Chapter2測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理§2.1測量誤差概述§2.2測量誤差的類型§2.3函數(shù)誤差的基本問題與關(guān)系§2.4誤差的合成與分配§2.5有效數(shù)字及數(shù)據(jù)舍入規(guī)則§2.6測量設(shè)計練習題§2.3函數(shù)誤差的基本問題與關(guān)系1.基本概念：

在間接測量中,是通過直接測量與被測量有一定函數(shù)關(guān)系的中間量,算出被測量。設(shè)：間接測量參數(shù)間關(guān)系：用泰勒公式將等號右側(cè)展開因為Δx?0，∴(Δx)2

或(Δx1·Δx2)等高階小量可以略去，則：§2.3函數(shù)誤差的基本問題與關(guān)系絕對誤差傳遞公式相對誤差傳遞公式等式兩邊同除y：§2.3函數(shù)誤差的基本問題與關(guān)系絕對誤差傳遞公式,相對誤差傳遞公式,2.加深認識：§2.4

誤差的合成與分配

研究間接測量的誤差要解決下列兩方面問題：

①誤差合成：由被測量與各參數(shù)間函數(shù)關(guān)系

及

各參數(shù)測量值的誤差，求函數(shù)的總誤差。例，功率、電能、增益等量值的測量，一般都是通過電壓、電流、電阻及時間等直接測量值計算出來的。

②誤差分配：由各參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系及對總誤差的要求，確定各個參數(shù)測量的誤差。例如：制定測量方案時，當總誤差由測量任務被限制在某一允許范圍內(nèi)時，如何確定各參數(shù)誤差的允許界限?這就是由總誤差求分項誤差的問題。它在實際測量中具有重要意義。

又例：制造一種測量儀器，要保證儀器的標稱誤差不超過規(guī)定的準確度等級，應對儀器各組成單元的允許誤差提出分項誤差要求。基本概念：一、隨機誤差的合成式中：設(shè)：間接測量參數(shù)間關(guān)系：

在對X1、X2、…Xm進行m次等精密度測量與計算，獲各量的σ1σ2…σm則：二、系統(tǒng)誤差的合成1.確定性系統(tǒng)誤差的合成當隨機誤差δj不計時,例：有5個1000Ω的電阻串聯(lián)，若各電阻產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差分別為：εl＝4Ω、ε2＝5Ω，ε3＝-3Ω

ε4＝6Ω

ε5＝4Ω；求總電阻的相對誤差γR

。

確定性系統(tǒng)誤差

可直接由誤差傳遞公式進行合成。

------大小與符號均已確定的系統(tǒng)誤差2.系統(tǒng)不確定度的合成對于只知道誤差限,而不掌握其大小和符號的系統(tǒng)誤差稱為系統(tǒng)不確定度，用

表示。相對系統(tǒng)不確定度用表示。例如，儀器儀表的基本誤差和附加誤差都屬此類。

(1)算術(shù)(絕對值)綜合法相對系統(tǒng)不確定度其中：絕對系統(tǒng)不確定度

例P19-1

用伏安法測電阻。所用電壓表為0.2級、250V；測量值為200V。電流表為0.2級、3A；測量讀數(shù)為2A。計算電阻的測量誤差。

解：函數(shù)式及測量值：根據(jù)相對系統(tǒng)不確定度公式一般情況下

積商函數(shù)的算術(shù)不確定度為：算術(shù)合成法

適合于局部誤差較少的情況。當局部誤差較多時，各局部誤差的符號會有正有負，∴會抵消一部分。這時再用算術(shù)合成法雖然保險，但夸大了誤差范圍。這時可采用方和根合成法。(2)

方和根綜合法系統(tǒng)絕對不確定度系統(tǒng)相對不確定度

例P19-2

5個名義值為1000Ω、0.1級標準電阻串聯(lián)?？偯x值為5000Ω。計算總電阻的誤差。采用算術(shù)合成法：

解：采用方和根合成法：例:

用DA—16型晶體管毫伏表的3V量程測量一個100kHz的1.5V電壓。已知該儀表的基本誤差為±3％(1kHz時)，頻率附加誤差γj＝±3％(在20Hz~lMHz范圍內(nèi))。試求相對系統(tǒng)不確定度。相對系統(tǒng)不確定度最大示值相對誤差可見這種方法是按分項誤差同方向相加來考慮的，若再考慮溫度、電源電壓變化等多項附加誤差，顯然其合成結(jié)果是過于保守的。雖然比較保險，但這種均為最大值的可能性是很小的。所以通常取方和根合成法。由儀表的基本誤差求出儀表3V量程最大的絕對誤差用方和根合成法:這個數(shù)比較合理。(3)微小誤差準則在誤差合成中，有時誤差項較多，同時它們的性質(zhì)和分布不盡相同，估算起來相當煩瑣。如果各誤差的大小相差比較懸殊，而且小誤差的數(shù)目又不多的話，則在一定條件下，可將小誤差忽略不計。該條件便稱為微小誤差準則。現(xiàn)設(shè)其中第K項誤差εK為微小誤差。根據(jù)有效數(shù)字的規(guī)則:當總誤差取二位有效數(shù)字時，若εK<(0.01~0.005)ε,則εK

