第二章

正交試驗(yàn)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分析方法第1頁(yè)，共66頁(yè)。§2－1試驗(yàn)數(shù)據(jù)構(gòu)造模型一、單因素試驗(yàn)方差分析的數(shù)學(xué)模型（一）數(shù)學(xué)模型試驗(yàn)誤差對(duì)每一次試驗(yàn)來(lái)說(shuō)式一個(gè)不確定的量（數(shù)學(xué)上稱為隨機(jī)變量）。但在多次試驗(yàn)中它式有一定規(guī)律的。第2頁(yè)，共66頁(yè)。第3頁(yè)，共66頁(yè)。第4頁(yè)，共66頁(yè)。第5頁(yè)，共66頁(yè)。（二）參數(shù)估計(jì)第6頁(yè)，共66頁(yè)。第7頁(yè)，共66頁(yè)。例2－1考察溫度對(duì)一化工產(chǎn)品的得率的影響，選了五種不同的溫度，同一溫度做了三次試驗(yàn)，結(jié)果如下：AA1A2A3A4A5溫度(℃)6065707580得率(%)平均得率979684849396838688929388829094958584表2－1測(cè)定結(jié)果第8頁(yè)，共66頁(yè)。第9頁(yè)，共66頁(yè)。

對(duì)其它數(shù)據(jù)也進(jìn)行類似分解，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的分解，可以看到分組因素（溫度）影響的大小和試驗(yàn)誤差的大小。第10頁(yè)，共66頁(yè)。第11頁(yè)，共66頁(yè)。（三）統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)第12頁(yè)，共66頁(yè)。第13頁(yè)，共66頁(yè)。第14頁(yè)，共66頁(yè)。第15頁(yè)，共66頁(yè)。二、正交試驗(yàn)方差分析的數(shù)學(xué)模型(一)數(shù)學(xué)模型根據(jù)一般線性模型的假定,若9次試驗(yàn)結(jié)果(如例111中的轉(zhuǎn)化率)以x1、x2,…,x９表示,我們首先假定:(1)三個(gè)因素間沒(méi)有交互作用。(2)為9個(gè)數(shù)據(jù)可分解為:x1=μ+a1+b1+c1+ε1x2=μ+a1+b2+c2+ε2x3=μ+a1+b3+c3+ε3x4=μ+a2+b1+c2+ε4x5=μ+a2+b２+c3+ε5第16頁(yè)，共66頁(yè)。x6=μ+a2+b3+c1+ε6x7=μ+a3+b1+c3+ε7x8=μ+a3+b2+c1+ε8x9=μ+a３+b３+c２+ε9其中:μ——一般平均;估計(jì)=∑xi=x1+x2+……+x9叫全部數(shù)據(jù)的總體平均值。a1、a2、a3表示A在不同水平時(shí)的效應(yīng)。b1、b2、b3表示B在不同水平時(shí)的效應(yīng)。c1、c2、c3表示C在不同水平時(shí)的效應(yīng)。(3)各因素的效應(yīng)為零,或者,各因素的效應(yīng)的加和為零∑ai=0∑bi=0∑ci=0第17頁(yè)，共66頁(yè)。

(4){εi}是試驗(yàn)誤差,它們相互獨(dú)立,且遵從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),所以多個(gè)試驗(yàn)誤差的平均值近似等于零。(二)參數(shù)估計(jì)有了數(shù)學(xué)模型,還應(yīng)通過(guò)子樣的實(shí)測(cè)值,對(duì)以上的各個(gè)參數(shù)作出估計(jì)。由數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)E（）＝μE（）——表示的數(shù)學(xué)期望。即，是μ的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量。可表示為：

