第四節(jié)條件概率一、條件概率的定義

直觀上，用來(lái)表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的可能性大小的數(shù)，稱為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率。記為P(B|A).例設(shè)有100件的某一批產(chǎn)品，其中有5件不合格品，而5件不合格品中又有3件是次品，2件是廢品?，F(xiàn)任意在100件產(chǎn)品中抽取一件，求

1）抽得的是廢品的概率；

2）已知抽得的是不合格品,它是廢品的概率。解：令A(yù)表示“抽得的是廢品”這一事件，B表示“抽得的是不合格品”這一事件按古典概率計(jì)算易得：由此看到P（A）≠P（A|B）本例中條件概率P（A|B）是根據(jù)條件概率的直觀意義計(jì)算出來(lái)的，但一般地，條件概率如何定義呢？

通過(guò)簡(jiǎn)單的運(yùn)算得：

這好象給了我們一個(gè)“情報(bào)”，使我們得以在某個(gè)縮小了的范圍內(nèi)來(lái)考慮問(wèn)題.上述關(guān)系具有普遍意義：(1)從古典概率看：(2)從頻率的穩(wěn)定性上看：設(shè)實(shí)驗(yàn)E做了n次，令：nA,nB,nAB分別表示事件A,B及AB在n次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，那么nAB/nB表示在B發(fā)生的那些結(jié)果中，A又出現(xiàn)的頻率，即：已知B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的條件頻率fn(A|B)。

如果n足夠大，

fn(AB)接近P(AB),fn(B)接近P(B),則nAB/nB接近P(A|B),因此，在統(tǒng)計(jì)概率中上式亦成立。

若事件B已發(fā)生,則為使A也發(fā)生,試驗(yàn)結(jié)果必須是既在B中又在A中的樣本點(diǎn),即此點(diǎn)必屬于AB.由于我們已經(jīng)知道B已發(fā)生,故B變成了新的樣本空間,于是有公式.(3)從直觀上看：1．定義:

設(shè)A，B是兩事件，且P(B)>0，稱為在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率.注

（1）若P(A)>0，同樣可定義（2）條件概率P（?|B）滿足概率定義的三條公理，即

1.對(duì)于每一事件A，有1≥P（A/B）≥0;

2.P（|B）=1

3.設(shè)A1，A2……兩兩不相容，則有

P（Φ|B）=0P（A|B）=1?P（A|B）

P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)?P(A1A2|B)等等概率所證明的重要結(jié)果都適用于條件概率，例如：(3)P（A）與條件概率P（A|B）的關(guān)系：

P(A)>P(A|B)，P(A)<P(A|B),P(A)=P(A|B)這三種關(guān)系都有可能成立。后一種情況就是以后討論的獨(dú)立性。2．計(jì)算

一般有兩種方法：

(1)由條件概率定義：P(B|A)=P(AB)/P(A)

（在原樣本空間中求P(AB)、P(A)）

(2)按古典概型公式：P(B|A)=NAB/NA

（在壓縮后的樣本空間中考慮）

例1：100件產(chǎn)品，其中5件不合格品，5件不合格品中又有3件是次品，2件廢品。在100件中任意抽一件。

求（1）抽得是廢品B的概率;

（2）已知抽得的是不合格品A，它是廢品

的概率P(B|A)。條件概率P(A|B)與P(A)的區(qū)別

每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)都是在一定條件下進(jìn)行的，設(shè)A是隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)事件，則P(A)是在該試驗(yàn)條件下事件A發(fā)生的可能性大小.P(A)與P(A|B)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同,它們是兩個(gè)不同的概念,在數(shù)值上一般也不同.

而條件概率P(A|B)是在原條件下又添加“B發(fā)生”這個(gè)條件時(shí)A發(fā)生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.例設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4.問(wèn)現(xiàn)年20歲的這種動(dòng)物，它能活到25歲以上的概率是多少？解：設(shè)A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依題意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求為P(B|A).例2

一次擲10顆色子，已知至少出現(xiàn)了一個(gè)1點(diǎn)，求至少出現(xiàn)兩個(gè)1點(diǎn)的概率。由古典概型：于是所求概率為解設(shè)A:擲10顆色子，至少出現(xiàn)一個(gè)1點(diǎn)，

B:擲10顆色子，至少出現(xiàn)兩個(gè)1點(diǎn)，則AB.恰出現(xiàn)一個(gè)一點(diǎn)1.乘法公式

由條件概率定義，若P(B)>0，則P(AB)=P(A|B)P(B)

