第十章題型一概率、統(tǒng)計與數(shù)列的綜合問題例1為了備戰(zhàn)亞運會，跳水運動員甲參加國家隊訓(xùn)練測試，已知該運動員連續(xù)跳水m次，每次測試都是獨立的.若運動員甲每次選擇難度系數(shù)較小的動作A與難度系數(shù)較大的動作B的概率均為

.每次跳水測試時，若選擇動作A，取得成功的概率為

，取得成功記1分，否則記0分.若選擇動作B，取得成功的概率為

，取得成功記2分，否則記0分.總得分記為X分.(1)若m＝2，求分?jǐn)?shù)X的分布列與均值.(若結(jié)果不為整數(shù)，用分?jǐn)?shù)表示)進(jìn)行一次試驗，進(jìn)行兩次試驗，X的所有可能取值為0,1,2,3,4，所以分?jǐn)?shù)X的分布列為X01234P(2)若測試達(dá)到n分則中止，記運動員在每一次跳水均取得成功且累計得分為n分的概率為G(n)，如G(1)＝

.①求G(2)；②問是否存在λ∈R，使得{G(n)－λG(n－1)}為等比數(shù)列，其中n∈N*，n≥2？若有，求出λ；若沒有，請說明理由.據(jù)題意有，思維升華高考有時將概率、統(tǒng)計等問題與數(shù)列交匯在一起進(jìn)行考查，因此在解答此類題時，準(zhǔn)確把題中所涉及的事件進(jìn)行分解，明確所求問題所屬的事件類型是關(guān)鍵.跟蹤訓(xùn)練1

(2022·大連模擬)一款游戲規(guī)則如下：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若出現(xiàn)正面向前跳2步，若出現(xiàn)反面向前跳1步.(1)若甲、乙二人同時參與游戲，每人各擲硬幣2次，①求甲向前跳的步數(shù)大于乙向前跳的步數(shù)的概率；設(shè)甲向前跳的步數(shù)為Y，乙向前跳的步數(shù)為Z，則P(Y＝2)＝P(Z＝2)＝

，P(Y＝3)＝P(Z＝3)＝

，P(Y＝4)＝P(Z＝4)＝

，②記甲、乙二人向前跳的步數(shù)和為X，求隨機(jī)變量X的分布列和均值.由①知X的所有可能取值為4,5,6,7,8，隨機(jī)變量X的分布列為X45678PP(X＝6)＝

，(2)若某人擲硬幣若干次，向前跳的步數(shù)為n(n∈N*)的概率記為pn，求pn的最大值.當(dāng)n≥3時，當(dāng)n為偶數(shù)時，題型二概率、統(tǒng)計與函數(shù)的綜合問題例2

(2021·新高考全國Ⅱ)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，P(X＝i)＝pi(i＝0,1,2,3).(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)；E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一個最小正實根，求證：當(dāng)E(X)≤1時，p＝1，當(dāng)E(X)>1時，p<1；設(shè)f(x)＝p3x3＋p2x2＋(p1－1)x＋p0，因為p3＋p2＋p1＋p0＝1，故f(x)＝p3x3＋p2x2－(p2＋p0＋p3)x＋p0，若E(X)≤1，則p1＋2p2＋3p3≤1，故p2＋2p3≤p0.f′(x)＝3p3x2＋2p2x－(p2＋p0＋p3)，因為f′(0)＝－(p2＋p0＋p3)<0，f′(1)＝p2＋2p3－p0≤0，故f′(x)有兩個不同零點x1，x2，且x1<0<1≤x2，且x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)時，f′(x)>0；x∈(x1，x2)時，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(x1，x2)上單調(diào)遞減，若x2＝1，因為f(x)在(x1，x2)上單調(diào)遞減且f(1)＝0，而當(dāng)x∈(0，x2)時，因為f(x)在(x1，x2)上單調(diào)遞減，故f(x)>f(x2)＝f(1)＝0，故1為p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一個最小正實根，若x2>1，因為f(1)＝0且在(0，x2)上單調(diào)遞減，故1為p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一個最小正實根，綜上，若E(X)≤1，則p＝1.若E(X)>1，則p1＋2p2＋3p3>1，故p2＋2p3>p0.此時f′(0)＝－(p2＋p0＋p3)<0，f′(1)＝p2＋2p3－p0>0，故f′(x)有兩個不同零點x3，x4，且x3<0<x4<1，且x∈(－∞，x3)∪(x4，＋∞)時，f′(x)>0；x∈(x3，x4)時，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，x3)，(x4，＋∞)上單調(diào)遞增，在(x3，x4)上單調(diào)遞減，而f(1)＝0，故f(x4)<0，又f(0)＝p0>0，故f(x)在(0，x4)上存在一個零點

p，且p<1.所以p為p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一個最小正實根，此時p<1，故當(dāng)E(X)>1時，p<1.(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實際含義.意義：每一個該種微生物若繁殖后代的平均數(shù)不超過1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過1，則若干代后滅絕的概率小于1.思維升華在概率與統(tǒng)計的問題中，決策的工具是樣本的數(shù)字特征或有關(guān)概率.決策方案的最佳選擇是將概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作為最佳方案，這往往借助于函數(shù)、不等式或數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)去實現(xiàn).跟蹤訓(xùn)練2

