1、課后習(xí)題解答第一章緒論習(xí)題一1設(shè)x0,x*的相對(duì)誤差為5,求f(x)=lnX的誤差限。解：求lnx的誤差極限就是求f(x)=lnx的誤差限，由公式(1.2.4)有噫)=1驗(yàn))-驗(yàn)*)1尹必吧I加|殳血)已矢口x*的相對(duì)誤差殳滿足,而3=R=工*)=莊3=R=工*)=莊M*J，故曲曲-曲)丨工一切|JU瓦-JU%嚴(yán)1%|-|$、瓦*1一2_1一2即殳切=國(guó)石丈p2.下列各數(shù)都是經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似值，試指出它們有幾位有效數(shù)字，并給出其誤差限與相對(duì)誤差限。咒=門0刃*=0P釘近=氈0丸解：直接根據(jù)定義和式(1.2.2)(1.2.3)則得記有5位有效數(shù)字，其誤差限曲汽討,相對(duì)誤差限)yxJO-+遼

2、有2位有效數(shù)字，咤)莘1從家)晉8茫有5位有效數(shù)字，曲)畤3下列公式如何才比較準(zhǔn)確？刃解：要使計(jì)算較準(zhǔn)確，主要是避免兩相近數(shù)相減，故應(yīng)變換所給公式。2)()打匸半爭(zhēng)=亦阿2)()打匸半爭(zhēng)=亦阿(!4+1)-丸匚網(wǎng)4G+汽)4近似數(shù)x*=0.0310,是G+汽)5計(jì)算住-幾取住自z,利用：】式計(jì)算誤差最小。鄧+幾G+y弘四個(gè)選項(xiàng)：4汽噸第二、三章插值與函數(shù)逼近習(xí)題二、三1.給定)=嚴(yán)的數(shù)值表puX-O&IQShl-OQ&3I-02I0S3Q-032QQA2X04020Q0A用線性插值與二次插值計(jì)算ln0.54的近似值并估計(jì)誤差限解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值并

3、應(yīng)用誤差估計(jì)(5.8)。線性插值時(shí),用0.5及0.6兩點(diǎn),用Newton插值0Q-02十-o-m+_0.gJOS5Q+0d3m(o-N-cmow0Q-02|ytI|xxOOtxOoe=O008，故慘O)|斗戒|ytI|xxOOtxOoe=O008，故二次插值時(shí)，用05,0.6,0.7三點(diǎn)，作二次Newton插值P0衛(wèi)寸自一0慫0刃3+MCT2OEOY(0N-03)(0N-0Q)=-0e303Id+(-Jst0820)x00 x(-00Q)=-0QJQ83d差W|yK3b-O2)(工-W|yK3b-O2)(工-OE)(工-OA)I1.uW=y1K3_nrgx=IQ，故|y3()|yxJQx00

4、x00ex0Je000J03st2.在-4WxW4上給出07的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，若用二次插值法求沁的近似值，要使誤差不超過(guò)山函數(shù)表的步長(zhǎng)h應(yīng)取多少?解：用誤差估計(jì)式（5.8）,只令工円Y衛(wèi)+丁下=Y-工円円=壬一或Y+I=W+畢因y|mm時(shí)T)l=|扛jo_q得畢川是E0JW0P個(gè)3.若0=氣+備+器+J，求気右和和心（片.解：由均差與導(dǎo)數(shù)關(guān)系回宀卜汽代=+3+J1PCi)W=o于是劉芬弓心尸譏卞，瓦=04.若參）=護(hù)）=住-住-歸）住-必互異，求鉗時(shí)如7的值，這里pWn+1.解：但）=鉀r（w）=oXo丁呵，由均差對(duì)稱性上弄+1（衛(wèi)；商計(jì)5珥F可知當(dāng)E奪有wn而當(dāng)P=n+1時(shí)于是得3會(huì)嚴(yán)=家何

5、）屈+于是得3會(huì)嚴(yán)=家何）屈+3=呂需=15.5.求證解：解：只要按差分定義直接展開(kāi)得6.已知0=滬的函數(shù)表003013403023023II00030030020求出三次Newton均差插值多項(xiàng)式，計(jì)算f(023)的近似值并用均差的余項(xiàng)表達(dá)式估計(jì)誤差.解：根據(jù)給定函數(shù)表構(gòu)造均差表020O23TT310030OT10QA0丁肌00030030-23IOOTSOOSOQA030O3079TOOQi000紺朗笑二砂再笑三砂犧笑由式(5.14)當(dāng)n=3時(shí)得Newton均差插值多項(xiàng)式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400 x(x-0.2)(x-0.3)由此可得f(0

