1、高等數(shù)學(xué)數(shù)列極限收斂60道典型例題分步驟詳解數(shù)列收斂，換言之就是數(shù)列極限存在， 此類問題歷來都是高數(shù)考試的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是倍受命題老師青睞的“寵兒”。數(shù)列收斂題型大致可分為兩大類：第一類，數(shù)列的一般項(xiàng)（也稱“通項(xiàng)”）已知；第二類，數(shù)列的一般項(xiàng)（通項(xiàng)）未知，尤其是由遞推公式心斗1二（n = l, 2,3, 一 ,）給出的數(shù)列，請務(wù)必重點(diǎn)關(guān)注。本文精選了60道數(shù)列收斂60個例題中如果用方括60個例題中如果用方括第一類 數(shù)列的一般項(xiàng)（通項(xiàng)）已知1.12008真題】設(shè)Uab ,求極限（運(yùn)用“兩邊夾”定理）:（運(yùn)用“兩邊夾”定理）:7=冏肌 二落想)1 1 TOC o 1-5 h z ，5 十丁” =-

2、 胃 T OO(1(n +1) (n-l- 2) (n + 3)2鏟+ 1解法（一）r n3 +6n2 + lln 4-G1解法（一）原式,.(T QOTl + 3311 n _ 3 ijQ f 3力手由3|n.H + MLUTtn-+ oc7.lim (1 + 2 + 3)fT QOTl + 3311 n _ 3 (n +1)sin n n原式=l,H.nTg(n + l)n8111 -TZn8.=1nJtn fcosI原式=1=卷T Xlimnlnfcos 1+1.rp T1j【注limnlnfcos 1+1.rp T1j【注：In cos 1 + 19.arctan1.1,X 1- CO

3、S1 -_2 (性 T DO)?!上nlLmnJ| -f 1lirn n * I urctan arctan TOC o 1-5 h z 忖 T g M，、-va u 解法（一）利用公式 .、：.： - - 1 ,【注 arclan一f r (n-oo)“n2 + n + l M +和+ 1=In 1.二n - oo解法（二）利用拉格郎日中值定理，注意求導(dǎo)公式原式=I n 8【注：拜： T 0（n T oo）】10.=1二：一-J = 1n + nJ解：原式=口產(chǎn)T1 T g=山口二T=1【X錯誤】。T1 T OC F正確的解法如下:原式= 一 1?n -n Inf 14 =Jlj-ln(l

4、+ ll71=j71T1 T X=i, fj -* DC11.-n t g.解法（一）利用等價無窮小替換1 + !) T 八U 5 T 2 】=lini nn v Ct=-0, a 1= 1解法（二）利用 工ngm以g中值定理，注意求導(dǎo)公式 上四=凹一原式=lim q 一 （r +1 T】） 【注：邛 1n 2na + 1 （12.【2。2真題】螞叫nQ_2a） 12.解法（一）利用等無窮小替換解法（一）利用等無窮小替換原式=1,小管原式=1,小管T g + n(l 2a) _n(l 2 a)E解法（二）利用“兩邊夾定理，【注意：7- 1)flTg )解法(一)利用拉格郎日中值定理，注意求導(dǎo)公

5、式原式=獷 Eq ()注： t aTLR 十 J. = ln - hmn2( 2 ,) = hrn.is n + nJ解法(二)利用等價無窮小替換原式二1)=_ 1)【注：m cso I= hm/ ?| =1口口uTw ri + n/(1 v1.出n Sin-fiToe I7? /解：此數(shù)列求極限推薦等價無窮小替換。解法如下：Ui (n Min-1原式二呼e 13TT* pQWW L + 1/出J=g注：1口 一 nJimn2I -r- - 1n-*oci1。lim n,! sin- n nJ.11=c【注即ninnhmndm)-77gitfR 6n /fig 位工=aTna dx1 1 n：