便可忽略不計。當總誤差取一位有效數(shù)字時，若εK<(0.1~0.05)ε,則εK

便可忽略不計。

1)系統(tǒng)誤差的微小準則系統(tǒng)誤差的合成可用:2)隨機誤差的微小準則隨機誤差的合成為:設(shè)其中第K項誤差δK為微小誤差，并令δ2--δK2=(δ′)2，根據(jù)有效數(shù)字的規(guī)則，當總誤差取一位有效數(shù)字時，有

可見：當某分項誤差δk約小于總誤差δ的1／3時，便可忽略不計。當總誤差取兩位有效數(shù)時,有可推出：即當某分項誤差δk比總誤差δ小約一個數(shù)量級時，便可將其忽略不計。三、誤差分配----即已知函數(shù)關(guān)系及函數(shù)誤差，確定自變量誤差

例：伏安法測電阻。R=V/A；要求R的測量誤差不超過ΔR。要滿足這一誤差要求，電壓、電流的測量誤差范圍應是多少？應選擇哪一準確度等級的儀表進行測量？

1)按對總誤差影響相同的原則分配誤差

即：

∴各自變量系統(tǒng)不確定度為：

1.按算術(shù)綜合法分配誤差：

2)按各自變量系統(tǒng)誤差均等的原則分配誤差2.按方和根綜合法分配誤差：

系統(tǒng)不確定度

按對總誤差影響相同的原則分配誤差

3.誤差分配方法與步驟

例P21設(shè)計一直流電橋步驟：由于各自變量與函數(shù)的關(guān)系不同，根據(jù)各誤差綜合公式配給各分項的系統(tǒng)誤差不一定合理?！嘁鶕?jù)實際情況，對初次分配進行調(diào)整。調(diào)整后要核算是否滿足總誤差要求，否則進一步調(diào)整，直到滿足總誤差要求為止。*根據(jù)相應誤差傳遞公式分配誤差；*根據(jù)實際情況調(diào)整各誤差；*根據(jù)新調(diào)整各誤差值驗算總誤差；§2.5

有效數(shù)字及數(shù)據(jù)舍入規(guī)則

0.5誤差原則：

由上述可見，每個數(shù)據(jù)舍入后,末位是欠準數(shù)字,末位以前的數(shù)字是準確數(shù)字。其舍入誤差基本不大于未位單位的一半,這個“一半”即為該數(shù)據(jù)的最大舍入誤差。所以通常認為,當測量結(jié)果未注明誤差時,則認為最后一位數(shù)字有0.5的誤差，稱為“0.5誤差原則”。

1、有效數(shù)字：

定義：從數(shù)字左邊第一個不為0數(shù)字算起,到最右邊含有誤差一位為止(包括0)。決定有效數(shù)字位數(shù)的標準是誤差

保留數(shù)字位數(shù)應與誤差一致。為了確切表示數(shù)字，誤差不得超過末位單位數(shù)字一半。如果多寫位數(shù)，就夸大了測量的準確度；少記位數(shù)將帶來附加誤差。

通常的“四舍五入”規(guī)則中對于5只入不舍是不合理的?！?”是l一9的中間數(shù)字，應當有舍有入。在測量技術(shù)中規(guī)定：“小于5舍，大于5入，等于5時采取偶數(shù)”的法則。即：等于5時，將未位湊成偶數(shù)(即第n位原為奇數(shù)時加，原為偶數(shù)時不加)。2、測量技術(shù)中數(shù)據(jù)舍入規(guī)則

3、有效數(shù)字的運算規(guī)則（參書P23）

例2：被測電流記為1000mA，是四位有效數(shù)字，表示精確到mA級，這時不能寫成1A，因為這樣只有一位有效數(shù)字了，但是可以寫成1.000A，仍為四位有效數(shù)字。反之，如果測量結(jié)果是lA就不能寫成1000mA。

例3:用0.5級、100V量程電壓表測量,指示值為85.35V,試確定有效數(shù)字位數(shù)。解：因為該量程的最大絕對誤差為±0.5V，根據(jù)“0.5誤差原則”,此數(shù)據(jù)末位應是整數(shù),所以測量結(jié)果應寫成兩位有效數(shù)字。根據(jù)舍入規(guī)則，示值末尾的0.35＜0.5，所以不標注誤差的報告值應為85.0V。（如此寫出報告值誤差較大）習慣上：使結(jié)果數(shù)據(jù)的末位與絕對誤差對齊，此例的誤差為0.5V，因此寫成85.4V。當給出標注誤差的報告值時寫為：85.4V±0.5V。