6、.23)N3(0.23)=0.23203由余項(xiàng)表達(dá)式(5.15)可得|Y3(033)|=計(jì)如曲1曲。立曲丸由于鼻時(shí)時(shí)外00丸W00齊皿|Y3(033)|05st35x0_Q給定f（x）=cosx的函數(shù)表3100000ObbSOOOSSOOA說(shuō)2対0&3I0QOSAA2S0323001030304020Q用Newton等距插值公式計(jì)算cos0.048及cos0.566的近似值并估計(jì)誤差解：先構(gòu)造差分表osqso777777777-O0233-OOOSAG-O0498O000oasioe-O00930oooooa-ooassO00092-O0000TO0223-O00S22OOOOIO-OOSAO

7、O00032-O00003oasooi-oooasoOOOOTS-oOHaaO00013oaaeoo-oooaaa-O00200T000000施(zA)V擺（氏X）（也代）v(aA)計(jì)算叫脅p脅訕干他,用n=4得Newton前插公式汀+叫一皿一叫頃贏T毗而7T亍樸碩訓(xùn)刃弋外=辱）=丫+虞點(diǎn)+瑋邇一j）+尋儂一j）您一+說(shuō)辦包一j）化一化一m）誤差估計(jì)由公式（5.17）得刃（008）|尋隱-1）（*一5）（*-9（5-寸）憶可衛(wèi)附2xJ0_i其中亦=|snj00=OK?計(jì)算込02弐時(shí)用Newton后插公式(5.18)衛(wèi)*一02幺廠-03=08323-03寸x-00233+0eex=08323-0

8、3寸x-00233+0eex0000+5OOOOOdJ；-0008+1eQXuqeo衛(wèi)狀呂垃(蘇+譽(yù))=鑿+應(yīng)氏+儂+j)+爭(zhēng)”述+1)僱+s)+諾y儂+】)+恥+3)誤差估計(jì)由公式(5.19)得F(ovee)|丈話檢+D代+恥+沁+對(duì))|鬟門0削xJO-i這里用仍為0.565求一個(gè)次數(shù)不高于四次的多項(xiàng)式p(x),使它滿足KoMXoMXiMXO=iX3)=i解：這種題目可以有很多方法去做，但應(yīng)以簡(jiǎn)單為宜。此處可先造山刃使它滿足=0帝八J)=J,顯然聲二工山-刃,再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由p(2)=l求出A=,于是気(刃=答3工+辛住_J)j=辛七令為八寧炸W汐稱為第二類

9、Chebyshev多項(xiàng)式，試求寸的表達(dá)式，并證明門是T,l上帶權(quán)昭=仁的正交多項(xiàng)式序列。解：因計(jì)（工）=込3+1）虹皿空EIU(S3+j)31CCO2YEIU(S3+j)31CCO2Y用最小二乘法求一個(gè)形如人=戲+沬的經(jīng)驗(yàn)公式，使它擬合下列數(shù)據(jù)，并計(jì)算均方誤差.I&0333A33込glb32313S寸寸解：本題給出擬合曲線山汽，即，故法方程系數(shù)3-03-0獸二）=!，=汕寸（E玉）=為性卅二茨癥jv3-03-0W畑）=5；=2鑒丫W(wǎng)佃）=性=厶羽餵遜3-0W弊）=工烤（）=2法方程為衛(wèi)芬厶戲+迫M磁=艾3鑒JVV+333?=314解得戲=0小伽了?=0020032J最小二乘擬合曲線為二=0小伽

10、2+0燉任宀均方程為4)4)|就=|卜|；_曾玉o玉)=crowo11填空題滿足條件Ka)=iXO=bXOX3)=3的插值多項(xiàng)式p(x)=().如皿+2,則f1,2,3,4=(),fl,2,3,4,5=().設(shè)眥円丁兀京為互異節(jié)點(diǎn)，為對(duì)應(yīng)的四次插值基函數(shù)，則和J(),=().設(shè)r=0是區(qū)間0,1上權(quán)函數(shù)為p(x)=x的最高項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)式序列，其中弊“,貝譏曲=(),*=()11)(2)W兀切壯JY丁代=o3-03-0為燈=o送(先+別二葺+第4章數(shù)值積分與數(shù)值微分習(xí)題4分別用復(fù)合梯形公式及復(fù)合Simpson公式計(jì)算下列積分.解本題只要根據(jù)復(fù)合梯形公式（6.11）及復(fù)合Simpson公式