6、.lim華=0【注：歸結(jié)原則】V71解法（二）利用拉格郎日中值定理，注意求導(dǎo)公式 =axHm y/ny/n 1）rn+i16.”出解：本題求極限，“兩邊夾”定理、單調(diào)有界準(zhǔn)則、定積分定義等方法似乎均不太“給力”，需 將變量連續(xù)化，也就是將離散變量n替換為連續(xù)變量x,再運(yùn)用包括洛必達(dá)法則在內(nèi)的求解函數(shù)極限的方法.詳細(xì)過程如下：=lim工nJ/ 派洛必達(dá)法則-2r+l)_1 i hJjt工二】皿-7i-J T +i3C -H 上17.Jim 17.Jim tann- + “T84 nn Intntui 三 lim e gnln IttiL=1n Intntui 三 lim e gnln IttiL

7、=1加七n 30【注：In tan1 + 1trill4 + n -1(解法（一）利用導(dǎo)數(shù)定義 原式=ngan=lime Lra -t do=!1mn - oolimTV【注：的指數(shù)部分，正是按定義所求的函數(shù)tanH在不處的導(dǎo)數(shù).】；nm = sec，】di解法（二）拉格郎日中值定理，注意求導(dǎo)公式京 解法（二）拉格郎日中值定理，注意求導(dǎo)公式京 tan 工=sec% azn - Intan! 4原式二1二 m =i1mjn-oofir 1n f亂口 h=lime Lln ooIfUln soc3 =1 二二，注：廣7 + 1 /9】=I -n f =.【注：本題推薦EogrtmgE中值定理?！拷?/p>

8、：本題求極限需運(yùn)用洛必達(dá)法則nliu 三 n原式=卜： TgnUl-drfdpb it-14 L =F1TQC/2、2【注：In arctati n 1 + 1 ; arcLan 邛 7T/7Tl(nT oo)1TT1 E=T + 1TT1 E=T + 81題的結(jié)論，可知分母lim fXT 4FogTJ = ZXJy n- y/n y/n； -0一+;”；-j【分析】根據(jù)極限的四則運(yùn)算法則，商的極限等于極限的商。利用第10的極限等于3,所以本題的關(guān)鍵是求解分子的極限。方法如下: 解法（一）分子有理化1小 原式=,，也V 7L + y/n + y/n4,5 V 7L + y/n + y/n解法（

9、二）等價無窮小替換11= (n T g)2y原式=；L. TOC o 1-5 h z =IJ.- + ,bM、/解：本題推薦“兩邊夾”定理。工j 2 7 n （n+vT+fl7） （2/1+才尸 （2v）三lim n = 1 1 1lim(2/2n2) = lim(2問葭而二1“T Hllim 1_二 lim (n + n*) n = 1 ( 1)解法（一）分子有理化+1 + y/n2+1 + y/n2 - 1原式= .RL- DO解法（二）利用Logm孔卯中值定理，注意求導(dǎo)公式2yx【注：f+ g T g(n 【注：foofl解：本題求極限需應(yīng)用定積分的定義力(若)原式=:Fi dtH TO

10、C o 1-5 h z 1 r -i ,.2=-=27.斤J 口7T& 打27. -I- - - -I-3-55-7 C2n- 1) (2 +1)解：令 =+1213(2n -1) (2n +1) = 2 (加-1 - 2n + l)， %=W) + (H)+T)+(壯T - 居i)=*一 告1(18)因此得到11m (士+ W+ 733 = 1ktsi,3 315 5*7(2胃一1) (2樸 +1)/ 228.12019真題】- +而%J解：-1=1一；因此得到因此得到：一 ，解法(一)將數(shù)列表達(dá)式“裂項(xiàng)”變形. 1 + 2 + 3 +一+ 凡=n，4D = 2(n - n + 1)2，1+

11、1 +1 I . I1-2f1-1+21+2 + 3l + 2 + 3+，*H也 Ji + 1因此得到解法（二）利用“兩邊夾定理”因此得到解法（二）利用“兩邊夾定理”1 + 2+ 3+ y/n1 + 2+ 3+ y/n T 1 (n T oo)1oclol14解:15本題求極限，需“兩邊夾定理”與定積分定義相結(jié)合。_ 272二,工界* 1 +】+n+1曰十；一2靠十廣” 占2ifn .T =)，則可得到 z _/. 1n + 愴十二士金/0土當(dāng)注 + 1F / a 1仁“丁j=1 n n2，1In 2 o1W2_2_ 所Hui-T7tx. 5- n + 11=1nd- I1|2o 1口2lin

