)過(guò)過(guò)平平移移后后得得到到的的向向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)仍仍是是(x，y)．2．若若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則則a∥b(b≠0)的充充要要條條件件是是a＝λb，這這與與x1y2－x2y1＝0在本本質(zhì)質(zhì)上上是是沒(méi)沒(méi)有有差差異異的的，，只只是是形形式式上上不不同同．．失誤誤防防范范考情分析考向瞭望?把脈高考向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)運(yùn)運(yùn)算算和和向向量量共共線線的的坐坐標(biāo)標(biāo)表表示示是是高高考考的的熱熱點(diǎn)點(diǎn)，，題題型型既既有有選選擇擇題題、、填填空空題題，，又又涉涉及及到到解解答答題題，，屬屬于于中中低低檔檔題題目目，，常常與與向向量量數(shù)數(shù)量量積積運(yùn)運(yùn)算算交交匯匯命命題題，，主主要要考考查查向向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)運(yùn)運(yùn)算算及及向向量量共共線線條條件件的的應(yīng)應(yīng)用用．．同同時(shí)時(shí)又又注注重重對(duì)對(duì)函函數(shù)數(shù)與與方方程程、、化化歸歸與與轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化等等思思想想方方法法的的考考查查．．預(yù)測(cè)2012年高考仍仍將以向向量的坐坐標(biāo)運(yùn)算算、向量量共線的的坐標(biāo)表表示為主主要考點(diǎn)點(diǎn)，重點(diǎn)點(diǎn)考查運(yùn)運(yùn)算能力力與應(yīng)用用能力．．(2009年高考廣廣東卷)若平面向向量a，b滿足|a＋b|＝1，a＋b平行于x軸，b＝(2，－1)，則a＝________.【思路點(diǎn)撥撥】利用a＋b平行于x軸，設(shè)出出a＋b的坐標(biāo)．．利用向向量的坐坐標(biāo)運(yùn)算算并分類類討論．．命題探源源例【解析】∵a＋b平行于于x軸，故故可設(shè)設(shè)a＋b＝(m,0)，由|a＋b|＝1?m2＝1，故m＝±1.當(dāng)m＝1時(shí)，a＝(1,0)－b＝(1,0)－(2，－1)＝(－1,1)；當(dāng)m＝－1時(shí)，a＝(－1,0)－b＝(－1,0)－(2，－1)＝(－3,1)．∴a＝(－1,1)或(－3,1)．【答案】(－1,1)或(－3,1)【名師點(diǎn)點(diǎn)評(píng)】(1)本題易易失誤誤的是是：①模的坐坐標(biāo)運(yùn)運(yùn)算不不知，，不能能將模模的關(guān)關(guān)系轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為為坐標(biāo)標(biāo)關(guān)系系；②不理解解向量量與x軸平行行的含含義．．(2)在解決決向量量問(wèn)題題時(shí)，，如果果沒(méi)有有向量量的坐坐標(biāo)形形式，，可以以引入入坐標(biāo)標(biāo)使抽抽象問(wèn)問(wèn)題具具體化化．其其實(shí)，，向量量的坐坐標(biāo)運(yùn)運(yùn)算是是一種種把其其他運(yùn)運(yùn)算轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為為純數(shù)數(shù)字運(yùn)運(yùn)算的的有效效途徑徑，尤尤其是是碰到到幾何何問(wèn)題題時(shí)(一些涉涉及幾幾何圖圖形的的向量量試題題，由由于幾幾何性性質(zhì)不不能直直接應(yīng)應(yīng)用而而使問(wèn)問(wèn)題變變得復(fù)復(fù)雜難難求，，如果能能建立立適當(dāng)當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系系，用用代數(shù)數(shù)式表表示圖圖形的的性質(zhì)質(zhì)，即即圖形形數(shù)字字化，，以“數(shù)”解“形”，可使使解題題思路路清晰晰，便便于問(wèn)問(wèn)題順順利解解決)．實(shí)際際上，，利用用向量量的坐坐標(biāo)運(yùn)運(yùn)算解解題，，主要要就是是根據(jù)據(jù)相等等的向向量坐坐標(biāo)相相同這這一原原則，，通過(guò)過(guò)列方方程(組)進(jìn)行求求解；；在將將向量量用坐坐標(biāo)表表示時(shí)時(shí)，要要看準(zhǔn)準(zhǔn)向量量的起起點(diǎn)和和終點(diǎn)點(diǎn)，也也就是是要注注意向向量的的方向向．名師預(yù)預(yù)測(cè)2