11、（6.13）直接計(jì)算即可。對(duì)，取n二8,在分點(diǎn)處計(jì)算f（x）的值構(gòu)造函數(shù)表。按式（6.11）求出A?=0JJJst03st，按式（6.13）求得嘗=寸，卩寸+6積分用Simpson公式求積分IJ甲，并估計(jì)誤差解：直接用Simpson公式（6.7）得I：出（J+護(hù)仝+=0Q3323由（6.8）式估計(jì)誤差，因、afg=j，故沖、|（J80VJ80JQ確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精確度仃）1；鼻邨出說(shuō)+?。?亂（2）護(hù)自VIr（-P）+N（O）+V（v）(3)1(3)1；（刃爭(zhēng)出W-卩）+E（0）解：本題直接利用求積公式精確度定義，則可突出求積公式的

12、參數(shù)。(1)令鼻訂曽叮込代入公式兩端并使其相等，得F+姑+F+姑+G=J解此方程組得亍廠飛亍，于是有；(巧|(0)+ve訓(xùn)再令得Z心旳嚴(yán)亍飛故求積公式具有3次代數(shù)精確度。(2)令訂心孑代入公式兩端使其相等，得亍(一快+%=*拠TW+卄診審忙一畢)+即畢=o-V1審忙一畢)+即畢=o-V1+V=0vT+V+V=:仏聲二討(-佚+陽(yáng)=o而對(duì)=3不準(zhǔn)確成立，故求積公式具有3次代數(shù)精確度。(3)令入w耳代入公式精確成立，得一悶+曲=0一悶+曲=0解得，討宀丹，得求積公式0=l；N呼主+龍畢）J=_扌料故求積公式具有2次代數(shù)精確度。計(jì)算積分一1”呻，若用復(fù)合Simpson公式要使誤差不超過(guò)討.，問(wèn)區(qū)間目

13、要分為多少等分?若改用復(fù)合梯形公式達(dá)到同樣精確度，區(qū)間。勺應(yīng)分為多少等分?解：由Simpson公式余項(xiàng)及（刃=加1*0心得=YXJ0hm）k號(hào)（孚）蠢呵即寶n說(shuō),取n=6,即區(qū)間0勺分為12等分可使誤差不對(duì)梯形公式同樣蠶綢爲(wèi)自，由余項(xiàng)公式得|Ysm|y（）yxj0_；即兔壬6）八10嚴(yán)汽小叫咒寸取n=255才更使復(fù)合梯形公式誤差不超過(guò)亍U5.取=3解：本題只要對(duì)積分1宀泓使用Romberg算法（6.20）,計(jì)算到K=3,結(jié)果如下表所示。取=33oessays0633131OQOSTSOO63313030692410oeasiaeoeasissI0陽(yáng)oeasaaa0oesaao于是積分號(hào)卜心心汕

14、,積分準(zhǔn)確值為0.713272用三點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式計(jì)算積分.I；寧抨于是解：本題直接應(yīng)用三點(diǎn)Gauss公式計(jì)算即可。由于區(qū)間為句，所以先做變換莎+于是自#託x（j山養(yǎng)迫弄陰閃痂+（Jcr邛寸？迫）皿畑）+o懿強(qiáng)費(fèi)J=cnj亞昂本題精確值二呂-汁0J838J838用三點(diǎn)Gauss-Chebyshev求積公式計(jì)算積分解：本題直接用Gauss-Chebyshev求積公式計(jì)算55)即于是因n=2，即為二點(diǎn)公式，于是即于是因n=2，即為二點(diǎn)公式，于是即曲=C02-即曲=C02-存弋弱+J卜U2故8.試確定常數(shù)A,B,C，及a,使求積公式零乂-戲)+0(0)+鼐戲)有盡可能咼的代數(shù)精