(2022·唐山模擬)某賽事共有16位選手參加，采用雙敗淘汰制.雙敗淘汰制，即一個選手在兩輪比賽中失敗才被淘汰出局.各選手抽簽后兩兩交戰(zhàn)(結(jié)果是“非勝即敗”)，勝者繼續(xù)留在勝者組，敗者則被編入敗者組，在敗者組一旦失敗即被淘汰，最后由勝者組的獲勝者和敗者組的獲勝者進(jìn)行決賽.對陣秩序表如圖所示：賽前通過抽簽確定選手編號為1～16，在勝者組進(jìn)行第一輪比賽.每條橫線代表一場比賽，橫線下方的記號為失敗者的編號代碼，而獲勝者沒有30,7.代碼，如敗者組中的①，②，…，⑧指的是在勝者組第一輪比賽的失敗者，敗者組中的A，B，…，G指的是在勝者組第二輪到第四輪比賽的失敗者.(1)本賽事共計多少場比賽？一位選手最多能進(jìn)行多少輪比賽？(直接寫結(jié)果)(2)選手甲每輪比賽勝敗都是等可能的，設(shè)甲共進(jìn)行X輪比賽，求其均值E(X)；X的所有可能取值為2,3,4,5,6,7.X的分布列如下：X234567P(3)假設(shè)選手乙每輪比賽的勝率都為t，那么乙有三成把握經(jīng)敗者組進(jìn)入決賽嗎？乙經(jīng)敗者組進(jìn)入決賽的概率為f(t)＝(1－t)t5，0<t<1，f′(t)＝4t4(5－6t)，所以，乙沒有三成把握經(jīng)敗者組進(jìn)入決賽.課時精練KESHIJINGLIAN12341.(2022·唐山模擬)設(shè)某病毒在進(jìn)入人體后有潛伏期，患者在潛伏期內(nèi)無任何癥狀，但已具傳染性.假設(shè)一位病毒攜帶者在潛伏期內(nèi)每天有n位密接者，每位密接者被感染的概率為p，(1)若n＝3，p＝

，求一天內(nèi)被一位病毒攜帶者直接感染人數(shù)X的分布列和均值；1234隨機(jī)變量X的分布列為X0123P隨機(jī)變量X的均值為E(X)＝3×＝1.1234(2)某定點醫(yī)院為篩查某些人員是否感染此病毒，需要檢測血液樣本是否為陽性，有以下兩種檢驗方式：①逐份檢驗，即k份血液樣本需要檢驗k次；②混合檢驗，即將k份(k∈N*且k≥2)血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若檢驗結(jié)果為陰性，則這k份血液樣本全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了.如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液樣本究竟哪份為陽性，就要對k份血液樣本再逐份檢驗，此時這k份血液樣本的檢驗次數(shù)為k＋1次.1234假設(shè)樣本的檢驗結(jié)果相互獨立，且每份樣本檢驗結(jié)果是陽性的概率為p＝1－

，為使混合檢驗需要的檢驗的總次數(shù)ξ的均值比逐份檢驗的總次數(shù)η的均值更少，求k的取值范圍.參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln4≈1.3863，ln5≈1.6094，ln6≈1.7918.1234由題意知ξ的所有可能取值為1，k＋1，且P(ξ＝1)＝(1－p)k，P(ξ＝k＋1)＝1－(1－p)k，∴E(ξ)＝(1－p)k＋(k＋1)[1－(1－p)k]＝k＋1－k(1－p)k，又∵E(η)＝k，依題意知E(ξ)＜E(η)，即k＋1－k(1－p)k＜k，12341234設(shè)f(x)＝ln

x－

，∴當(dāng)0<x<3時，f′(x)>0，當(dāng)x>3時，f′(x)<0，∴f(x)在(0,3)上單調(diào)遞增，在(3，＋∞)上單調(diào)遞減，1234故k的取值范圍為2≤k≤4且k∈N*.12342.(2022·泉州模擬)某公司為了解年宣傳費x(單位：十萬元)對年利潤y(單位：十萬元)的影響，統(tǒng)計甲、乙兩個地區(qū)5個營業(yè)網(wǎng)點近10年的年宣傳費和利潤相關(guān)數(shù)據(jù)，公司采用相關(guān)指標(biāo)衡量宣傳費是否產(chǎn)生利潤效益，產(chǎn)生利潤效益的年份用“＋”，反之用“－”號記錄.年份2011201220132014201520162017201820192020甲1＋＋－＋＋＋＋－＋＋甲2＋＋＋－＋＋－＋＋＋甲3＋＋－＋＋＋＋－＋＋乙1＋－－－＋＋－－＋＋乙2＋＋－－＋＋－－－＋1234(1)根據(jù)以上信息，填寫下面2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，能否認(rèn)為宣傳費是否產(chǎn)生利潤效益與地區(qū)有關(guān)？

