會計學(xué)1大學(xué)文科數(shù)學(xué)數(shù)理統(tǒng)計文科數(shù)學(xué)§5

數(shù)理統(tǒng)計1996年，美國學(xué)者D.Vchida,M.J.Cetron,F.Mckenjie發(fā)表了一篇論文：“學(xué)生必須掌握哪些知識和技能才能在21世紀(jì)立于不敗之地”，該文提到：運用數(shù)學(xué)、邏輯和推理的技能；熟練的讀寫能力以及了解統(tǒng)計學(xué)此處的統(tǒng)計學(xué)，就是指“研究以及解釋和運用數(shù)據(jù)的能力”的學(xué)科。介紹數(shù)理統(tǒng)計中的兩個最基本問題的主要思想。第1頁/共36頁文科數(shù)學(xué)1、藥效問題

某地區(qū)豬患某種病的概率是0.25，且每頭豬患病與否與其他豬無關(guān)。今研制了一種新的預(yù)防藥，選用12頭豬作實驗，結(jié)果這12頭豬服用了此種藥后均未患病，問此藥是否有效？一、假設(shè)檢驗問題

分析：取樣12頭豬，服藥后均未患病，據(jù)此判斷藥是否有效。直觀認(rèn)為：藥一定有效。（豬確實沒有生病嘛?。┳屑?xì)分析：可能存在問題?。ù蟛糠重i不服藥也不會患病，患病概率僅為0.25）12頭豬都未患病未必是藥的作用！第2頁/共36頁文科數(shù)學(xué)自然想法：(類似于反證法)若這事件發(fā)生的概率很小，即這件事幾乎不會發(fā)生，若藥無效，12頭豬均未患病的可能性有多大？那么它的發(fā)生應(yīng)歸于藥的效果。在“藥無效”的假設(shè)下，12頭豬均未患病的概率為P{12頭豬均未患病}這是小概率事件，即這件事幾乎不會發(fā)生(理論上)?！?/p>

但它恰是我們?nèi)拥慕Y(jié)果，即它實際發(fā)生了，說明假設(shè)錯誤，從而否定“藥無效”的假設(shè)，即認(rèn)為藥有效。第3頁/共36頁文科數(shù)學(xué)結(jié)論

由于小概率事件（即幾乎不會發(fā)生的事件）發(fā)生了，從而否定原先的假設(shè)“藥無效”?！?/p>

概率很小的事件并非絕對不可能發(fā)生：所以據(jù)此否定“藥無效”這一命題，也有可能會犯錯誤，{12頭豬均未患病}發(fā)生的概率為0.032犯錯誤的概率為0.032。所以該問題的確切表述應(yīng)為：有1-0.032=0.968的概率認(rèn)為“藥有效”進一步討論第4頁/共36頁文科數(shù)學(xué)2、產(chǎn)品檢驗問題180個產(chǎn)品包成一包，若每包產(chǎn)品中次品數(shù)不超過8個就認(rèn)為這包產(chǎn)品合格?，F(xiàn)有一買主挑選了一包，從中任取4個產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)其中有2個次品，問該包產(chǎn)品是否合格？

分析：取樣4個產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)有2個是次品，據(jù)此判斷這包產(chǎn)品是否合格。（即能否由此判斷180個產(chǎn)品里次品數(shù)不超過8個）第5頁/共36頁文科數(shù)學(xué)仔細(xì)分析先假設(shè)這包產(chǎn)品中有8個次品,172個正品，即這包則從中任取4個恰取到k

個次品的概率為合格，具體結(jié)果如下

可見：任取4個產(chǎn)品，其中次品數(shù)多于1個的概率不到1%(0.0097+0.0002+0.0000=0.0099)。k01234pk0.83240.15760.00970.00020.0000第6頁/共36頁文科數(shù)學(xué)