若P(A)>0,則P(AB)=P(B|A)P(A)

上述公式可推廣到任意有窮多個(gè)事件時(shí)的情形，例如，設(shè)A，B，C為事件，且P(AB)>0，則

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)

這里，注意到由假設(shè)P(AB)>0可推得P(A)≥P(AB)>0.一般，設(shè)A1,A2,…,An為n個(gè)事件，n≥2,且P(A1A2…An-1)>0，則有:P(A1A2…An)=

P(A1)?P(A2|A1)…

?P(An-1|A1A2…An-2)?P(An|A1A2…An-1)二、關(guān)于條件概率的三個(gè)定理例1.盒中5個(gè)白球，2個(gè)黑球，連續(xù)不放回地取3次球，求第一、二次取得白球且第三次才取得黑球的概率。解：設(shè)Ai表示第i次取到黑球在利用條件概率求無(wú)條件P時(shí)，條件P往往用古典概型計(jì)算。例2.設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落下時(shí)打破的概率為1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為7/10，若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為9/10，試求透鏡落下三次而未打破的概率。

解：Ai(i=1,2,3)表示事件“透鏡第i次落下打破”，以B表示事件“透鏡落下三次而未打破”。

因?yàn)锽=ā1ā2ā3

，故有

P(B)=P(ā1ā2ā3)=P(ā1)P(ā2|ā1)P(ā3|ā1ā2)

=(1-1/2)(1-7/10)(1-9/10)=3/200

法二，按題意B=A1∪ā1A2∪ā1ā2A3

而A1，ā1A2，ā1ā2A3

是兩兩互不相容的事件，故有P(B)=P(A1)+P(ā1A2)+P(ā1ā2A3)

一個(gè)罐子中包含b個(gè)白球和r個(gè)紅球.隨機(jī)地抽取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)c個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球.這種手續(xù)進(jìn)行四次，試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率.

（波里亞罐子模型）b個(gè)白球,r個(gè)紅球于是W1W2R3R4表示事件“連續(xù)取四個(gè)球，第一、第二個(gè)是白球，第三、四個(gè)是紅球.”

解:設(shè)Wi={第i次取出是白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取出是紅球}，j=1,2,3,4用乘法公式容易求出

當(dāng)c>0時(shí)，由于每次取出球后會(huì)增加下一次也取到同色球的概率.這是一個(gè)傳染病模型.每次發(fā)現(xiàn)一個(gè)傳染病患者，都會(huì)增加再傳染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)

監(jiān)獄看守通知三個(gè)囚犯,在他們中要隨機(jī)地選出一個(gè)處決,而把另外兩個(gè)釋放.囚犯甲請(qǐng)求看守秘密地告訴他,另外兩個(gè)囚犯中誰(shuí)將獲得自由.因?yàn)槲乙呀?jīng)知道他們兩人中至少有一人要獲得自由，所以你泄露這點(diǎn)消息是無(wú)妨的.甲如果你知道了你的同伙中誰(shuí)將獲釋，那么，你自己被處決的概率就由1/3增加到1/2,因?yàn)槟憔统闪耸Ｏ碌膬蓚€(gè)囚犯中的一個(gè)了.乙丙NO！

對(duì)于看守的上述理由,你是怎么想的?解：記A={囚犯甲被處決},B={囚犯乙被處決}C={囚犯丙被處決}依題意，P(A)=1/3,P(A|)=P(A)／[1-P(B)]=1/2,P(A|)=1/2,看守說(shuō)得對(duì).甲

下面建立兩個(gè)用來(lái)計(jì)算復(fù)雜概率的重要公式：全概率公式和貝葉斯公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率,它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用.綜合運(yùn)用加法公式P(AB)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0先介紹樣本空間的劃分的定義。定義：設(shè)為試驗(yàn)E的樣本空間，B1,B2,…,Bn為E的一組事件，若

（1）BiBj=Φ,ij,i,j=1,2,…,n;

（2）B1∪B2∪…∪Bn=，

則稱B1，B2，…,Bn為樣本空間的一個(gè)劃分。

例如，設(shè)試驗(yàn)E為“擲一顆骰子觀察其點(diǎn)數(shù)”。它的樣本空間為={1，2，3，4，5，6}。E的一組事件B1={1，2，3}，B2={4，5}，B3={6}是的一個(gè)劃分，而事件組C1={1，2，3}，C2={3，4}，C3={5，6}不是的劃分。

