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第五講復(fù)變函數(shù)的積分（二）1.柯西導(dǎo)數(shù)公式2.解析函數(shù)的不定積分§2.4Cauchy型積分1.定義2.命題證明：

例1解§2.4Cauchy導(dǎo)數(shù)公式本節(jié)研究解析函數(shù)的無(wú)窮次可導(dǎo)性，并導(dǎo)出高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式。研究表明：一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù)，而且有各階導(dǎo)數(shù)，它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過(guò)積分來(lái)表示。這一點(diǎn)與實(shí)變函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別。解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)定理證明：推廣的柯西導(dǎo)數(shù)公式證明：一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)。例2解：例3解:例3解:§2.6解析函數(shù)的不定積分1.引言問(wèn)：2.原函數(shù)（1）定義（2）原函數(shù)的存在性證明：見(jiàn)P63（3）原函數(shù)之間的關(guān)系若H(z)與G(z)是f(z)的兩個(gè)原函數(shù)，則存在復(fù)常數(shù)C,使得H(z)=G(z)+C，即f(z)的任何兩個(gè)原函數(shù)之間僅差一個(gè)常數(shù)。

證明：3.復(fù)變函數(shù)的不定積分設(shè)F(z)是f(z)的一個(gè)原函數(shù)，稱(chēng)F(z)+c(c為任意常數(shù))為f(z)的不定積分，記作4.解析函數(shù)的定積分公式若F(z)是f(z)的一個(gè)原函數(shù)，則證明：證畢.

例4解：（法1)(法2)例5解：例6計(jì)算下列積分：答案：5.莫列拉定理證明：與證明原函數(shù)存在性的方法類(lèi)似，故略。注：小結(jié)：1.柯西型積分及其解析性；2.柯西導(dǎo)數(shù)公式，解析函數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù)；3.復(fù)變函數(shù)的原函數(shù)，解析函數(shù)的不定積分；5.利用柯西導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分；6.利用解析函數(shù)的牛頓-萊布尼茲公式計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分。4.莫列拉定理（判斷函數(shù)解析的充分條件）求積分的方法小結(jié)作業(yè)：P75

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