..§9.函數(shù)與方程..一、知識(shí)要點(diǎn)1.零點(diǎn)的概念〔1定義使函數(shù)的實(shí)數(shù)的值叫的零點(diǎn).〔2幾何意義及代數(shù)意義的零點(diǎn)曲線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)方程的實(shí)根.2.零點(diǎn)的性質(zhì)〔1函數(shù)的圖象穿過零點(diǎn)時(shí),函數(shù)值變號(hào)；〔2相鄰兩零點(diǎn)之間的函數(shù)值同號(hào).3.零點(diǎn)存在性的判斷〔零點(diǎn)定理〔1在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)滿足,則至少存在一個(gè)實(shí)數(shù),使得,即在上至少存在一個(gè)零點(diǎn).若在上嚴(yán)格單調(diào),則在上存在唯一實(shí)數(shù),使得.4.求方程的實(shí)根〔或判斷實(shí)根個(gè)數(shù)的方法〔1代數(shù)法：解方程；〔2數(shù)形結(jié)合法：求曲線與軸的交點(diǎn)；〔3輔助函數(shù)法：求曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).5.用"二分法"求零點(diǎn)的近似值〔1給定區(qū)間及精確度,驗(yàn)證；〔2求區(qū)間的中點(diǎn),計(jì)算；〔3驗(yàn)證與的符號(hào)：①若,則為零點(diǎn)；②若,則零點(diǎn),令；③若,則零點(diǎn),令；④判斷是否成立,若成立,則任取中的一個(gè)數(shù)為零點(diǎn),否則,重復(fù)②至④的步驟.二、考點(diǎn)演練題型一：確定零點(diǎn)所在的區(qū)間1.設(shè)函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為,則所在的區(qū)間是〔A.B.C.D.2.已知函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)的零點(diǎn),則________.題型二：確定區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)3.若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為,且,則關(guān)于的方程的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為________.4.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),,則方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為________.題型三：利用零點(diǎn)確定參數(shù)的值或取值范圍5.設(shè)方程的根為,方程的根為,則的值為______.6.已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn),則的取值范圍是________.7.設(shè)是定義在R上的偶函數(shù),對(duì)于,都有,且當(dāng)時(shí),,若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則的取值范圍是________.題型四：零點(diǎn)的綜合應(yīng)用8.設(shè)函數(shù).〔1設(shè),證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；〔2設(shè),若對(duì)于,有,求的取值范圍；〔3在〔1的條件下,設(shè)是在內(nèi)的零點(diǎn),判斷數(shù)列的增減性.9.設(shè)函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),.〔1求的單調(diào)區(qū)間及最大值；〔2討論關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)...§9.函數(shù)與方程..一、知識(shí)要點(diǎn)1.零點(diǎn)的概念〔1定義使函數(shù)的實(shí)數(shù)的值叫的零點(diǎn).〔2幾何意義及代數(shù)意義的零點(diǎn)曲線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)方程的實(shí)根.2.零點(diǎn)的性質(zhì)〔1函數(shù)的圖象穿過零點(diǎn)時(shí),函數(shù)值變號(hào)；〔2相鄰兩零點(diǎn)之間的函數(shù)值同號(hào).3.零點(diǎn)存在性的判斷〔零點(diǎn)定理〔1在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)滿足,則至少存在一個(gè)實(shí)數(shù),使得,即在上至少存在一個(gè)零點(diǎn).若在上嚴(yán)格單調(diào),則在上存在唯一實(shí)數(shù),使得.4.求方程的實(shí)根〔或判斷實(shí)根個(gè)數(shù)的方法〔1代數(shù)法：解方程；〔2數(shù)形結(jié)合法：求曲線與軸的交點(diǎn)；〔3輔助函數(shù)法：求曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).5.用"二分法"求零點(diǎn)的近似值〔1給定區(qū)間及精確度,驗(yàn)證；〔2求區(qū)間的中點(diǎn),計(jì)算；〔3驗(yàn)證與的符號(hào)：①若,則為零點(diǎn)；②若,則零點(diǎn),令；③若,則零點(diǎn),令；④判斷是否成立,若成立,則任取中的一個(gè)數(shù)為零點(diǎn),否則,重復(fù)②至④的步驟.二、考點(diǎn)演練題型一：確定零點(diǎn)所在的區(qū)間1.設(shè)函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為,則所在的區(qū)間是〔A.B.C.D.[解析]令.則；；.所以,所以所在的區(qū)間是.選B.2.已知函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)的零點(diǎn),則________.[解析]令,則,,所以的零點(diǎn),則.題型二：確定區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)3.若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為,且,則關(guān)于的方程的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為________.[解析],因?yàn)槭堑膬蓚€(gè)極值點(diǎn),所以是的兩根,于是方程的解為.不妨令,因?yàn)?所以同圖象知有兩解,只有一解,所以共有3個(gè)實(shí)數(shù)解.4.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí),,則方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為________.[解析]方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)即為函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).由已知得是周期為2的周期函數(shù),其圖象如圖所示,當(dāng)時(shí),,所以共有9個(gè)交點(diǎn),即方程有9個(gè)實(shí)數(shù)解.題型三：利用零點(diǎn)確定參數(shù)的值或取值范圍5.設(shè)方程的根為,方程的根為,則的值為______.[解析]即為與的圖象的交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；即與的圖象的交點(diǎn)N的橫坐標(biāo).因?yàn)榕c的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,直線也關(guān)于對(duì)稱,所以兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱,于是與的交點(diǎn)P即為MN的中點(diǎn),所以.6.已知函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn),則的取值范圍是________.[解析]在上存在點(diǎn),其關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)在的圖象上,所以,即.等價(jià)于函數(shù)在存在零點(diǎn).因?yàn)?所以在遞增,當(dāng)時(shí),,要使在存在零點(diǎn),只需,即,所以.7.設(shè)是定義在R上的偶函數(shù),對(duì)于,都有,且當(dāng)時(shí),,若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則的取值范圍是________.[解析]方程在有7個(gè)實(shí)數(shù)根,即為與的圖象有7個(gè)交點(diǎn),由已知得是周期為2的周期函數(shù),由圖象得,解之得.········題型四：零點(diǎn)的綜合應(yīng)用8.設(shè)函數(shù).〔1設(shè),證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；〔2設(shè),若對(duì)于,有,求的取值范圍；〔3在〔1的條件下,設(shè)是在內(nèi)的零點(diǎn),判斷數(shù)列的增減性.[解析]〔1當(dāng)時(shí),..又因?yàn)楫?dāng)時(shí),,,.〔2當(dāng)時(shí),.對(duì)任意上的最大值與最小值之差.據(jù)此分類討論如下：.........綜上得.〔3證法一：設(shè)是在內(nèi)的唯一零點(diǎn)..則.又由〔1知在上遞增,所以.所以數(shù)列是遞增數(shù)列.9.設(shè)函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),.〔1求的單調(diào)區(qū)間及最大值；〔2討論關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù).[解析]〔1.令,則.當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.于是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.最大值為.〔2令,.①當(dāng)時(shí).,則,則.因?yàn)?所以,因此在<1,＋∞>上單調(diào)遞增.②當(dāng)時(shí).,則.則.因?yàn)?,所以.又,所以,即,因此g<x>在<