推廣第九章

一元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)注意:善于類(lèi)比,區(qū)別異同多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念教學(xué)內(nèi)容

1平面點(diǎn)集與多元函數(shù)的概念

2多元函數(shù)的極限

3多元函數(shù)的連續(xù)性考研要求

1理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義；2了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。2一.平面點(diǎn)集n維空間

1.平面點(diǎn)集

當(dāng)在平面上引入一個(gè)直角坐標(biāo)系后,平面上的點(diǎn)P與有序二元實(shí)數(shù)組(x,y)之間建立一一對(duì)應(yīng).這樣我們把有序?qū)崝?shù)組和平面上的點(diǎn)等同起來(lái).這種建立了坐標(biāo)系的平面稱(chēng)為坐標(biāo)平面

坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)P的點(diǎn)的集合,稱(chēng)為平面點(diǎn)集,

E={(x,y)|(x,y)具有性質(zhì)P}.32.

鄰域點(diǎn)集稱(chēng)為點(diǎn)P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說(shuō)明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑,也可寫(xiě)成點(diǎn)P0

的去心鄰域記為4在討論實(shí)際問(wèn)題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域?yàn)?。因?yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含.53.

區(qū)域(1)內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集E

及一點(diǎn)P:若存在點(diǎn)P

的某鄰域U(P)E,若存在點(diǎn)P的某鄰域U(P)∩E=,若對(duì)點(diǎn)P

的任一鄰域U(P)既含E中的內(nèi)點(diǎn)也含E則稱(chēng)P為E

的內(nèi)點(diǎn)；則稱(chēng)P為E

的外點(diǎn);的外點(diǎn)則稱(chēng)P為E的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)的全體稱(chēng)為邊界.顯然,E

的內(nèi)點(diǎn)必屬于E,

E的外點(diǎn)必不屬于E,E的邊界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E.6(2)聚點(diǎn)若對(duì)任意給定的,點(diǎn)P的去心鄰域內(nèi)總有E

中的點(diǎn),則稱(chēng)P

是E

的聚點(diǎn).聚點(diǎn)可以屬于E

,也可以不屬于E

(因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集稱(chēng)為E

的導(dǎo)集

.E

的邊界點(diǎn))內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；說(shuō)明：邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；例(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)7D(3)開(kāi)區(qū)域及閉區(qū)域若點(diǎn)集E

的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱(chēng)E

為開(kāi)集；若點(diǎn)集E

E

,則稱(chēng)E

為閉集；若集D

中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于D

的折線相連,開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起稱(chēng)為閉區(qū)域.則稱(chēng)D

是連通的

;連通的開(kāi)集稱(chēng)為開(kāi)區(qū)域,簡(jiǎn)稱(chēng)區(qū)域

;。。E

的邊界點(diǎn)的全體稱(chēng)為E

的邊界,記作E;8例如，在平面上開(kāi)區(qū)域閉區(qū)域9整個(gè)平面點(diǎn)集是開(kāi)集，是最大的開(kāi)域,也是最大的閉域；但非區(qū)域.o對(duì)區(qū)域D

,若存在正數(shù)K

,使一切點(diǎn)PD與某定點(diǎn)A的距離APK,則稱(chēng)D

為有界域,

界域.否則稱(chēng)為無(wú)104.

n

維空間n元有序數(shù)組的全體稱(chēng)為n

維空間,n維空間中的每一個(gè)元素稱(chēng)為空間中的稱(chēng)為該點(diǎn)的第k

個(gè)坐標(biāo).記作即一個(gè)點(diǎn),當(dāng)所有坐標(biāo)稱(chēng)該元素為中的零元,記作O.11的距離記作中點(diǎn)a

的鄰域?yàn)橐?guī)定為與零元O

的距離為12二、多元函數(shù)的概念

引例:圓柱體的體積定量理想氣體的壓強(qiáng)三角形面積的海倫公式13定義1.設(shè)非空點(diǎn)集點(diǎn)集D

稱(chēng)為函數(shù)的定義域;

數(shù)集稱(chēng)為函數(shù)的值域.特別地

,當(dāng)n=2時(shí),有二元函數(shù)當(dāng)n

=3時(shí),有三元函數(shù)映射稱(chēng)為定義在D

上的n

元函數(shù),記作14例1

求的定義域．

解所求定義域?yàn)?5二元函數(shù)的圖形（如下頁(yè)圖）16二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.17例如,圖形如右圖.例如,球面.單值分支:18三、多元函數(shù)的極限定義2.設(shè)n

元函數(shù)點(diǎn),則稱(chēng)A

為函數(shù)(也稱(chēng)為n

重極限)當(dāng)n

=2時(shí),記二元函數(shù)的極限可寫(xiě)作：P0是D

的聚若存在常數(shù)A,對(duì)一記作都有對(duì)任意正數(shù)

,總存在正數(shù),切19現(xiàn)在我們用ε--δ來(lái)定義這個(gè)概念:設(shè)函數(shù)z=f(x,y)的定義域?yàn)镈.p0(x0,y0)是D的聚點(diǎn).如果對(duì)于任意給定的正數(shù)ε,總存在δ>0,使適合不等式的一切點(diǎn)p(x,y)∈D,都|f(x,y)－A|<ε成立.則稱(chēng)A為函數(shù)z=f(x,y)，當(dāng)x→x0,y→y0時(shí)的極限.記作20例1.設(shè)求證：證:故總有要證

21例2.

設(shè)求證：證：故總有要證22

二元函數(shù)的極限稱(chēng)為二重極限.研究二元函數(shù)極限定義時(shí),我們注意以下幾點(diǎn):(1)不研究p0(x0,y0)處的狀態(tài)僅研究p(x,y)→p0(x0,y0)的過(guò)程中,函數(shù)f(x,y)的變化趨勢(shì).所以定義中規(guī)定,函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)p0(x0,y0)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義,但不要求函數(shù)在點(diǎn)p0(x0,y0)有定義.(2)極限值A(chǔ)應(yīng)是一個(gè)確定的常數(shù),與p(x,y)趨近p0(x0,y0)的方式無(wú)關(guān).也就是說(shuō):p(x,y)以任何方式趨于p0(x0,y0),函數(shù)都無(wú)限接近于A.23

若當(dāng)點(diǎn)趨于不同值或有的極限不存在，解:

設(shè)P(x,y)沿直線y=kx

趨于點(diǎn)(0,0),在點(diǎn)(0,0)的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k

值不同極限不同!在(0,0)點(diǎn)極限不存在.以不同方式趨于不存在.例3.

討論函數(shù)函數(shù)24例2

求解解其值隨k的不同而變化，故此極限不存在．25確定極限不存在的方法：26例題

求下列極限27四、多元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)連續(xù)的幾何特征——圖形不斷裂。一元連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可推廣到多元連續(xù)函數(shù)上來(lái)。28例如,

函數(shù)在點(diǎn)(0,0)極限不存在,又如,函數(shù)上間斷.故(0,0)為其間斷點(diǎn).在圓周結(jié)論:

一切多元初等函數(shù)(P61)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).29定理：若*(4)f(P)必在D上一致連續(xù).在D

上可取得最大值M

及最小值m;(3)對(duì)任意(有界性定理)

(最值定理)

(介值定理)

(一致連續(xù)性定理)

閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類(lèi)似的性質(zhì):(證明略)在有界閉域D

上連續(xù),則30例4

討論在(0,0)處的連續(xù)性．解故此函數(shù)在(0,0)處連續(xù).