12、ilinirt 卜g2”2“1P 上】T 1 T Tn+2*豆34.n litn In； 忡T8 1 + y-1 +(1十等1 2n解:A.B.C.D.2 ln(l + x)trlti2 3(l+T)dz本題需運(yùn)用定積分的定義1 + 4+里=lim In /1 + 上 + In (1 +2n32n+ ln 1 + +1口(1+鋁/ Ln（l+工）心【注：令工+ 1 = 1516Lnjrrfi因此可知，答案為 B.35.r. ,1 - 35.r. ,1 - -+ （1+9 +（1+；）解：本題求極限，推薦采用“兩邊夾定理。但是根號下究竟哪一項(xiàng)最大， 哪一項(xiàng)又是最小呢？ 我們知道，（】+券單調(diào)增加

13、，因此可以判定根號下（1+D”最小，0+3y最大。詳解 過程如下：記叫+ 獷 + + f +十（I + J，則可得到36.十TH-*00 V【2012真題】（含 + + + +解：本題求極限，需利用定積分的定義。具體過程如下=,7T =I37.求數(shù)列極限.36.十TH-*00 V【2012真題】（含 + + + +解：本題求極限，需利用定積分的定義。具體過程如下=,7T =I37.求數(shù)列極限.flT 81617解：本題求極限需將數(shù)列一般項(xiàng)（通項(xiàng)）變形。具體過程如下:j 3狀+ 3*41 = /伏+1尸一尸=_1H+比尸 一 乙 】一41尸 一乙6+1)7flr - 1-K 1ft J,lim

14、xn lfl A 838.設(shè)% = m一白+4k，求數(shù)列極限螞小.解：同第46題類似，本題求極限也需將數(shù)列一般項(xiàng)變形。詳解過程如下：* 屋5爐4馱由 1=g 一一 2)61)*伏 + 1) + 2) ( + 3) - G + D (42)(i + 3)(i + 4)j=4 (123 4 - (n + 1)(n + 2) (n + 3) (n + 4) 4 (不卜39.12017 真題】lim T ln( 1 + -解：本題求極限需利用定積分的定義。詳細(xì)過程如下原式=J- c= 1wlnQ wlnQ + 工)&=I - ! ,I -1171840.12010真題】lim+ (n3 +j2)A.(

15、1+心(1+/)B.(1 +1) (1 + V)C.(1 + 工)(l + y)解：由于D.1 (1 +力(1 + T)的原式=為：(n + i)(na +j1)r|EG|+G)n 1 +=；Jo Ju（1 + 力（1+/）因此可知，正確答案為 D.41. nfir 3Cn!Vn71Tl?解：原式T- lO=lime ” = lime” nFl Tgn oc-flnl + Ln- =limenl n ”n /8TI/ lnj*dtz=lim岫Tg1819lf (1 + 2! +31 + 十 小戶42.Inn 42.fi-+ 3U般解：本題求極限需“兩邊夾定理”與定積分定義相給合。具體求解過程如

16、下:Q + 2! +3 d爐n利用前面第41題的結(jié)論，得到Q + 2! +3 d爐n利用前面第41題的結(jié)論，得到所以原式的極限為1v (1+2! +3! + +獻(xiàn))占 1hm =n t 0氾e43.1 , 143.lim - (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + n)rt cTg 71-解:(n+解:(n+1) (n H- 2) (n -F 3) * , , (n + n)-二n/ In (14 x)(Le= eJr(l + r)lD(14a) 一(1 + G匕4匕44.y44.y巴/加1?；丁）與，（心 解：本題求極限，推薦“兩邊夾定理”，詳解過程如下:In （1 + 工