想象：若這包產(chǎn)品中次品數(shù)比8個還少，則任取4個產(chǎn)品，其中次品數(shù)多于1個的概率就會更小。

所以：若這包產(chǎn)品合格，即次品數(shù)不超過8個，則“任取4個產(chǎn)品，次品數(shù)多于1個”是小概率事件，不應(yīng)發(fā)生。結(jié)論：取到2個次品，否定“這包產(chǎn)品合格”。有99%的把握認(rèn)為這包產(chǎn)品不合格

可見：任取4個產(chǎn)品，其中次品數(shù)多于1個的概率不到1%(0.0097+0.0002+0.0000=0.0099)。仔細(xì)分析第7頁/共36頁文科數(shù)學(xué)假設(shè)檢驗問題

要判斷的命題稱為“統(tǒng)計假設(shè)”或“假設(shè)”；

判斷命題正確與否的做法稱為“檢驗”；

這類問題稱為“假設(shè)檢驗”。如：要判斷“本地農(nóng)戶平均收入超過5000元”，“肺癌與吸煙無關(guān)”等如：“小概率事件在一次試驗中不應(yīng)該發(fā)生”等數(shù)理統(tǒng)計中的兩類基本問題之一

特性：否定與肯定“假設(shè)”都會犯錯誤，此由隨機現(xiàn)象本性所決定，不可避免?？刂品稿e誤的概率！第8頁/共36頁文科數(shù)學(xué)3、骰子的均勻性

在賭博中，判斷骰子是否均勻（即每面向上的概率是否都為1/6）是非常重要的。

試驗：一枚骰子擲了次，其中1點出現(xiàn)了次。問題簡化：考慮“1點向上”的概率是否為1/6。據(jù)此判斷“1點出現(xiàn)的概率為1/6”這一假設(shè)是否成立分析：由試驗，“1點出現(xiàn)”的頻率為該頻率與1/6相差極小，是否可以認(rèn)為假設(shè)成立？第9頁/共36頁文科數(shù)學(xué)誤差0.0000333…如何解釋？現(xiàn)令：X為擲次骰子時1點出現(xiàn)的次數(shù)，還是骰子本身均勻，該誤差僅是合理的隨機誤差？則

X的概率分布為由骰子不均勻引起？其中p為每次投擲時1點出現(xiàn)的概率。若“1點出現(xiàn)的概率為1/6”這一假設(shè)成立，即仔細(xì)分析p=1/6，則上式變?yōu)榈?0頁/共36頁文科數(shù)學(xué)實際情況：1點出現(xiàn)了次，而計算可知：對于均勻骰子來講是不可能發(fā)生的（概率不足百萬分之一)。此外：1點出現(xiàn)的頻率X/n

與1/6的差應(yīng)滿足因此：否定“1點出現(xiàn)的概率為1/6”這一假設(shè)。第11頁/共36頁文科數(shù)學(xué)即頻率X/n

與1/6的差不應(yīng)超過但實際差距是0.0000333…，與0.0000008相比太大概率不足百萬分之一的事件發(fā)生了，從而否定“1點出現(xiàn)的概率為1/6”這一假設(shè)了，第12頁/共36頁文科數(shù)學(xué)1、概率分布的估計為了估計某個事件A的概率p,二、估計問題作n次試驗(觀察)，看看A發(fā)生了幾次。設(shè)A恰好發(fā)生了k

次,則可用頻率

作為事件A

事件發(fā)生概率的估計的概率p

的估計值。顯然，n越大，該估計越好！第13頁/共36頁文科數(shù)學(xué)

離散型概率分布的估計

例如：估計某商店周日上午8點至12點間每分鐘到達(dá)的顧客數(shù)X

的分布。X

可能的取值為0,1,2,…,只需對任意數(shù)k，估計進行試驗：觀測了20個周日的數(shù)據(jù)，共4800分鐘，記錄下每分鐘到達(dá)的顧客數(shù)(4800個數(shù)據(jù))。設(shè)到達(dá)k