第18頁(yè)，共66頁(yè)?！?－2正交試驗(yàn)的方差分析法一、方差分析的必要性

極差分析不能估計(jì)試驗(yàn)中以及試驗(yàn)結(jié)果測(cè)定中必然存在的誤差大小。為了彌補(bǔ)這個(gè)缺點(diǎn)，可采用方差分析的方法。 方差分析法是將因素水平（或交互作用）的變化所引起的試驗(yàn)結(jié)果間的差異與誤差波動(dòng)所引起的試驗(yàn)結(jié)果間的差異區(qū)分開來(lái)的一種數(shù)學(xué)方法 所謂方差分析，就是給出離散度的各種因素將總變差平方和進(jìn)行分解，而你還進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的一直數(shù)學(xué)方法。第19頁(yè)，共66頁(yè)。二、單因素方差分析法（以例2－1為例）方差分析法的基本思路：（1）由數(shù)據(jù)中的總變差平方和中分出組內(nèi)變差平方和、組間變差平方和，并賦予它們的數(shù)量表示；（2）用組間變差平方和與組內(nèi)變差平方和在一定意義下進(jìn)行比較，如兩者相差不大，說(shuō)明因素水平的變化對(duì)指標(biāo)影響不大；如兩者相差較大，組間變差平方和比組內(nèi)變差平方和大得多，說(shuō)明因素水平的變化影響很大，不可忽視；（3）選擇較好的工藝條件或進(jìn)一步的試驗(yàn)方向。第20頁(yè)，共66頁(yè)。第21頁(yè)，共66頁(yè)。第22頁(yè)，共66頁(yè)。第23頁(yè)，共66頁(yè)。第24頁(yè)，共66頁(yè)。第25頁(yè)，共66頁(yè)。第26頁(yè)，共66頁(yè)。第27頁(yè)，共66頁(yè)。方差來(lái)源變差平方和自由度平方差平方和F臨FA顯著性ASA=303.6475.93.515.18**eSe=50.0105.06.0總和第28頁(yè)，共66頁(yè)。第29頁(yè)，共66頁(yè)。三、正交試驗(yàn)的方差分析（一）無(wú)交互作用情況（以例1－1為例）

A溫度（℃）1

B時(shí)間（Min）

2

C用堿量（x%）3

4轉(zhuǎn)化率（x%）1 1(80℃)1(90Min)1(5%) 1312 1(80℃)2(120Min) 2(6%)25431(80℃) 3(150Min) 3(7%) 3384 2(85℃) 1(90Min) 2(6%) 3535 2(85℃) 2(120Min)3(7%) 14962(85℃)3(150Min) 1(5%) 2427 3(90℃)1(90Min) 3(7%) 25783(90℃)2(120Min) 1(5%) 36293(90℃)3(150Min) 2(6%) 164列號(hào)試驗(yàn)號(hào)第30頁(yè)，共66頁(yè)。第31頁(yè)，共66頁(yè)。

