專題09法向量秒求技巧導(dǎo)圖技巧導(dǎo)圖技巧詳講技巧詳講叉乘法求解法向量掐頭去尾交叉法求法向量說(shuō)明：兩種方法的實(shí)質(zhì)是一樣，都可以使用例題舉證例題舉證【例1】（2020·遼寧節(jié)選）已知平面上三點(diǎn)，，，則平面的一個(gè)法向量為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解法一：常規(guī)法由已知，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，可得，取，可得，，所以，平面的一個(gè)法向量為.故選：B.解法二：叉乘法由已知，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為解法三：掐頭去尾交叉法【例2】（2020·全國(guó)）已知，，，則下列向量是平面法向量的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】解法一：常規(guī)法,設(shè)為平面的法向量，則，化簡(jiǎn)得，∴，故選C.解法二：叉乘法解法三：掐頭去尾交叉法技巧強(qiáng)化技巧強(qiáng)化1．（2020·全國(guó)）在三棱錐中，、、兩兩垂直，，，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則下列向量中是平面的法向量的是（）A． B．C． D．【解析】解法一：常規(guī)法，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由則，解得，．又，因此，平面的一個(gè)法向量為.故選：A.解法二：叉乘法，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為解法三：掐頭去尾交叉法，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為2．（多選）（2020·南京市第十四中學(xué)）已知6，，3，，則下列各向量中是平面是坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)法向量的是（）A． B． C．4， D．4，【答案】BD【解析】解法一：常規(guī)法設(shè)平面是坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)法向量是y，，則即得，令，解得令，解得故或，．故選：BD．解法二：叉乘法解法三：掐頭去尾交叉法3．（2020·天津市第五十五中學(xué)）如圖，長(zhǎng)方體中，，，，，分別是，的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，分別以，，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則平面的一個(gè)法向量是___________.【答案】，3，【解析】解法一：常規(guī)法長(zhǎng)方體中，，，，，分別是，的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，分別以，，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，4，，，2，，，4，，，2，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，，，則，取，得，3，，則平面的一個(gè)法向量是，3，.故答案為：，3，.解法二：叉乘法，4，，，2，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，，，解法三：掐頭去尾交叉法4．（2020·魚(yú)臺(tái)縣第一中學(xué)）如圖，四棱柱的底面是正方形，為底面中心，平面，.平面的法向量________.【答案】（答案不唯一）【解析】解法一：常規(guī)法是正方形，且，，，，，，，，，，故，故，∵向量是平面OCB1的法向量，，，故，，取，故，平面的法向量故答案為：（答案不唯一）5．（2020·全國(guó)）已知，，.求平面的一個(gè)法向量；【答案】平面的一個(gè)法向量為（答案不唯一）；【解析】解法一：常規(guī)法因?yàn)椋?，，所以，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則有，所以，不妨令，則，所以平面ABC的一個(gè)法向量為；解法二：叉乘法所以，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，解法三：掐頭去尾交叉法（2）若存在實(shí)數(shù)，，使，即，則，解得，所以，即向量與平面平行.6．（2020·河南鄭州市·高三月考）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，為底面圓心，點(diǎn)，在底面圓周上，且，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)．求證：；若圓錐的底面半徑為，高為，求直線與平面所成的角的正弦值．【答案】證明見(jiàn)解析；.【解析】由題意，得底面圓，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，，底面圓，在底面圓上，．，為正三角形，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，又因?yàn)椋移矫?，平面，平面，平面，．解法一：常?guī)法如圖，以為原點(diǎn)，，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，故，，，設(shè)平面的法向量為，由，可得，令，得為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成的角的正弦值為．解法二：叉乘法，，設(shè)平面的法向量為，解法三：掐頭去尾交叉法7．（2020·浙江衢州市）如圖，在三棱錐P—ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D為PC中點(diǎn)，E為AD中點(diǎn)，PA＝AC＝2，BC＝1．（1）求證：AD⊥平面PBC：（2）求PE與平面ABD所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）證明：∵平面ABC，∴又因?yàn)?，∴平面PAC，∴．∵，D為PC中點(diǎn)，∴，又∵，∴平面PBC；解法一：常規(guī)法以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，，，∴，，∴，，．設(shè)平面ABD的法向量為，則，令，則，得．設(shè)PE與平面ABD所成角為，則．解法二：叉乘法，．設(shè)平面ABD的法向量為，設(shè)PE與平面ABD所成角為，則．解法三：掐頭去尾交叉法設(shè)PE與平面ABD所成角為，則．8．（2020·河北邢臺(tái)市·邢臺(tái)一中高三月考=）已知四棱錐的底面是直角梯形，，，且，，為的中點(diǎn).求證：；求直線與平面所成角的正弦值.【答案】證明見(jiàn)解析；.【解析】因?yàn)?，所以，又為的中點(diǎn)，所以，，連接，在中，為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)椋?，又，所以平?又平面，所以.解法一：常規(guī)法如圖，以為原點(diǎn)，分別以，所在直線為軸，軸，過(guò)點(diǎn)且與平行的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得令，可得.設(shè)直線與平面所成角為，則.即直線與平面所成角的正弦值為.解法二：叉乘法，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則.即直線與平面所成角的正弦值為.解法三：掐頭去尾交叉法，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則.即直線與平面所成角的正弦值為.9．（2020·四川瀘州市·瀘縣五中高三月考）如圖，四棱錐中，平面，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，為中點(diǎn).（1）求證：；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）【解析】（1）證明：∵底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，為中點(diǎn)，∵，.∵平面，平面，∴.∵∴平面，∵平面，∴，∵.∴平面，∵平面，∴.（2）解法一：常規(guī)法以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，得.設(shè)平面的一個(gè)法向量為.則，取.得，，∴二面角的正弦值為解法二：叉乘法（法向量求解略）解法三：掐頭去尾交叉法（法向量求解略）10．（2020·河北省晉州市）如圖，棱錐P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.（1）求證：BD⊥平面PAC；（2）求二面角P—CD—B余弦值的大?。弧敬鸢浮浚?）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.在Rt△BAD中，AD=2，BD=，∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），∴∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，故BD⊥平面PAC.解法一：常規(guī)法由（1）得.設(shè)平面PCD的法向量為，則，即，∴，故平面PCD的法向量可取為,∵PA⊥平面ABCD，∴為平面ABCD的法向量.設(shè)二面角P—CD—B的大小為，依題意可得，故二面角P—CD—B余弦值的大小為.解法