第四章向量組的線性相線性方程組的解集:若干個列向量構(gòu)成的集合因此為了進一步研究線性方程組的解的結(jié)構(gòu)我們需要對我們引入向量組線性相關性向量組的秩這兩個基本概念,.最后一節(jié)我們介紹一些關于向量空間的基本概念向量空間是現(xiàn)代代數(shù)學最基本的研究對象它是具有加法§1向量組及其線性組2維3維向平2維3維向解析解析幾線性代既有既有大小又有方向的有次序的實數(shù)組成的數(shù)幾何形象:可隨幾何形象:可隨意行移動的有向線坐

x代數(shù)形象:向的坐標表示(x,y)或 ; (x,y代數(shù)形象:向的坐標表示y z 定義:n個有次序的數(shù)a1a2···,an所組成的數(shù)組稱n維向量這n個數(shù)稱為該向量的n個分量i個數(shù)ai稱i個分量 x1 x1 x x n維列向量 2

列向量用,,表示,R

: 2

R,1i n維向量

n.

xn

xn ,xn

行向量用T,T,T表示例如描述一空間運動物僅與所處的空間位置(x,y,z與時間t有關,用向量表示為(xy,z,t).向量組若干個同維數(shù)的列向量(或同維數(shù)的行向量)所組成的例如:矩陣A=(aij)mn有n個m維列向量 nA

a21

a22

a1a2

a2n

am

amj

amn向量組α1,α2,···,αn稱為矩陣A的列向量組類似地矩陣A=(aij)mn有m個n維行向量a21a22a2na1naiainamamnAAmA向量組A1,A2,···,Am稱為矩陣A的行向量組所以矩陣可以等同于含有有限個向量的向量組矩陣是聯(lián)系方線性組合與線性 ,m,則k11 ,

給定一個向量組 ,m和向量

如果存在一組數(shù)

,lm

lmm

則稱可由 ,m線性表示0 1 013120 1 01 33120.所以3可由向量組10線性 幾何意義若是3維向量且可由線性表示

則,共線

且可由1,2線性表示,,1,2共面定理

可由 ,m線性表存在一組數(shù)

lm

lmm存在一組數(shù)

lm,滿足方

xmm

x1

,m x m秩 ,m)秩 ,m,注意:在本章中的定理敘述都是對列向量來敘述的向量組的等

,m及B: ,l

則稱這兩 101 012 01 ,m}線性表示

k k (1,)m,1jmj

則存在數(shù)kij k 1 ,),)(l1,)k1lm.kml記A

,m

B ,l

則B

AK.對這個關系式我們可以做三種解釋幾何語言

K是矩陣方程AX

l可l可由向定理

,l可由向量組 ,m線性表矩陣方程 ,l) ,m)X有解矩陣 ,m, 推論

向量 ,m}與向量 ,m) ,l) ,m, ,l矩陣的等價和向量組等價之間的關系若矩陣A與B行等價則A的行向量組與B的行向量組等價若矩陣A與B列等價則A的列向量組與B的列向量組等價若矩陣A與B等價 A的行向量組與B的行向量組等價若矩陣A與B等價 A的列向量組與B的列向量組等價不一定.因為矩陣A,B的行數(shù)和列數(shù)可能不一定對應相等.如果矩陣A,B的行數(shù)和列數(shù)對應相等,則上述結(jié)論成立1 1 1 11 2 0例

設

,2 ,3 ,

.2 1 2 3

4 30 1 證明向量可由向量組1,2,3線性表示,并求出表示式x1

2 證:求解方程組(,,)x.(,,,)變 .

0x 3

x

2 0所以R(

,)

R(,,,

2.

令x

x2

x1 3c2 2(

,)

的通解為

2c

c

2

2 x 1 023c32

所以

(,,)2c1

(3c

(2c

性質(zhì).(線性表示的傳遞性

若可由1,2 ,l線性表示1,2 ,l可由1, ,m線性表示.則可由1, 證

k2

kll

由條件知存在xij

xiji對任何i把

xi,ji代入到式子(1),我們可以把寫成向量組1, ,m

所以可由1, ,m線性表示定理

設向量組1,2 ,l可由向量組 ,m線性表示則R(1, ,l) ,m證:由條件知 ,l) ,m)X有解 ,m) ,m, ,l) ,l例.設

,n)(按列分塊),

,n線性表示

R(

證 ,n線性表

E

AX所以只要證RAE)

R(A)R(A,mR(Em)R(A