A溫度（℃）1

B時(shí)間（Min）

2

C用堿量（x%）3

4轉(zhuǎn)化率（x%）1 1(80℃) 1(90Min)1(5%) 1312 1(80℃) 2(120Min) 2(6%)2543 1(80℃) 3(150Min) 3(7%) 3384 2(85℃) 1(90Min) 2(6%) 3535 2(85℃)2(120Min)3(7%) 1496 2(85℃)3(150Min) 1(5%) 2427 3(90℃)1(90Min) 3(7%) 2578 3(90℃)2(120Min) 1(5%) 3629 3(90℃)3(150Min) 2(6%) 164K1123141135144K2144165171153K3183144144153Qi23118226142273422518Si61811423418列號(hào)試驗(yàn)號(hào)1.總平方和等于各列的平方和第32頁(yè)，共66頁(yè)。方差來(lái)源變差平方和自由度平方差平方和F臨FA顯著性ASA=618230934.3319*eSe=18294總和9848BSB=1142576.3399△CSC=234211713.009⊙方差分析表4列平方和剛好等于總平方和：S總=SA+SB+SC+Se第33頁(yè)，共66頁(yè)。第34頁(yè)，共66頁(yè)。（二）有交互作用的正交試驗(yàn)的方差分析 當(dāng)任意兩因素之間(如A與B）存在交互作用而且顯著時(shí)，則不論因素A、B本身的影響是否顯著，A和B的最佳因素都應(yīng)從A與B的搭配中去選擇 例2－2某分析試驗(yàn)，起測(cè)定值受A、B、C三種因素的影響，每因素去兩個(gè)水平，由于因素間存在交互作用，在設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案時(shí)，可選用L8(27)表，試驗(yàn)安排結(jié)果如表（試驗(yàn)指標(biāo)要求越小越好）第35頁(yè)，共66頁(yè)。因素試驗(yàn)號(hào)12345678K1K2QiSiA1B1A×B3C4B×C6誤差7試驗(yàn)指標(biāo)（經(jīng)簡(jiǎn)化后）A×C511112222-506.253.12511221122+10-1581.2578.125112222110-56.253.12512121212-4035706.25703.1252121212120-25256.25253.1512211221-506.253.125122121125-1031.2528.12505-100-520-1510正交試驗(yàn)結(jié)果計(jì)算表第36頁(yè)，共66頁(yè)。第37頁(yè)，共66頁(yè)。方差來(lái)源平方和自由度均方F

FA顯著性方差分析表BCA×CAA×BB×C誤差總和78.125703.125253.1253.1253.1253.12528.1251071.8751111111778.125703.125253.1258.37525F0.05(1,4)=7.1

F0.01(1,4)=21.2*****第38頁(yè)，共66頁(yè)。

結(jié)果表明B、C、A×C對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響最大，B可取B2，而A和C見存在顯著的交互作用，可通過(guò)二元表和二元圖來(lái)確定其最優(yōu)水平ACA1A2C1 -10 -20C2 5 30由圖可知，A2C1最好,故最佳試驗(yàn)條件為A2B2C1，這正好是第7號(hào)試驗(yàn)。事實(shí)上，從試驗(yàn)結(jié)果看，它的效果也最好。20100-10-20-30-40A1 A2指標(biāo)AC1C2第39頁(yè)，共66頁(yè)。說(shuō)明：對(duì)二水平因素，平方和的計(jì)算有一個(gè)簡(jiǎn)單的公式設(shè)計(jì)算方法對(duì)任何二水平的因素都是適用的，設(shè)共做了n次試驗(yàn)，某一列是二水平，相應(yīng)的K值是K1和K2則該列的平方和S為:

第40頁(yè)，共66頁(yè)。例2－3某一種抗菌素的發(fā)酵培養(yǎng)基由黃豆餅粉、蛋白胨、葡萄糖、碳源1號(hào)、、無(wú)機(jī)鹽1號(hào)等組成?，F(xiàn)打算對(duì)其中五個(gè)成分的最適配比，以及最適裝量，按三種水平進(jìn)行試驗(yàn)，并將其兩個(gè)成分（黃豆餅與蛋白胨）合并為一個(gè)因素，這樣構(gòu)成一個(gè)五因素三水平試驗(yàn)。需考慮的交互作用有A×B、A×C、A×E。因素—水平表如表2－9所示。因素水平黃豆粉＋蛋白胨葡萄糖KH2PO4碳源1號(hào)裝量E(ml/250ml三角瓶)A（％）B（％）B(%)D10.5+0.54.500.53021＋16.50.011.56031.5+1.58.50.032.590第41頁(yè)，共66頁(yè)。列號(hào)12345678910111213表頭設(shè)計(jì)ABA×BCA×CEA×ED試驗(yàn)方案及結(jié)果分析見表2－10第42頁(yè)，共66頁(yè)?！?－3有重復(fù)試驗(yàn)的方差分析