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為，A為E的事件，B1，B2，…Bn為的一個(gè)劃分，且P(Bi)>0(i=1,2，…，n)則

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)

稱為全概率公式。

證：因?yàn)锳=A=A（B1∪B2∪…∪Bn）=AB1∪AB2∪…∪ABn由假設(shè)P(Bi)>0(i=1,2，…，n)，且

(ABi)∩(ABj)=，i≠j，于是

P(A)=P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn)

=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)2.全概率公式在較復(fù)雜情況下直接計(jì)算P(A)不易,但A總是伴隨著某個(gè)Bi出現(xiàn)，適當(dāng)?shù)厝?gòu)造這一組Bi往往可以簡(jiǎn)化計(jì)算.全概率公式的來(lái)由,不難由上式看出:“全”部概率P(A)被分解成了許多部分之和.它的理論和實(shí)用意義在于:例一箱同類型的產(chǎn)品,由三家工廠生產(chǎn),其中1/2由甲廠生產(chǎn),乙丙廠各生產(chǎn)1/4,又甲乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品均有2%的次品率,丙廠有4%的次品率,求任取一產(chǎn)品是次品的概率P(A);任取一產(chǎn)品是次品且恰是由甲廠生產(chǎn)的概率P(AB1);任取一產(chǎn)品發(fā)現(xiàn)是次品,問(wèn)它是由甲廠生產(chǎn)的概率P(B1|A)

甲B1乙B2丙B3解:={箱中的全部產(chǎn)品}A:任取一產(chǎn)品是次品,Bi:取到的產(chǎn)品分別是由甲,乙,丙廠生產(chǎn)的.由題意:P(B1)=1/2,P(B2)=P(B3)=1/4,P(A|B1)=P(A|B2)=2/100;P(A|B3)=4/100且BiBj=Φ,ij,i,j=1,2,3.B1∪B2∪B3=S由全概率公式

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.025.2)由乘法公式

P(AB1)=P(A|B1)P(B1)=0.01.3)P(B1|A)=P(B1A)/P(A),

由上面計(jì)算為0.4.

小結(jié):利用全概率公式求P(A)時(shí),關(guān)鍵是1)找到S的一個(gè)劃分B1，B2，…，Bn,A總隨著B(niǎo)i出現(xiàn),而

P(A|Bi)及P(Bi)容易求出.2)這個(gè)公式還可以從另外一個(gè)角度去理解，把Bi看成導(dǎo)致事件A發(fā)生的一種可能途徑。對(duì)于不同的途徑，A發(fā)生的概率即條件概率P（A/Bi）各不同，而采取哪個(gè)途徑卻是隨機(jī)的。直觀上易理解，在這種機(jī)制下，A的綜合概率P（A）應(yīng)在最小的P（A/Bi）和最大的P（A/Bi）之間，它也不一定是所有P（A/Bi）的算術(shù)平均，因?yàn)楦魍緩奖皇褂玫臋C(jī)會(huì)P（Bi）各不同，正確的答案就是諸P（Bi）I=1,2,…n為權(quán)的加權(quán)平均值。

全概率公式還可以從另外一個(gè)角度去理解，B1

B2

…

Bn原因A結(jié)果P（Bi）P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)

加權(quán)平均值全概公式例盒中12個(gè)乒乓球，9個(gè)沒(méi)用過(guò)，第一次比賽從盒中任取3個(gè)球，用后放回，第二次比賽再?gòu)暮兄腥稳?個(gè)球，求：第二次比賽時(shí)所取的3個(gè)球都是沒(méi)用過(guò)的概率。解：設(shè)A:第二次比賽時(shí)所取的3個(gè)球都是沒(méi)用過(guò)的;Bi:第一次比賽時(shí)所取的3個(gè)球恰有i個(gè)是沒(méi)用過(guò)的。則A的發(fā)生依賴于Bi的情況，Bi構(gòu)成了任取3個(gè)球這一試驗(yàn)的樣本空間的一個(gè)劃分。于是該球取自哪號(hào)箱的可能性最大?實(shí)際中還有下面一類問(wèn)題，是“已知結(jié)果求原因”

這一類問(wèn)題在實(shí)際中更為常見(jiàn)，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小.

