第4章平面問題高精度單元4.2矩形單元4.36節(jié)點(diǎn)三角形單元簡介矩形單元討論單元位移模式單元應(yīng)力、應(yīng)變單元剛度矩陣單元簡介面積坐標(biāo)4.1提高有限元求解精度的途徑簡單三角形單元缺點(diǎn)提高有限元求解精度的途徑高精度單元的原理單元位移模式§4.1提高有限元求解精度的途徑三節(jié)點(diǎn)三角形單元精度低，收斂慢，在單元內(nèi)不能反映應(yīng)力應(yīng)變的變化。這是因?yàn)樵搯卧挥?個節(jié)點(diǎn)，單元自由度少，單元位移模式只能是線性函數(shù)，描述單元內(nèi)位移變化的能力差。第一個途徑是對某一種特定類型的單元采用網(wǎng)格加密，依靠單元的收斂性提高求解精度；第二個途徑是對一定的單元網(wǎng)格和單元尺寸，采用高精度單元以提高求解精度。一、簡單三角形單元的缺點(diǎn)二、提高有限元求解精度的途徑途徑：主要是增加單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)。三、建立高精度單元的原理和途徑原理：提高單元位移模式多項(xiàng)式的階次，從而增強(qiáng)單元擬合局部區(qū)域位移、應(yīng)力變化的能力。對平面問題，先考慮采用4節(jié)點(diǎn)矩形單元和6節(jié)點(diǎn)三角形單元。§4.1提高有限元求解精度的途徑§4.2矩形單元一、矩形單元及其位移模式矩形單元邊長分別為2a、2b。取4個頂點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)。不失一般性地假設(shè)矩形的2個對稱軸分別為x，y軸。每節(jié)點(diǎn)2個位移分量，因此單元共8個自由度。單元節(jié)點(diǎn)編號為k，l，m，n單元節(jié)點(diǎn)位移列陣為：單元內(nèi)位移多項(xiàng)式設(shè)4項(xiàng)，為雙線性多項(xiàng)式：寫成矩陣形式為：其中為形函數(shù)矩陣§4.2矩形單元通過節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和節(jié)點(diǎn)位移代入，把廣義坐標(biāo)（多項(xiàng)式系數(shù)）代換為節(jié)點(diǎn)位移分量后得到插值形式的位移函數(shù)：各形函數(shù)為：形函數(shù)矩陣§4.2矩形單元由于邊界平行于坐標(biāo)軸，矩形單元位移模式沿單元邊界（x，y方向）都是線性變化，沿其他方向則按2次函數(shù)變化。稱為“雙線性”位移函數(shù)。由于單元位移在單元邊界上線性變化，而單元之間的公共邊界上有2個公共節(jié)點(diǎn)，所以單元邊界間的位移是連續(xù)的，單元滿足協(xié)調(diào)性條件。和簡單三角形單元一樣，矩形單元位移模式中包含了完全一次多項(xiàng)式，所以滿足完備性條件。因此矩形單元的收斂性得到保證。顯然，上述形函數(shù)滿足形函數(shù)性質(zhì)?！?.2矩形單元二、單元應(yīng)變和應(yīng)力