正交試驗(yàn)中有重復(fù)試驗(yàn)的方差分析同單因素有重復(fù)試驗(yàn)的方差分析方法基本相同。在無(wú)重復(fù)的試驗(yàn)中，我們把空列的平方和作為誤差的平方和，其中既包括有試驗(yàn)誤差，也包含有模型誤差。稱為第一類誤差平方和，記為Se1，在重復(fù)試驗(yàn)中，還有第二類誤差平方和，記為Se2，定義如下：第43頁(yè)，共66頁(yè)。第44頁(yè)，共66頁(yè)。例2－4某廠進(jìn)行硅橡膠工藝參數(shù)試驗(yàn)，指標(biāo)為老化前的抗拉強(qiáng)度，因素水平如表2－12所示。因素

水平A第一階段硫化溫度B第一階段硫化時(shí)間C硫化壓力D第二階段保溫溫度1130℃20（分）按壓強(qiáng)計(jì)算表壓150℃保溫1小時(shí)生至250℃保溫4小時(shí)2143℃15（分）以模具閉合為準(zhǔn)150℃保溫1小時(shí)升至250℃保溫6小時(shí)第45頁(yè)，共66頁(yè)。表頭設(shè)計(jì)(因素)ABA×BCA×DD列號(hào)1234567需考慮的交互作用有A×B，A×D，每次試驗(yàn)重復(fù)四次，表頭設(shè)計(jì)如下：第46頁(yè)，共66頁(yè)。表2－14方差分析表第47頁(yè)，共66頁(yè)。

結(jié)論：方差分析的結(jié)果表明，C、D對(duì)指標(biāo)影響不顯著，且C不涉及交互作用，依節(jié)方便的原則取C1.而A、B、D的最優(yōu)水平，通過(guò)作二元表及二元圖選出。二元表及二元圖如下:ABA1A2B1-33.613.9B216.89.05ADA1A2D1-20.3543.5D23.55-20.1第48頁(yè)，共66頁(yè)。從二元表及二元圖知，對(duì)A×B，好的搭配為A2B2對(duì)A×D，好的搭配為A2D1綜合考慮A、B、D三因素應(yīng)取水平搭配為A2D1B1C1.故，選出的最優(yōu)條件為A2D1B1C1第49頁(yè)，共66頁(yè)。

因?yàn)橹貜?fù)試驗(yàn)?zāi)艽蟠筇岣咴囼?yàn)的精度，所以在條件許可時(shí)，應(yīng)盡可能安排重復(fù)試驗(yàn)。例2－5研究某三因素二水平體系，其取值如表2－15所示。試安排試驗(yàn)并從試驗(yàn)結(jié)果分析因素A、B、C及其交互作用對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響。若有重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，其結(jié)果又如何呢？選取L8(27)表安排試驗(yàn)，試驗(yàn)方案及結(jié)果計(jì)算如表2－16所示。因素水平ABC11.5Ⅰ型2.521.0Ⅱ型2.0第50頁(yè)，共66頁(yè)。因素(列號(hào)）實(shí)驗(yàn)號(hào)A1B2A×B3C4A×C5B×C67實(shí)驗(yàn)指標(biāo)12345678-0.500-0.501.00.50K1K2RS-1.00.5000.5-1.00.51.500.50.501.502.50.50.50.50.52.50.50.78120.03120.03120.03120.03120.78120.0312

表2-16實(shí)驗(yàn)方案及結(jié)果計(jì)算表第51頁(yè)，共66頁(yè)。所以，整個(gè)試驗(yàn)的最佳水平組合為A2B1C1二元表及二元圖如下0.500.250-0.25B1B2BC2C1指標(biāo)第52頁(yè)，共66頁(yè)。表2－17方差分析表第53頁(yè)，共66頁(yè)。

如果對(duì)同一號(hào)的試驗(yàn)均重復(fù)一次或幾次，顯然可以提高試驗(yàn)的精確度。本例對(duì)所作的8次試驗(yàn)各重復(fù)一次，其試驗(yàn)