17、） 0, a 0 一 一KinB JF sin n2# sn-3jtSITIaindrflBlIlTT一CCSI ：7T 10lini,k7T sin 717T7T7T7Tnf + 246.工二f|T gIn (ri 十 1) + In (n + 2)+ +In(71 4- n)n+ -Inn解：本題求極限亦需“兩邊夾定理”與定積分定義相結(jié)合In (n 4 1)lii(n + 2)十 ,271 H n十，一十ln(n + n)C In (n 4 k) 修i廠，則可得到k=i n H2021U lu(R + L) 1 廣 L U ln(M +ln(n + fc) /v 1 t / . , 1In

18、n = Ein ln(n + k)- 7ihin” (ln(n +1) Inn) + (ln(n + 2) Inn) H 4 (ln(n + n) Inn) =hm:hi (1 + ；) + In (1 + ；) + * * , + hi (1 +=lim-fl T XTlf lri(l + )dz = (1 + 3)hi(1 + r) I； (1 + k) |J o=ln4 1ln(n + k) Jt ln(n + k) Jt 1. (2)limq TOCln(l + x)dr山(1 + ；) + 山(1 + + + In (1 limq TOCln(l + x)drn=Lo.4 1 TOC

19、 o 1-5 h z ln(n + l) ln(n + 2) ln(n + n) .4 1hm -；+ - + +In邛！ =1口4 1ndn + -n + -/ntin!第二類數(shù)列的一般項(xiàng)(通項(xiàng))未知47.12018真題】設(shè)數(shù)列 滿足：的0,小小，：二一 1, ( = 1,2,3, )，證明數(shù)列%收斂并求極限lim隊(duì).n38解：證明數(shù)列收斂，即證明該數(shù)列單調(diào)有界。過程如下：2122第一步：證明422第一步：證明4有界三1 1T 0工1 0 = e 的= 1 =?* & 0 I T 0/嗎即數(shù)列鳥）有下界.第二步：證明（工單調(diào)，此處推薦運(yùn)用 他下劃就中值定理。:hi 工11-1 (0 -1 0

20、 ,所以可知LM0 ,因此可得 町Tg綺=屋1口工=0即： =1|沖T8.設(shè) 0 ,工=與5= 1 2 31,），證明：數(shù)列工口極限存在并求此極限。 工m解：證明數(shù)列極限存在，通常就是要證明數(shù)列單調(diào)有界。詳解過程如下：依題意，可知./=苧十上三2，勺數(shù)列有下界。 上 “_】2 母一17=可+ 2 之5 + /忌、& W1 4 W,數(shù)列單倜減少。怎 n 12 一工 I v 2 I 數(shù)列容單調(diào)減少且有下界，所以極限存在。設(shè)lim2=30 ,對工=字+等式兩邊求極限，得到?jīng)_T 81 Xn上 L即數(shù)列小的極限為 M4(1 + T _1).設(shè)的0,工.=& + /二，g = 123,),求極限如2-22

21、23解：這里再次強(qiáng)調(diào)，用遞推關(guān)系式給出的數(shù)列求極限，除非能直接寫出通項(xiàng)（一般項(xiàng)）表達(dá) 式品 = 1,2,3），否則無論題目是否要求，均應(yīng)事先證明極限存在，然后再計算極限數(shù)值，切記！否則將會嚴(yán)重失分!第一步：證明數(shù)列單調(diào)有界，極限存在。4。4瑞4 + 4。4瑞4 + 疆1易知工”0,即數(shù)列工4有下界。4(1 +工)4 + 禽_14(4 + 跖-J - 124 +需一12二4一年二4,數(shù)列工有上界。由數(shù)列通項(xiàng) / =,作函數(shù)/=%匕設(shè)，求導(dǎo)得到4十 14十工*以工）=。,數(shù)列工*單調(diào)。數(shù)列$單調(diào)且上、下界都存在，所以極限lim區(qū),存在。的 +8【注意：證明數(shù)列單調(diào)必不可少！ 因?yàn)閿?shù)列上、下界均存在

