線性代數(shù)試題和線性代數(shù)試題和線性代數(shù)試題和Fpg線性代數(shù)習(xí)題和答案第一部分選擇題(共28分)一、單項選擇題（本大題共14小題，每題2分，共28分）在每題列出の四個選項中只有一個是吻合題目要求の，請將其代碼填在題后の括號內(nèi)。錯選或未選均無分。a11a12a13a11=n，則行列式a11a12a13等于（）1.設(shè)行列式a22=m，a21a21a22a23a21a23A.m+nB.-(m+n)C.n-mD.m-n1002.設(shè)矩陣A=020，則A-1等于（）00310031001A.00B.010220110003110000231C.10D.000300101203123.設(shè)矩陣A=101，A*是Aの陪同矩陣，則A*中位于（1，2）の元素是（）214A.–6B.6C.2D.–24.設(shè)A是方陣，若有矩陣關(guān)系式AB=AC，則必有（）A.A=0B.BC時A=0C.A0時B=CD.|A|0時B=C5.已知3×4矩陣Aの行向量組線性沒關(guān)，則秩（AT）等于（）A.1B.2C.3，α，，α和β，βD.4均線性相關(guān)，則（）6.設(shè)兩個向量組α1，，β2s12s有不全為0の數(shù)λ1，λ2，，λs使λ1α1+λ2α2++λsαs=0和λ1β1+λ2β2+λsβs=0有不全為0の數(shù)λ1，λ2，，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）++λs（αs+βs）=0有不全為0の數(shù)λ1，λ2，，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）++λs（αs-βs）=0有不全為0の數(shù)λ1，λ2，，λs和不全為0の數(shù)μ1，μ2，，μs使λ1α1+λ2α2++sαs=0和μ1β1+μ2β2++μsβs=07.設(shè)矩陣Aの秩為r，則A中（）A.所有r-1階子式都不為0B.所有r-1階子式全為0C.最少有一個r階子式不等于0D.所有r階子式都不為08.設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組，η1，η2是其任意2個解，則以下結(jié)論錯誤の是（）A.η1+η2是Ax=0の一個解B.1η1+1η2是Ax=bの一個解22FpgFpgC.η1-η2是Ax=0の一個解D.2η1-η2是Ax=bの一個解9.設(shè)n階方陣A不行逆，則必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程組Ax=0只有零解10.設(shè)A是一個n(≥3)階方陣，以下陳說中正確の是（）A.如存在數(shù)λ和向量α使Aα=λα，則α是Aの屬于特色值λの特色向量B.如存在數(shù)λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，則λ是Aの特色值C.Aの2個不一樣の特色值可以有同一個特色向量D.如λ1，λ2，λ3是Aの3個互不同樣の特色值，α1，α2，α3挨次是Aの屬于λ1，λ2，λ3の特色向量，則α1，α2，α3有可能線性相關(guān)11.設(shè)λ0是矩陣Aの特色方程の3重根，Aの屬于λ0の線性沒關(guān)の特色向量の個數(shù)為k，則必有（）A.k≤3B.k<3C.k=3D.k>312.設(shè)A是正交矩陣，則以下結(jié)論錯誤の是（）A.|A|2必為1B.|A|必為1C.A-1=ATD.Aの行（列）向量組是正交單位向量組13.設(shè)A是實對稱矩陣，C是實可逆矩陣，B=CTAC.則（）A.A與B相似A與B不等價A與B有同樣の特色值A(chǔ)與B合同14.以下矩陣中是正定矩陣の為（）2334A.4B.632100111C.023D.120035102第二部分非選擇題（共72分）二、填空題（本大題共10小題，每題2分，共20分）不寫解答過程，將正確の答案寫在每小題の空格內(nèi)。錯填或不填均無分。11115.356.9253616.設(shè)A=111，B=123.11112.則A+2B=417.設(shè)A=(a)33，|A|=2，Aij表示|A|中元素aの代數(shù)余子式（i,j=1,2,3）,則(aAij×A)+(aA+aA)+(aAij+aA)=.+aA+a132321+aA22+aA331121122222122232323121322223218.設(shè)向量（2，-3，5）與向量（-4，6，a）線性相關(guān)，則a=.19.設(shè)A是3×4矩陣，其秩為3，若η1，η2為非齊次線性方程組Ax=bの2個不一樣の解，則它の通解為.20.設(shè)A是m×n矩陣，Aの秩為r(<n)，則齊次線性方程組Ax=0の一個基礎(chǔ)解系中含有解の個數(shù)為.21.設(shè)向量α、βの長度挨次為2和3，則向量α+β與α-βの內(nèi)積（α+β，α-β）=.22.設(shè)3階矩陣Aの行列式|A|=8，已知A有2個特色值-1和4，則另一特色值為.FpgFpg0106223.設(shè)矩陣A=133，已知α=1是它の一個特色向量，則α所對應(yīng)の特色值21082為.24.設(shè)實二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)の秩為4，正慣性指數(shù)為3，則其規(guī)范形為.