個顧客的分鐘數(shù)為tk令則X

的概率分布為用頻率估計概率!第14頁/共36頁文科數(shù)學(xué)2、參數(shù)的估計估計問題是建立數(shù)學(xué)模型中不可缺少的部分。任何模型，包括確定性模型總有待定的參數(shù)，需要通過對實際問題的觀測(試驗)來確定。由于觀測(試驗)具有誤差，觀測值具有隨機性，從而得不到精確結(jié)論。

因此我們不說“求”概率p，“求”參數(shù)a，而說“估計”p，“估計”a。目標(biāo)：估計均值、方差等參數(shù)。例如：估計森林的木材儲量等。首要問題：估計的方法！第15頁/共36頁文科數(shù)學(xué)

例如：估計某地區(qū)農(nóng)戶的平均收入（農(nóng)戶收入的均值a）。試驗：隨機地抽取n戶，收入分別為方法1：用平均收入來估計整個地區(qū)農(nóng)戶的平均收入a。方法2：去掉一個最高值及一個最低值再求平均來估計整個地區(qū)農(nóng)戶的平均收入a。第16頁/共36頁文科數(shù)學(xué)

不同估計方法的實質(zhì)就是的不同函數(shù)，稱其為估計量。

一旦做了試驗，抽取了數(shù)據(jù)，針對要估計的量(參數(shù))，首先要找出估計的方法(估計量)。一般而言，要找一個“合理”的估計方法并不容易，而且估計方法的尋找依賴于實際問題的背景。說明：“估計”有確切含義！

之所以稱為“估計”,不是因為精度差,不準(zhǔn)確！而是強調(diào)了估計量是一個隨機變量，因為討論的基礎(chǔ)是一組隨機數(shù)據(jù)。（形象的稱為“數(shù)據(jù)加工的函數(shù)”）這種使用“樣本值函數(shù)”估計的方法稱為矩估計法。第17頁/共36頁文科數(shù)學(xué)例1、汽車產(chǎn)量的估計

早期情報人員曾通過觀察敵方城市中汽車牌照號碼來估計其汽車產(chǎn)量。為簡單起見，設(shè)汽車牌照號碼是按自然順序1開始排列的?，F(xiàn)把號碼，例如03402，看成是一個小數(shù),即0.03402，把號碼對應(yīng)于區(qū)間(0,1)中的一個數(shù)。所有汽車中的最大號碼(恰是汽車的產(chǎn)量)對應(yīng)于區(qū)間(0,1)中未知的參數(shù)θ。現(xiàn)隨機地在城市中觀測n個汽車號碼，它們對應(yīng)于區(qū)間(0,θ)中的n個數(shù)。

問：如何用這n個數(shù)對參數(shù)θ

作出估計？第18頁/共36頁文科數(shù)學(xué)方法1：由于觀測的隨機性，可認(rèn)為在區(qū)間(0,θ)內(nèi)“均勻”地分布著,故可用它們的平均值估計區(qū)間(0,θ)的中點,從而用估計θ。例1、汽車產(chǎn)量的估計第19頁/共36頁文科數(shù)學(xué)方法2：把(0,θ)分成了n+1個小區(qū)間，當(dāng)?shù)拈L度估計，在區(qū)間(0,θ)內(nèi)“均勻”分布時，每個小區(qū)間長度相差不大，都和近似。故可以用某一區(qū)間的長度，例如最左邊的小區(qū)間即用例1、汽車產(chǎn)量的估計來估計θ。第20頁/共36頁文科數(shù)學(xué)長度并不完全相等，是左邊n個小區(qū)間的長度無論選擇哪個來估計都不夠“精確”，為此考慮它們的“平均長度”。由于我們用來估計每個小區(qū)例1、汽車產(chǎn)量的估計方法3：把(0,θ)分成了n+1個小區(qū)間，之和，間的長度，即用來估計θ。第21頁/共36頁文科數(shù)學(xué)例2、敏感性問題調(diào)查