15、確度，并指出所得求積公式的代數(shù)精確度是多少.它是否為Gauss型的求積公式?解：本題仍可根據(jù)代數(shù)精確度定義確定參數(shù)滿足的方程，令(”込對(duì)公式精確成立，得到込勺+戲Q=0V33汪馮+汪宀=疋_列+阻二；艸=0習(xí)+m+u=*工二寸由(2)(4)得A=C，這兩個(gè)方程不獨(dú)立。故可令2)=容，得由（5）解得y睫y吒，代入（1）得“僉則有求積公式公式精確成立，故求積公式具有5次代數(shù)精確度。三點(diǎn)求積公式最高代數(shù)精確度為5次，故它是Gauss型的。第五章解線性方程組的直接法習(xí)題五1.用Gauss消去法求解下列方程組.y1+曲+時(shí)=呂0+左工+?并=g*丁+yY3+yY3=解本題是Gauss消去法解具體方程組，

16、只要直接用消元公式及回代公式直接計(jì)算即可。0=-eO(-t+y)=Aed3故曲=-JNxJ23=-nAe&2.用列主元消去法求解方程組并求出2.用列主元消去法求解方程組并求出系數(shù)矩陣A系數(shù)矩陣A的行列式detA的值解：先選列主元,2行與1行交換得0消元-J8-J23行與2行交換消元0消元-J8-J23行與2行交換消元回代得解行列式得回代得解行列式得qef=-qq3.用Doolittle3.用Doolittle分解法求解.解：由矩陣乘法得解：由矩陣乘法得再由求得玉=（孑円*j科）丄由跑=玉解得=(-S3A081e3S1-Jed)下述矩陣能否作Doolittle分解，若能分解，分解式是否唯一?能分

17、解，寸A23能分解，寸A23QJ23寸J通=33J9=32J2I33.JJJ.3e.若A步分解后，z=捫二捫=計(jì)=寸0+0，相互矛盾，故A不能分解,對(duì)B,顯然護(hù)=護(hù)=0，但護(hù)wo，若A中1行與對(duì)B,顯然護(hù)=護(hù)=0，但它仍可分解為分解不唯一，評(píng)為一任意常數(shù)，且U奇異。C可分解，且唯e3J-G=sJJ3j_jse_用追趕法解三對(duì)角方程組Ax=b,其中00000-J300-J3-J00-J3-J0飛=0-J3-J0003-J000.丄解：用解對(duì)三角方程組的追趕法公式（3.1.2）和（3.1.3）計(jì)算得(7777Y=CI3777T=丈戲2=d寸？E吐斗宀4與転斗-寸S3-寸S3-寸J0用平方根法解方程

18、組解：用皆分解直接算得由卩=中及2=玉求得玉=(JFE)Jx=(f寸Sb7.設(shè)工7.設(shè)工E爲(wèi)，證明iHrH3riwr即忖F耀，另一方面WO-3JS0-02WO-3JS0-02=班+睥+VE窩站蟲(chóng)也=班+睥+VE窩站蟲(chóng)也故悴|8OJoe03T計(jì)算A的行范數(shù)，列范數(shù)及F-范數(shù)和2范數(shù)解：KIP=解：KIP=j丁hll1=o韻K=血二cwWO-3JS0-02WO-3JS0-02WO-3JS0-02WO-3JS0-02故HI3=翌過(guò)=083829.設(shè)啊為珀上任一種范數(shù)，廣盼覚是非奇異的，定義忖“珂，證明NMI_T|t證明：根據(jù)矩陣算子定義和定義，得1111I劇卞血胡令人八工，因P非奇異，故x與y為一對(duì)

19、一，于是WO-3JS0-02WO-3JS0-02WO-3JS0-02WO-3JS0-0210求下面兩個(gè)方程組的解，并利用矩陣的條件數(shù)估計(jì)-JAd討。曲_卜-JAd討。曲_卜竝-3Jdr=bl，艮即中WO-3JS0-02WO-3JS0-02WO-3JS0-02WO-3JS0-02解：記-JAd5寸-JAd5寸0勺=0V0頤=則審*的解2（才汎，而氏+頤）（工+爭(zhēng)）=?的解0+警）=（眥L而II頤二0而II頤二0公恫-11頤=03Q0J3由（3.12）的誤差估計(jì)得0t3d88JK_IMP0t3d88|1-3|210表明估計(jì)nr=略大，是符合實(shí)際的。是非題（若是在末尾（）填+,不是填-）：題目中1）

