1、第六章 線性經(jīng)濟(jì)模型簡(jiǎn)介 投入產(chǎn)出模型簡(jiǎn)介 6.1 單純形法 6.3 線性規(guī)劃 6.2廣州華商學(xué)院線性代數(shù)1.1 n階行列式的定義一、投入產(chǎn)出模型二、直接消耗系數(shù) 三、平衡方程組的解 五、應(yīng)用舉例 四、完全消耗系數(shù) 一、投入產(chǎn)出模型 假設(shè)一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)是由n個(gè)產(chǎn)業(yè)部門組成的，將這n個(gè)產(chǎn)業(yè)部門以及他們之間的數(shù)量依存關(guān)系按一定的順序排列在一張表內(nèi)，稱為投入產(chǎn)出表，如表61 。表6-1xij表示第j部門在生產(chǎn)過(guò)程中消耗第i部門的中間投入數(shù)量xi表示第i個(gè)部門的總產(chǎn)出或總投入 yi表示第i個(gè)部門可供給社會(huì)消費(fèi)和使用的最終產(chǎn)品數(shù)量 zj表示第j部門的初始投入 水平方向反映各部門產(chǎn)品按經(jīng)濟(jì)用途的使用情況 垂

2、直方向反映了各部門產(chǎn)品的價(jià)值構(gòu)成 分配平衡方程組消耗平衡方程組分配平衡方程組和消耗平衡方程組統(tǒng)稱投入產(chǎn)出平衡方程組 投入產(chǎn)出模型 在利用數(shù)學(xué)方法研究經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中投入與產(chǎn)出的關(guān)系時(shí)，一般把所研究的某一經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中各部門之間的數(shù)量依存關(guān)系反映在投入產(chǎn)出表中，并將這種關(guān)系用數(shù)學(xué)式子（即建立它們的數(shù)學(xué)模型）表示出來(lái)。從它們的數(shù)學(xué)模型來(lái)看，是研究某一經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中各部門之間的投入與產(chǎn)出關(guān)系的一種線性模型。 我們將能夠反映一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中各部門之間的數(shù)量依存關(guān)系的投入產(chǎn)出表以及由此得到的平衡方程組統(tǒng)稱為投入產(chǎn)出模型。 二、直接消耗系數(shù) 定義1 第j部門生產(chǎn)單位產(chǎn)品直接消耗第i部門的產(chǎn)品量，稱為第j部門對(duì)第i部門的直

3、接消耗系數(shù)，記作aij ，即各部門之間的直接消耗系數(shù)構(gòu)成的n階矩陣，稱為直接消耗系數(shù)矩陣，記作 直接消耗系數(shù)充分反映了各部門之間在生產(chǎn)技術(shù)上的數(shù)量依存關(guān)系。 矩陣C為中間投入系數(shù)矩陣分配平衡方程組和消耗平衡方程組的矩陣表示 X=AX+Y 或 (E-A)X=Y X=CX+Z 或 (E-C)X=Z 矩陣表示矩陣表示分配平衡方程組 消耗平衡方程組 例1.設(shè)某企業(yè)有三個(gè)生產(chǎn)部門，該企業(yè)在某一生產(chǎn)周期內(nèi)各部門的生產(chǎn)消耗量和初始投入量如表62所示求：（1）各部門總產(chǎn)出x1 ,x2,x3 ；（2）各部門最終產(chǎn)品y1，y2，y3；（3）直接消耗系數(shù)矩陣A。 解：（1）消耗平衡方程組為 將xij和zj的值代入，

4、得 （2）分配平衡方程組為 將xj和xij 的值代入，得 （3）由直接消耗系數(shù)公式和矩陣乘法運(yùn)算法則，得直接消耗系數(shù)矩陣A具有以下性質(zhì)： 性質(zhì)1 所有元素均非負(fù)，且 性質(zhì)2 各列元素的絕對(duì)值之和均小于1，即 根據(jù)這兩條性質(zhì)，可證明以下結(jié)論：投入產(chǎn)出模型中的矩陣(E-A)和(E-C)都是可逆矩陣。 三、平衡方程組的解 1.消耗平衡方程組的解 2.分配平衡方程組的解 1.消耗平衡方程組的解若直接消耗系數(shù)aij是已知數(shù)值，則它就是一個(gè)線性方程組，用矩陣表示為三、平衡方程組的解 1.消耗平衡方程組的解 2.分配平衡方程組的解 若已知xj的數(shù)值，則求yj值的矩陣運(yùn)算公式為 若已知yj的數(shù)值，由于矩陣(E