在社會調(diào)查用頻率估計概率時，有些敏感的問題人們往往不愿意如實回答。如“你考試時作過弊嗎?”，“你在超市偷拿過商品嗎?”。由于不能直接得到概率p的估計，通常是估計一個和p有關(guān)的量，然后算出p的估計。回憶例1所用方法。對敏感性問題的調(diào)查，有一種巧妙的隨機應(yīng)答方法（S.L.Wamer,1965）。第22頁/共36頁文科數(shù)學(xué)

方法：要求被調(diào)查者在兩個問題中隨機地選一個回答(只回答“是”或“不是”)，而不必告訴別人他回答的是哪一個問題，其中一個問題是要調(diào)查的敏感問題，另一個是無關(guān)緊要的問題。

例如：設(shè)敏感問題是“你考試作過弊嗎?”，另一問題是“你出生的年份最后一位數(shù)是偶數(shù)嗎?”。

做法：讓被調(diào)查者擲一枚硬幣(別人看不到)，出現(xiàn)正面時回答前一個問題，否則回答后一個問題，具體回答哪一個問題只有他本人知道。下面做具體分析。例2、敏感性問題調(diào)查第23頁/共36頁文科數(shù)學(xué)

假設(shè)對200人做了調(diào)查，其中58人回答“是”。由于硬幣的均勻性：可以估計約100人回答了第2個問題，另100人回答了第1個問題。又出生年份最后一位是偶數(shù)與奇數(shù)的機會相同：回答第2個問題的100人中約有50個人回答“是”。從而：回答第1個問題的100人中約有58-50=8人回答了“是”，即“考試中作過弊”的人約占。具體分析例2、敏感性問題調(diào)查第24頁/共36頁文科數(shù)學(xué)

方法的實質(zhì)：知道回答第1個問題的人的概率(擲硬幣試驗)，(當(dāng)然并不要求概率一定是1/2，如拋骰子試驗)也知道第2個問題回答“是”的概率(數(shù)的奇偶性)，(也不要求概率一定是1/2)從而可以給出p的估計。例2、敏感性問題調(diào)查第25頁/共36頁文科數(shù)學(xué)

將例2中第2個問題改為“你的生日是1月份嗎?”，把硬幣改為骰子，當(dāng)擲出1點或2點時回答第2個問題，否則回答第1個問題。若調(diào)查了900人有72人回答“是”，試給出p

的估計。

例習(xí)分析：p1=1/12,p2=1/3回答問題2：900×1/3=300回答問題1：900×2/3=600回答問題2“是”：300×1/12=25回答問題1“是”：72－25=47p≈47/600第26頁/共36頁文科數(shù)學(xué)例3、湖中魚數(shù)的估計

湖中魚數(shù)N未知，今捕上M條魚，作上記號后均勻地放回湖中，再捕上n條，若其中k條有記號，試估計湖中魚數(shù)N。

方法1：由于有記號的魚已均勻地分布在湖中,有記號的魚在湖中占的比例應(yīng)和第二次捕的魚中占的比例近似，即故用估計N（取最近的正整數(shù)）。第27頁/共36頁文科數(shù)學(xué)

方法2：當(dāng)有記號的魚在湖中均勻地分布時P{捕n條魚中有k條有記號}?為什么第二次捕n條魚時,恰好捕到了k條有記號的魚呢？可以認(rèn)為這件事發(fā)生的概率很大！所以對N的估計應(yīng)該使上述概率達(dá)到極大！考慮例3、湖中魚數(shù)的估計第28頁/共36頁文科數(shù)學(xué)P{捕n條魚中有k條有記號}可見：當(dāng)，即當(dāng)，即從而使f(N)達(dá)到極大的N的估計值應(yīng)滿足與方法1所得結(jié)果一致。第29頁/共36頁文科數(shù)學(xué)極大似然思想：

做了一次試驗，結(jié)果事件A發(fā)生了，則參數(shù)的選?。垂烙嫞?yīng)使事件A