某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號(hào)箱的概率.1231紅4白或者問(wèn):接下來(lái)我們介紹為解決這類問(wèn)題而引出的貝葉斯公式

該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個(gè)原因的概率.定理：設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為,A為E的事件，B1，B2，…，Bn為的一個(gè)劃分，且P（A）>0，P（Bi）>0（i=1，2，…，n），則

i=1，2，…，n.稱為貝葉斯（Bayes）公式。證：由條件概率的定義及全概率公式有i=1，2，…，n3.貝葉斯公式例2:對(duì)以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí)，產(chǎn)品的合格率為90%，而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時(shí)，其合格率為30%。每天早上機(jī)器開(kāi)動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率為75%，試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率是多少？

解:設(shè)A為事件“產(chǎn)品合格”，B為事件“機(jī)器調(diào)整良好”已知:P(A|B)=0.9，P(A|B)=0.3,P（B）=0.75，所需求的概率為P(B|A)，由貝葉斯公式先驗(yàn)概率后驗(yàn)概率

全概率公式還可以從另外一個(gè)角度去理解，B1

B2

…

Bn原因A結(jié)果P（Bi）P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)

加權(quán)平均值全概公式

貝葉斯公式的解釋：P(B1)，P(B2)…，它是在沒(méi)有進(jìn)一步的信息（不知A是否發(fā)生）的情況下，人們對(duì)B1，B2…，發(fā)一可能性大小的認(rèn)識(shí)，現(xiàn)在有了新的信息（知道A發(fā)生），人們對(duì)B1，B2…發(fā)生可能性大小有了新的估價(jià)。

貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化。

貝葉斯公式作用在于“由結(jié)果推原因”，現(xiàn)在有一個(gè)“結(jié)果”A發(fā)生了，在眾多可能的“原因”中，到底是哪一個(gè)導(dǎo)致了這個(gè)結(jié)果？這是一個(gè)在日常生活和科學(xué)技術(shù)中常要問(wèn)的問(wèn)題。

在不了解案情細(xì)節(jié)(事件B)之前，偵破人員根據(jù)過(guò)去的前科，對(duì)他們作案的可能性有一個(gè)估計(jì)，設(shè)為比如原來(lái)認(rèn)為作案可能性較小的某甲，現(xiàn)在變成了重點(diǎn)嫌疑犯.例如，某地發(fā)生了一個(gè)案件，懷疑對(duì)象有甲、乙、丙三人.甲乙丙P(A1)P(A2)P(A3)但在知道案情細(xì)節(jié)后,這個(gè)估計(jì)就有了變化.P(A1|B)知道B發(fā)生后P(A2

|B)P(A3|B)最大偏小例3:據(jù)調(diào)查某地區(qū)居民的肝癌發(fā)病率為0.0004，若記“該地區(qū)居民患肝癌”為事件B1并記B2=B1,則

P（B1）=0.0004，P（B2）=0.9996

現(xiàn)用甲胎蛋白法檢查肝癌，若呈陰性，表明不患肝癌，若呈陽(yáng)性，表明患肝癌，由于技術(shù)和操作不完善以及種種特殊原因，是肝癌者還未必檢出陽(yáng)性，不是患者也有可能檢出呈陽(yáng)性，據(jù)多次實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)這二者錯(cuò)誤發(fā)生的概率為：

P（A|B1）=0.99,P（A|B2）=0.05

其中事件A表示“陽(yáng)性”，現(xiàn)設(shè)某人已檢出呈陽(yáng)性，問(wèn)他患肝癌的概率P（B1|A）是多少？解：

在實(shí)際中，醫(yī)生常用另一些簡(jiǎn)單易行的輔助方法先進(jìn)行初查，排除大量明顯不是肝癌的人，當(dāng)醫(yī)生懷疑某人有可能患肝癌時(shí)，才建議用甲胎蛋白法檢驗(yàn)。這時(shí)在被懷疑的對(duì)象中，肝癌的發(fā)病率已顯著提高了，比如說(shuō)

P（B1）=0.4，這時(shí)再用貝葉斯公式進(jìn)行計(jì)算，可得這樣就大大提高了甲胎蛋白法的準(zhǔn)確率了。值得一提的是，后來(lái)的學(xué)者依據(jù)貝葉斯公式的思想發(fā)展了一整套統(tǒng)計(jì)推斷方法，叫作“貝葉斯統(tǒng)計(jì)”.可見(jiàn)貝葉斯公式的影響.

例2甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊,三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7.飛機(jī)被一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中,飛機(jī)必定被擊落,求飛機(jī)被擊落的概率.

設(shè)B={飛機(jī)被擊落}

Ai={飛機(jī)被i人擊中},i=1,2,3

由全概率公式

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)則B