5、-A)可逆，則求xj值的矩陣運(yùn)算公式為 例2由建筑隊(duì)、電氣隊(duì)、機(jī)械隊(duì)組成一個(gè)施工公司，他們商定在某一時(shí)期內(nèi)互相提供服務(wù)，建筑隊(duì)每單位產(chǎn)值分別需要電氣隊(duì)、機(jī)械隊(duì)的0.1，0.3單位服務(wù)，電氣隊(duì)每單位產(chǎn)值分別需要建筑隊(duì)、機(jī)械隊(duì)的0.2，0.4單位服務(wù)，機(jī)械隊(duì)每單位產(chǎn)值分別需要建筑隊(duì)、電氣隊(duì)的0.3，0.4單位服務(wù)。又知在該時(shí)期內(nèi)，他們都對(duì)外服務(wù)，創(chuàng)造的產(chǎn)值分別為建筑隊(duì)500萬(wàn)元，電氣隊(duì)700萬(wàn)元，機(jī)械隊(duì)600萬(wàn)元。(1) 問(wèn)這一時(shí)期內(nèi)，每個(gè)工程隊(duì)創(chuàng)造的總產(chǎn)出是多少？ (2)求各工程隊(duì)之間的中間投入和初始投入。 解: （1）直接消耗系數(shù)矩陣和最終產(chǎn)品矩陣為 其分配平衡方程組為 用初等行變換將其增廣矩

6、陣化為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣，得 所以每個(gè)施工隊(duì)創(chuàng)造的總產(chǎn)出分別為 （2）由直接消耗系數(shù)公式和矩陣乘法運(yùn)算規(guī)則可知，各工程隊(duì)之間的中間投入矩陣為 由消耗平衡方程組，得 故各施工隊(duì)的初始投入為 四、完全消耗系數(shù) 定義2 第j部門生產(chǎn)單位產(chǎn)品時(shí)對(duì)第i部門產(chǎn)品量的直接消耗和間接消耗之和，稱為第j部門對(duì)第i部門的完全消耗系數(shù)，記作bij，即 間接消耗的總和 各部門之間的完全消耗系數(shù)構(gòu)成的n階矩陣，稱為完全消耗系數(shù)矩陣，記作 矩陣表示為B=A+BA 完全消耗系數(shù)矩陣的計(jì)算公式例3 已知某一經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的直接消耗系數(shù)矩陣 試求該系統(tǒng)的完全消耗系數(shù)矩陣B 。解： 因?yàn)?利用初等行變換求逆矩陣 例4 已知某一經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的

7、完全消耗系數(shù)矩陣B和最終產(chǎn)品矩陣Y如下： 試求該系統(tǒng)的總產(chǎn)出矩陣X .解：因?yàn)?五、應(yīng)用舉例 例5 已知某一經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)有三個(gè)生產(chǎn)部門，其完全消耗系數(shù)矩陣為 下一計(jì)劃期最終產(chǎn)品的計(jì)劃是 試求：（1）下一計(jì)劃期的計(jì)劃總產(chǎn)量X。（2）在計(jì)劃的執(zhí)行過(guò)程中，如果發(fā)現(xiàn)第1部門產(chǎn)品有5個(gè)單位的余量，第3部門產(chǎn)品有10個(gè)單位的缺口，那么原計(jì)劃應(yīng)如何調(diào)整？ 解：（1）因?yàn)?所以，下一計(jì)劃期的計(jì)劃總產(chǎn)量是 (2) 當(dāng)最終產(chǎn)品的數(shù)量發(fā)生改變量 時(shí)，則各部門間的總產(chǎn)品量相應(yīng)發(fā)生的改變量是代入上式，得 代入上式，得 即調(diào)整后的三個(gè)部門的總產(chǎn)值分別為 第六章 線性經(jīng)濟(jì)模型簡(jiǎn)介 投入產(chǎn)出模型簡(jiǎn)介 6.1 單純形法 6.3 線