產(chǎn)生利潤效益未產(chǎn)生利潤效益合計甲地

乙地

合計

1234附：α0.050.0250.010xα3.8415.0246.6351234根據(jù)題意填寫列聯(lián)表如下表所示：

產(chǎn)生利潤效益未產(chǎn)生利潤效益合計甲地24630乙地101020合計3416501234零假設(shè)為H0：宣傳費是否產(chǎn)生利潤效益與地區(qū)無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到＝x0.05，∴依據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為宣傳費是否產(chǎn)生利潤效益與地區(qū)有關(guān).1234經(jīng)驗回歸方程甲地0.0321.021乙地＝1.3＋1.8lnx0.14211.614根據(jù)上述信息，某同學(xué)得出“因為甲地模型的殘差平方和小于乙地模型的殘差平方和，所以甲地的模型擬合度高于乙地”的判斷，根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計知識，分析上述判斷是否正確，并給出適當(dāng)?shù)慕忉專?/p>

1234對于甲地，其模型決定系數(shù)1234對于乙地，其決定系數(shù)∴乙地模型的擬合程度更高，故“因為甲地模型的殘差平方和小于乙地模型的殘差平方和，所以甲地的模型擬合度高于乙地”的判斷是不正確的.1234(3)該公司選擇上述兩個模型進(jìn)行預(yù)報，若欲投入36萬元的年宣傳費，如何分配甲、乙兩地的宣傳費用，可以使兩地總的年利潤達(dá)到最大.1234設(shè)投入甲地的年宣傳費為x(單位：十萬元)，則投入乙地的費用為(3.6－x)(單位：十萬元)，設(shè)兩地總的年利潤為ω(x)(單位：十萬元)，則ω(x)＝－0.28＋

＋1.3＋1.8ln(3.6－x)＝

＋1.8ln(3.6－x)＋1.02,0<x<3.6，1234當(dāng)0<<1.2，即0<x<1.44時，ω′(x)>0，ω(x)單調(diào)遞增，當(dāng)

>1.2，即x>1.44時，ω′(x)<0，ω(x)單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝1.44時，ω(x)取得最大值，最大值為1.8ln2.16＋3.42.故分配給甲地14.4萬元，分配給乙地21.6萬元時，可以使兩地總的年利潤達(dá)到最大，最大利潤為(18ln2.16＋34.2)萬元.12343.某種病毒存在人與人之間的傳染，可以通過與患者的密切接觸進(jìn)行傳染.我們把與患者有過密切接觸的人群稱為密切接觸者，每位密切接觸者被感染后即被稱為患者.已知每位密切接觸者在接觸一個患者后被感染的概率為p(0<p<1)，某位患者在隔離之前，每天有a位密切接觸者，其中被感染的人數(shù)為X(0≤X≤a)，假設(shè)每位密切接觸者不再接觸其他患者.(1)求一天內(nèi)被感染人數(shù)為X的概率P(X)與a，p的關(guān)系式和X的均值；1234由題意知，被感染人數(shù)服從二項分布X～B(a，p)，則P(X)＝

(1－p)a－X(0≤X≤a)，E(X)＝ap.1234(2)該病毒在進(jìn)入人體后有14天的潛伏期，在這14天的潛伏期內(nèi)患者無任何癥狀，為病毒傳播的最佳時間，設(shè)每位患者在被感染后的第二天又有a位密切接觸者，從某一名患者被感染，按第1天算起，第n天新增患者的均值記為En(n≥2).①求數(shù)列{En}的通項公式，并證明數(shù)列{En}為等比數(shù)列；1234第n天被感染人數(shù)為(1＋ap)n－1，第n－1天被感染人數(shù)為(1＋ap)n－2，由題目中均值的定義可知，En＝(1＋ap)n－1－(1＋ap)n－2＝ap(1＋ap)n－2(n≥2)，則

＝1＋ap，且E2＝ap.∴{En}是以ap為首項，1＋ap為公比的等比數(shù)列.12341234≈1.1－0.7－0.3＝0.1.1234當(dāng)a＝10時，En＝10p(1＋10p)n－2，則E6′＝10×0.1×(1＋10×0.1)4＝16，E6＝10×0.5×(1＋10×0.5)4＝6480.∵E6>E6′，∴戴口罩很有必要.12344.(2022·濟(jì)南模擬)某企業(yè)對生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化升級，升級后的設(shè)備控制系統(tǒng)由2k－1(k∈N*)個相同的元件組成，每個元件正常工作的概率均為p(0<p<1)，各元件之間相互獨立.當(dāng)控制系統(tǒng)有不少于k個元件正常工作時，設(shè)備正常運行，否則設(shè)備停止運行，記設(shè)備正常運行的概率為pk(例如：p2表示控制系統(tǒng)由3個元件組成時設(shè)備正常運行的概率；p3表示控制系統(tǒng)由5個元件組成時設(shè)備正常運行的概率).(1)若每個元件正常工作的概率p＝

.①當(dāng)k＝2時，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)X的分布列和均值；1234因為k＝2，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)X的所有可能取值為0,1,2,3，1234所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個