三、計算題（本大題共7小題，每題6分，共42分）12023125.設(shè)A=340.求（1）ABT；（2）|4A|.，B=4012123112513426.試計算行列式.2011153342327.設(shè)矩陣A=110，求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.123213028.給定向量組α1=1，α2=3，α3=0，α4=1.02243419試判斷α4能否為α1，α2，α3の線性組合；若是，則求出組合系數(shù)。121022426629.設(shè)矩陣A=102.2333334求：（1）秩（A）；（2）Aの列向量組の一個最大線性沒關(guān)組02230.設(shè)矩陣A=234の所有特色值為1，1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣D，使T-1AT=D.24331.試用配方法化以下二次型為標(biāo)準(zhǔn)形FpgFpgf(x1,x2,x3)=x122x223x234x1x24x1x34x2x3，并寫出所用の滿秩線性變換。四、證明題32.設(shè)方陣A滿足A3=0，試證明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.設(shè)η0是非齊次線性方程組Ax=bの一個特解，ξ1，ξ2是其導(dǎo)出組Ax=0の一個基礎(chǔ)解系.試證明1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=bの解；2）η0，η1，η2線性沒關(guān)。答案：一、單項選擇題（本大題共14小題，每題2分，共28分）1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空題（本大題共10空，每空2分，共20分）15.633716.1374–10η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c為任意常數(shù)n-r–5–2124.z12z22z23z24三、計算題（本大題共7小題，每題6分，共42分）FpgFpg1202225.解（1）ABT=340341211061810.102）|4A|=43|A|=64|A|，而120|A|=3402.121因此|4A|=64·（-2）=-1283112511126.解5134111312011001015335530511=111155051162=620301040.5555027.解AB=A+2B即（A-2E）B=A，而2211433（A-2E）-1=110153.121164143423因此B=(A-2E)-1A=153110164123386=296.21292130053228.解一130113010224011234190131121035103501120112008800110014140000FpgFpg10020101001,10000因此α4=2α1+α2+α3，組合系數(shù)為（2，1，1）.解二考慮α4=x1α1+x2α2+x3α3，2x1x23x30x13x21即2x342x23x14x2x39.方程組有獨一解（2，1，1）T，組合系數(shù)為（2，1，1）.29.解對矩陣A推行初等行變換12102A00062032820963212102121020328303283000620003=B.100021700000（1）秩（B）=3，因此秩（A）=秩（B）=3.（2）因為A與Bの列向量組有同樣の線性關(guān)系，而B是階梯形，Bの第1、2、4列是Bの列向量組の一個最大線性沒關(guān)組，故Aの第1、2、4列是Aの列向量組の一個最大線性沒關(guān)組。（Aの第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解Aの屬于特色值λ=1の2個線性沒關(guān)の特色向量為ξ1=（2，-1，0）T，ξ2=（2，0，1）T.25/525/15經(jīng)正交標(biāo)準(zhǔn)化，得η1=5/5，η2=45/15.05/3λ=-8の一個特色向量為11/3ξ3=2，經(jīng)單位化得η3=2/3.22/325/5215/151/3所求正交矩陣為T=5/545/152/3.05/32/3100對角矩陣D=010.008FpgFpg25/5215/151/3（也可取T=05/32/3.）5/545/152/331.解f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32222=（x1+2x2-2x3）-2（x2-x3）-5x3.y1x12x22x3x1y12y2設(shè)y2x2x3，即x2y2y3，y3x3x3y3120因其系數(shù)矩陣C=011可逆，故此線性變換滿秩。001經(jīng)此變換即得f(x1，x2，x3)の標(biāo)準(zhǔn)形222y1-2y2-5y3.四、證明題（本大題共2小題，每題5分，共10分）32.證因為（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，因此E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.證012=0.由假設(shè)Aη