22、，極限未必存在。如容=（-D+l, 顯然上界為2下界為0,但極限不存在?！坑捎谇懊嬉炎C %= 0 ,所以設(shè)極限lim x,=LQ,則有下列等式成立4 1工胃一1fli才8工=2一口4 + L即 =- fTg【說明：通常證明數(shù)列極限存在，須證明單調(diào)減少有下界，或者單調(diào)增加有上界。但是對于本題，由題目所給條件 如0,q= *：二，我們證明了該數(shù)列單調(diào)并且上、下界均存在，所以無論單調(diào)增加或減少，極限均存在?！? = 2,31備 ),求數(shù)列極限lim 1fl.m T 3D解：第一步，證明極限存在依題意，易知事0,（n = 2:3,4,依題意，易知事0,（n = 2:3,4,）,數(shù)列有下界。1-撲 1，

23、品 工時1數(shù)列單調(diào)減少。由于數(shù)列單調(diào)減少有下界, 第二步，計算極限數(shù)值所以極限存在?！咀⒁?！】本題求數(shù)列極限，若根據(jù)前面的經(jīng)驗(yàn)如法炮制，設(shè)極限irnx【注意！】本題求數(shù)列極限，若根據(jù)前面的經(jīng)驗(yàn)如法炮制，設(shè)極限irnxn = L ,對遞推公式“ T dsj的兩端求極限,將會得到，二n * 30=L 的兩端求極限,將會得到，二n * 30=L ,極限值無法求出!所以此路不通!那么，該如何求出本題的極限呢?2324,當(dāng)M三2時，我們可以得到T ）（H T 00）即數(shù)列的極限值為T ）（H T 00）即數(shù)列的極限值為求數(shù)列極限 .JlTg卻一2 n /作一I 棚+ 1 n 1 n - lj n nli

24、m/151.設(shè) 1d=0,啊= 1： 2Tli 二工科一i -工吁m 5 = 2,3,%， 解：本題求極限，需設(shè)法求出數(shù)列一般項(xiàng)（通項(xiàng)）的表達(dá)式。解題過程如下: 依題意，的=0,5=L 2xn =工吁十國一2 S= 2, 3,4一 ,），得到（工1 3）2425工撲=H吁 J + 一 1 一跖_。+ (羽力節(jié)吁+ + (l3 + 6 - T0) + %lim 網(wǎng)二 n Tg.設(shè)一1=10，&=，6工口,(見=1 , 2 3,證明數(shù)列工n 極限存在并求此極限。解：【證明極限存在】根據(jù)題設(shè)條件，可得 = 10.的=、/6 + 1口 = 4 ,工”4-=+工n 、.而 0 ,數(shù)列有下界。由工0+i

25、= %/6 +%,作函數(shù)/(工)=v6+工1 (H 0),求導(dǎo)可得-y-f(z) = -y-f(z) = J 0血 2/6+單調(diào)減少。前面已證數(shù)列有下界，所以極限存在?！居嬎銟O限值】設(shè)lim工二0 ,對遞推公式 叫+ i二等號兩端求極限，得到JITOO所以，數(shù)列%的極限為lim 工” =3.設(shè)/ = 1 ，= 2,1 二代7m ,加=1 ： 2, 3,),求數(shù)列極限 lim % .Q T 3D解：由題設(shè)條件，可知 :0.令. .，=,.,.= 4= :則可得到25262614+1 4 =+ 人一：)一4(4_j 一兒一。(A (4_j 一兒一。(A A)ln2所以可得人=(兒一人一1)+ (4

26、-1 Ai-aJ + ,一+ (A 4) + A,十 一一 +2,十 一一 +2,、Tn2 T ln2(n oo)J故所求數(shù)列極限為54.(1)證明：當(dāng)了0時,54.(1)證明：當(dāng)了0時,1 +工 ln(l + 工) x ：(2)設(shè).=(1+5)1 +圖1十*)I/)解：(1)對于此類不等式的證明，推薦 Logrtrngt中值定理。注意： 含111(1 +工)=.: ln(l +工)=ln(l + ) -111(1 + 0)=彳pa + 嶗 - (1-0) = y(Of a)1口(1+)=與(00時，丁J ln(l + t) 五 【證畢】1H- i(2)由題設(shè)條件，可知。-=1+馬(1+。-=