20、若1）若A對(duì)稱正定嚴(yán),則聞嘰是色上的一種向量范數(shù)2）2）定義是一種范數(shù)矩陣定義卅目吩幾是一種范數(shù)矩陣4）只要護(hù)m,則A總可分解為A=LU,其中L4）三角陣，U為非奇上三角陣（5）只要護(hù)m，則總可用列主元消去法求得方程組申*的解（）（6）若A對(duì)稱正定，則A可分解為芯，其中L為對(duì)角元素為正的下三角陣()對(duì)任何時(shí)g都有恫、怵列劃1()若A為正交矩陣丘沖(巧=()答案：(1)()(2)()(3)()(4)()(5)()(6)()(7)()(8)()第六章解線性方程組的迭代法習(xí)題六,Q用E,證明對(duì)于任意的矩陣A,序列1可亍兄了亍收斂于零矩陣解：由于憶k鳳而饗陽(yáng)erF0rF0亍兀百訊）二亍G-冏襯+列的）

21、飛=0丁百網(wǎng)呂+%）-癟）取=。0叫，迭代到18次有儀皿）“如小J0f珀崗二（m說(shuō)說(shuō)浹烏說(shuō)說(shuō)駅T說(shuō)說(shuō)3）工GS迭代法計(jì)算公式為?。┒?寸00002取）二（-寸00002說(shuō)遜憲000001ik）-Y（0）irJ，解此方程組的GS法不收斂。0戲JV=PJOP5設(shè)hoa0,detAH0,用b表示解方程組Ax=f的J法及GS法收斂的充分必要條件.解J法迭代矩陣為0-f0-f00I*JOJOJOJO0塢耳One)=第TJOJO00T0W=Wz20J00z20、-,n)(緞P3p-30020戲畀3PJ00JO3PpJ00V由斫囲“得GS法收斂得充要條件是卜恥頑6.用SOR方法解方程組（分別取3=103,

22、s=l,s=l.1）-曲+3=-3_0+寸工_工總=寸$0-曲=J精確解IP，要求當(dāng)帆）宀叫時(shí)迭代終止，并對(duì)每一個(gè)3值確定迭代次數(shù)解：用SOR方法解此方程組的迭代公式為弘=J列癟）+秒（一？+軋M=o丁*%）=J列+秒（卄弘+j）+唏）斗網(wǎng)=（時(shí)珞）+舟（j+咚）取工=（0。嘰,當(dāng)=J03時(shí)，迭代5次達(dá)到要求七）=（00000羽丁000000匸-CW迪說(shuō)紀(jì)k若取山門，迭代6次得%=（CQ000CG2O說(shuō)逾觀yCQ0000037.對(duì)上題求出SOR迭代法的最優(yōu)松弛因子及漸近收斂速度，并求J法與GS法的漸近收斂速度.若要使k-)ir“Jg那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次?解：J法的迭代矩陣為f

23、=03=寸0f=03=寸00寸0寸1刑(邀_)=寸00J,故5戸亍住,因A為對(duì)稱正定三對(duì)角陣,最優(yōu)松弛因子J+t-J0333J法收斂速度K(B)=-PW)=-pAy由于mg，故K巧=_卩E)=寸00J若要求l%TK-%就5=小九，于是迭代次數(shù)藥述_密對(duì)字岀_U門寸應(yīng)習(xí)J03d2i3_.對(duì)于J法2弋廠w,取K=15鍬亍心沢寸對(duì)于GS法尸干二苗藥沁亦,取K=8以gT)丁寸ooj_對(duì)于SOR法八話二昴ME,取K=5填空題00叫要使霍恐=0應(yīng)滿足()03SJ門F03SJ已知方程組匕JH=kl,則解此方程組的已知方程組匕Jacobi迭代法是否收斂()它的漸近收斂速度R(B)=()_jjv(3)設(shè)方程組Ax=b,其中其J法的迭代矩陣是()GS法的迭代矩陣是()用GS法解方程組b+曲,其中a為實(shí)數(shù),方法收斂的充要條件是a滿足()(5)給定方程組匕jlp(5)給定方程組匕jlp3lp,a為實(shí)數(shù)當(dāng)a滿足(),且0VsV2時(shí)SOR迭代法收斂.答:卜口J法是收斂的，K兇=(-円陀)=卩0皆0曲習(xí)題七1.用二分法求方程的正根，使誤差小于0.05解使用二分法先要確定有根區(qū)間心。本題f(x)=x2-x-l=0,