8、性規(guī)劃 6.26.2 線性規(guī)劃 一、規(guī)劃線性問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型二、線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式 三、線性規(guī)劃問(wèn)題的幾個(gè)基本概念 四、兩個(gè)變量線性規(guī)劃問(wèn)題的圖解法一、規(guī)劃線性問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型例1 某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，要用A,B,C三種不同的原料，從工藝資料知道：每生產(chǎn)1件甲種產(chǎn)品，需用三種原料分別為1，1，0單位；生產(chǎn)1件乙種產(chǎn)品，需用三種原料為1，2，1單位；每天原料供應(yīng)的能力分別為6，6，3單位。又知道，每生產(chǎn)1件甲、乙產(chǎn)品，工廠利潤(rùn)收入分別為3千元和4千元，問(wèn)：工廠應(yīng)如何安排計(jì)劃，使一天的總利潤(rùn)為最大？解： 為了解決這個(gè)問(wèn)題，首先需要建立它的數(shù)學(xué)模型。 建立數(shù)學(xué)模型一般要經(jīng)過(guò)以下四步：第一步，明

9、確問(wèn)題的條件。一般可以將問(wèn)題的條件列成表格形式，如下表63第二步，明確問(wèn)題的變量。為了做出決策，我們把決策中關(guān)鍵量設(shè)為未知量，這種變量稱為決策變量。本例中，設(shè)產(chǎn)品甲的日產(chǎn)量為件，產(chǎn)品乙的日產(chǎn)量為件。顯然，它們都是非負(fù)的，即第三步，明確問(wèn)題的目標(biāo)。 該問(wèn)題的目標(biāo)是在現(xiàn)有條件下，追求最大的利潤(rùn)。設(shè)該工廠一天獲得的總利潤(rùn)為S，則依題意得 問(wèn)題就是要求它的最大值，因此，目標(biāo)函數(shù)為 第四步，明確問(wèn)題的約束條件。由于每天的原料供應(yīng)限制，A種原料每天只能供給6個(gè)單位，所以一天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品所消耗A種原料不得超過(guò)6個(gè)單位，即 第四步，明確問(wèn)題的約束條件。由于每天的原料供應(yīng)限制，A種原料每天只能供給6個(gè)單位

10、，所以一天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品所消耗A種原料不得超過(guò)6個(gè)單位，即 類似地，有 因此，對(duì)變量 的限制為 約束條件 綜合上述分析，我們可以寫出該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型如下 約束條件 目標(biāo)函數(shù) 例2 某建設(shè)工地，需要直徑相同、長(zhǎng)度不同的成套鋼筋， 每套由7根2m長(zhǎng)和2根7m長(zhǎng)的鋼筋組成，今有15m長(zhǎng)的鋼筋150根，問(wèn)怎樣下料，才能使廢料最少？解：把一根15m長(zhǎng)的鋼筋割成分別為7m和2m的兩種規(guī)格，有三種比較經(jīng)濟(jì)的方法，如表64所示。S表示廢料的總長(zhǎng)度。依題意，得把分別表示采用上述三種方法割料的15m長(zhǎng)的鋼筋的根數(shù)，又由于每套由7根2m長(zhǎng)，2根7m長(zhǎng)的鋼筋組成，而2m長(zhǎng)有 根7m長(zhǎng)有 根，根據(jù)配套要求，有問(wèn)題的

11、目標(biāo)是廢料最少，總廢料長(zhǎng)為 綜合上述討論，得到該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為： 總結(jié)從以上兩例子可以看出，它們都屬于優(yōu)化問(wèn)題，并具有以下共同特征：（1）每一個(gè)問(wèn)題都可以用一組稱為決策變量的未知量來(lái)表示某種方案，這組未知變量的一組定值就代表一個(gè)具體方案。通常，要求這些未知量的取值是非負(fù)的。 （2）每個(gè)問(wèn)題都存在一定的限制條件，這些限制條件都可能用決策變量的一組線性等式或線性不等式來(lái)表示。 （3）都有一個(gè)目標(biāo)，并且這個(gè)目標(biāo)可以表示為決策變量的線性函數(shù)，并按問(wèn)題的要求，求這個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲怠＞€性規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的定義一般地，這類問(wèn)題都可用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述如下：求一組變量的值，使其滿足約束條件 并使函數(shù) 達(dá)