∴若將測量示值范圍寫成:84.85~85.85V。例1：20.80表示測量結(jié)果精確到百分位。20.8表示精確到十分位。

（如此寫出報告值夸大了測量的準確度）§2.6測量設(shè)計一、測量條件考慮（參書P23）二、最佳測量條件的確定

當測量結(jié)果與多個測量因素有關(guān)時，欲得到較高精度的測量結(jié)果，就必須確定測量時最有利的條件。解決方法：多從減小相對誤差入手，用微分學原理求函數(shù)極小值來尋求最佳條件。

為使εy最小，在函數(shù)形式確定后，可以選擇適當?shù)臏y量狀態(tài)，使測量誤差減小到最低程度。準確度高精密度高

從誤差角度出發(fā)，要做到：萬用表歐姆擋的簡化電路如圖2.8-l所示。試求指針在什么位置時測量誤差最小。由圖可知：

式中，R1、E是儀表總的等效內(nèi)阻,是常量。I確定指針的偏轉(zhuǎn)Rx對I的微分：相對誤差：求最小測量誤差點：令又因Rx＝0時，，所以測量誤差最小的條件是此結(jié)果表明，使用歐姆表時應合理選擇量程，使指針盡可能偏轉(zhuǎn)至中心位置附近。一般情況下，分項誤差的數(shù)目愈少，合成誤差也愈小?！嘣陂g接測量時，應選擇測量值數(shù)目最少和函數(shù)關(guān)系最簡單的公式。例如，測電阻時，最好是用歐姆表或電橋直接測電阻，而不用電壓、電流表法測電阻；同理，能直接測電流時，最好不用測電壓、電阻法；測量功率時在測U、I、R

準確度相近時，盡量用U，I法(γP＝γU+γI)，而不用I，R法(γP＝2γI+γR，等等。在選擇最佳測量方案時，除了注意上述措施外，還要考慮客觀條件限制，力爭根據(jù)現(xiàn)有條件制訂測量方案，并兼顧經(jīng)濟、簡便等因素。三、從測量數(shù)目考慮四、測量方案設(shè)計1.

在設(shè)計測量方案時，可以從下述幾個方面考慮(1)了解被測量的特點，明確測量目的例1：被測量是直流量還是交流量，若是直流，應預先估計其內(nèi)阻大?。蝗羰墙涣?，要看頻率高低、是正弦量否，是線性變化否,是測有效值/平均值/峰值？需做周密考慮。例2：高頻量或脈沖量應選擇寬頻帶示波器；非正弦電壓測量要進行波形換算。

(2)確定測量原理，制訂初步方案根據(jù)被測對象的性質(zhì)，估計誤差范圍，分析主要影響因素，初步擬訂可選的幾個方案，再進行優(yōu)選。對于復雜的測量任務，可采用間接測量方法，預先繪制測量框圖，搭接測量電路，制訂計算步驟及其計算公式等。在擬訂測量步驟時，要注意到：①應使被測電路系統(tǒng)及測試儀器等均處于正常狀態(tài)。②應滿足測量原理中所要求的測量條件。③盡量減小系統(tǒng)誤差，設(shè)法消除隨機誤差的影響，合理選擇測量次數(shù)及組數(shù)。(3)明確準確度要求，合理選擇儀器類型

計量室或科研試驗室多采用精密測量方法，要嚴格進行誤差分析。對于工程性質(zhì)的問題多采用技術(shù)測量方法，對于測量誤差，雖然要求不是很嚴格，但也應注意采用正確的測量方法、合理地選擇儀器儀表。根據(jù)被測量的性質(zhì)及環(huán)境條件來選擇儀器的類型及技術(shù)性能，并配置合適的標準元件，由被測量的大小和頻率范圍選擇儀器、儀表的量程，以滿足測量的準確度要求。選擇測量儀器時可參考表2.8.1。(4)環(huán)境條件要符合測量要求測量現(xiàn)場的溫度、電磁干擾、儀器設(shè)備的安放位置及安全設(shè)施等，均應符合測量任務的要求。必要時應采取空調(diào)、屏蔽和減震等措施。2測量過程可分為三個階段

(1)

準備階段：主要是選擇測量方法及儀器儀表。(2)測量階段：注意測量的準確度、精密度、測量速度及正確記錄等。(3)數(shù)據(jù)處理階段：將測量數(shù)據(jù)進行整理，給出正確的測量結(jié)果，繪制表格