形函數(shù)矩陣經(jīng)過微分算子矩陣作用后得到3×8應(yīng)變矩陣：單元位移模式代入平面問題幾何方程：§4.2矩形單元由平面問題物理方程（應(yīng)力～應(yīng)變關(guān)系）得到：對于矩形單元，其單元上應(yīng)力、應(yīng)變不再是常數(shù)，而是一定程度上呈線性變化，即：x方向正應(yīng)變、正應(yīng)力隨y坐標(biāo)線性變化；y方向正應(yīng)變和正應(yīng)力隨x坐標(biāo)線性變化。因此，在一定條件下，精度會高一階?！?.2矩形單元三、矩形單元剛度矩陣矩形單元剛度矩陣導(dǎo)出的原理和方法同簡單三角形單元。計(jì)算式如下：可以通過積分計(jì)算出精確的剛度矩陣元素，見P51。§4.2矩形單元四、矩形單元討論4節(jié)點(diǎn)矩形單元采用了雙線性位移模式，應(yīng)力基本上沿坐標(biāo)軸呈線性變化，因而精度比3節(jié)點(diǎn)三角形單元高。由于位移模式在單元邊界上線性變化，并且根據(jù)單元公共邊界上兩個共同節(jié)點(diǎn)位移插值得到，單元的協(xié)調(diào)性得到滿足，同時(shí)也滿足完備性，因此單元是收斂的。單元要求兩對邊平行于坐標(biāo)軸，因而不能模擬復(fù)雜幾何邊界，單元網(wǎng)格疏密不能過渡，這是矩形單元的固有缺點(diǎn)。矩形單元可以與3節(jié)點(diǎn)三角形單元結(jié)合使用。如果突破幾何上的限制，成為任意方位的任意四邊形單元，便可成為實(shí)用的單元?！?.2矩形單元§4.36節(jié)點(diǎn)三角形單元簡介

6節(jié)點(diǎn)三角形單元

三角形單元天然具有很好的幾何適應(yīng)性，如果增加三角形單元位移模式多項(xiàng)式的階數(shù)，就能成為實(shí)用的單元。考慮圖示6節(jié)點(diǎn)三角形單元，單元每邊中點(diǎn)設(shè)一個節(jié)點(diǎn)，則單元有12個自由度，因此位移模式恰好取完全二次多項(xiàng)式：一、單元概述§4.36節(jié)點(diǎn)三角形單元簡介顯然單元滿足完備性要求。由于該位移模式?jīng)Q定了單元邊界上位移呈二次拋物線分布，相鄰單元公共邊界上有三個公共節(jié)點(diǎn)，正好能夠保證相鄰單元在邊界上位移的連續(xù)性，因而是協(xié)調(diào)元，單元滿足收斂條件。該單元應(yīng)變、應(yīng)力隨坐標(biāo)完全呈線性變化，屬于高精度單元。進(jìn)行廣義坐標(biāo)代換后位移模式仍可寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：但是，采取如前面3節(jié)點(diǎn)單元建立形函數(shù)的辦法過于復(fù)雜，下面介紹用三角形單元的面積坐標(biāo)描述單元位移模式和形函數(shù)的方法。§4.36節(jié)點(diǎn)三角形單元簡介三角形單元上的面積坐標(biāo)面積坐標(biāo)的定義如圖所示。三角形中任意一點(diǎn)的位置用三個參數(shù)來表示，稱為面積坐標(biāo)。面積坐標(biāo)（Li,Lj,Lm）定義為三個比值：二、面積坐標(biāo)下6節(jié)點(diǎn)三角形單元分析§4.36節(jié)點(diǎn)三角形單元簡介因此，單元內(nèi)任一點(diǎn)的面積坐標(biāo)滿足關(guān)系：

Li+Lj+Lm=1

即3個面積坐標(biāo)只有2個面積坐標(biāo)是獨(dú)立的。面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間有確定的變換關(guān)系，因此，對三角形單元的描述完全可以用面積坐標(biāo)進(jìn)行。直角坐標(biāo)表示面積坐標(biāo)不難導(dǎo)出下列變換關(guān)系：顯然，面積坐標(biāo)與3節(jié)點(diǎn)三角形單元的形函數(shù)完全相同。矩陣形式：§4.36節(jié)點(diǎn)三角形單元簡介面積坐標(biāo)表示直角坐標(biāo)不難導(dǎo)出下列變換關(guān)系：矩陣形式：§4.36節(jié)點(diǎn)三角形單元簡介利用上面變換式，三角形單元上的任何多項(xiàng)式函數(shù)可以方便地在兩種坐標(biāo)之間轉(zhuǎn)換。面積坐標(biāo)的各種形式冪函數(shù)在三角形上的積分有很簡便的計(jì)算公式。面積坐標(biāo)表示的6節(jié)點(diǎn)三角形單元形函數(shù)根據(jù)形函數(shù)性質(zhì)直接構(gòu)造