27、1+馬(1+金(i+4根據(jù)第(1)步的證明，可知v kv k =y_1,數(shù)列有下界。另外，根據(jù)遞推公式Q. = 1 + 旨一，作函數(shù)fM =1 + - Q0),可得A -r Oft = jJ 上F(* = -( L = 2JL十L(2)用定義證明Dm5 = =，件T OO寓-4=|(1+) - (1 +_ L 一 小=i(1 十九 -J (1 + L)三2 E-1一口W尹I工_瞿一|W-wL| t 0(n t oo)故得到lim廝=遇(證畢)272856.設(shè)/= /, 試求乙一(&+/ + /.解：本題是披著“積分”外衣的數(shù)列極限，求解過程如下:,/ (an + cu+a) = - ( tan

28、F&十，annTTd nn JoJaf fi_ i f r二一 / tWHsee idr 二一 /1 n u。=3V = jn n + 1 / o n(n + 1) 了-立 M(%+jJ=hm(l.J =1L7 笈n-*w ln t 17f|i= J.57. liui /2 + y 2 + v2 + 一解：依題意，可寫出遞推關(guān)系式 1 fl)x = j tanrii(l + tan2z)0(1因此原式的極限為lim 2 + /2 + v2 + =2n t dc【注：對于由遞推關(guān)系式% = /=,設(shè) lim 加 = E 3。， = /2 + 上,解出 L = n * r2,過程如下：【注：分子啟

29、理化】.2 +/- 2/-* V 2 +(1,2 +2n oo)(見_j)給出的數(shù)列求極限，通常的方法需首先證明數(shù)列單2829調(diào)有界極限存在，然后再求出具體極限值。本題給出的解法則直奔主題，先算出極限值（心算或者在草稿紙上算出，切記不要直接寫在試卷 上！），再運(yùn)用極限的定義予以證明， 可謂“先 斬后奏！】58.設(shè)工r A 0，（1 吃）鼻一 Z （n = 1, 3,一），求數(shù)列極限 lim xn.解：（一）證明數(shù)列有界.根據(jù)題設(shè)條件，得到工愴0卜 一（1 一?。? 01 ,即數(shù)列上、下界都存在 .（1 1 4）工1-】尸彳1 小 0（1 I 彳Z因此可知，數(shù)列. 單調(diào)減少且有下界，所以極限存在

30、 .（二）求數(shù)列極限由于 Xn 0j 設(shè) IlTTl A = L三 0前面已證 （1 一%）工吁1 M （1 一 /）4,對該不等式的左右兩端求極限，得到、（1 - ）L 三- L=.（1 - L）L W :故數(shù)列極限為lim 備二，.設(shè) %/二讓/_1（。一工= =2,3,一,），求數(shù)列極限 lim/.fliT 田解：由題設(shè)條件，可知口忘/ = 5S-工w上1 +彳一包二）=,所以數(shù)列上、下界均存在對于數(shù)列的一般項(xiàng) （通項(xiàng)）*一工吁J對于數(shù)列的一般項(xiàng) （通項(xiàng)）*一工吁J，作函數(shù)/（）=，工S /）, 0工2930由于 =0 ,因此可知數(shù)列單調(diào)，由于前面已證上、下界均存在，所以極限存在。設(shè)liin = 10,對遞推公式 小=g1(小一4_)等號兩端求極限，可得L =- L =- ) L =Z.,即數(shù)列極限為 lim鼻=Fl T Tip.設(shè)有數(shù)列%,%=入0，/ =沒_】+/_1(n = 1, 2,3,)求極限 Dm (1- 一 -I+ ).修T B 1工】工2工3j解：首先證明數(shù)列有(下)界，并且單調(diào)增加。依題意，與=4 0,工1 =母+工0=MA + 1) %0。假設(shè)工* =L1 + X0 ,則穌41