12、到最大（小）值，其中 均為常數(shù)。這就是線性規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。 線性規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的一般形式是 簡(jiǎn)記為二、線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式 定義1 下述線性規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型 稱為線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式 。線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式有以下特點(diǎn)： 1.求目標(biāo)函數(shù)的最大值。2.所有的約束方程都用等式表示。3.所有的變量都是非負(fù)的。4.約束方程等式右邊的常數(shù)（稱為約束常數(shù)）都是非負(fù)的。上述標(biāo)準(zhǔn)形式還可以簡(jiǎn)寫為 矩陣表示化為標(biāo)準(zhǔn)形1.化小為大2.化不等式為等式松弛變量 松弛變量 3.化負(fù)為正4.化“無(wú)非負(fù)限制”為正第i個(gè)約束方程的兩邊同乘以1 例3 試將下面的線性規(guī)劃問(wèn)題化為標(biāo)準(zhǔn)形式： 解：例4 試將下面的線性

13、規(guī)劃問(wèn)題化為標(biāo)準(zhǔn)形式： 解：三、線性規(guī)劃問(wèn)題的幾個(gè)基本概念 定義2 在線性規(guī)劃問(wèn)題中，滿足約束條件的解， 稱為可行解。 一般來(lái)說(shuō)，線性規(guī)劃問(wèn)題可能有無(wú)窮多個(gè)可行解， 也可能沒有可行解。 使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值或最小值的可行解，稱為最優(yōu)解。將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)，所得到的目標(biāo)函數(shù)值，稱為最優(yōu)值。 定義3 在線性規(guī)劃問(wèn)題 中，設(shè)約束方程AX=b中的系數(shù)矩陣A的秩r(A)=m, B是矩陣A中任一 mm 階的非奇異矩陣,則稱B為該線性規(guī)劃問(wèn)題的一個(gè)基。 基向量、非基向量、基變量、非基變量 B的列向量稱為基向量 N的列向量稱為非基向量 基向量對(duì)應(yīng)的變量xj 稱為基變量 非基變量所對(duì)應(yīng)的變量稱為非基變量 基本

14、解、基本可行解、基可行解、最優(yōu)基可行解定義4 ： 在線性規(guī)劃問(wèn)題中，非基變量取零值時(shí)所得到的解稱為基本解。如果基本解又滿足非負(fù)條件，則稱為基本可行解，簡(jiǎn)稱基可行解。能使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)的基可行解，稱為最優(yōu)基可行解。 基本可行解一定是基本解，也一定是可行解，但反之不成立。 例5 寫出下列線性規(guī)劃問(wèn)題的所有基陣： 解： 約束方程組的系數(shù)矩陣及各列向量分別為知 都是非奇異矩陣，所以 都是這一問(wèn)題的基。 四、兩個(gè)變量線性規(guī)劃問(wèn)題的圖解法 例6 用圖解法求解下列線性規(guī)劃問(wèn)題：解： （1）畫出可行域；（2）畫出等值線； （3）求出最優(yōu)解。 因此，方程 的交點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），該問(wèn)題的最優(yōu)解為： 對(duì)應(yīng)的目標(biāo)

15、函數(shù)值為：Z=14。 線性規(guī)劃問(wèn)題中解的情況有以下幾種：（1）唯一解（如上例）；（2）無(wú)窮多最優(yōu)解；（3）無(wú)界解； （4）無(wú)可行解。無(wú)窮多最優(yōu)解無(wú)界解無(wú)界解無(wú)可行解 無(wú)可行解 第六章 線性經(jīng)濟(jì)模型簡(jiǎn)介 投入產(chǎn)出模型簡(jiǎn)介 6.1 單純形法 6.3 線性規(guī)劃 6.26.3 單純形法 一、引例 二、單純形表 一、引例例1 求解下列線性規(guī)劃問(wèn)題： 解: 我們分以下四步完成： （1）引入松弛變量 ，將原問(wèn)題化成標(biāo)準(zhǔn)形式： 如果取標(biāo)準(zhǔn)形式的約束方程組中的變量的系數(shù)列向量組成一個(gè)基,對(duì)應(yīng)的基變量為非基變量為當(dāng)非基變量取零值，即 得到一個(gè)基本可行解 ，即 對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值 很明顯，這個(gè)解不合我們的要求。 （2

16、）尋找更好的可行解。為了使目標(biāo)函數(shù)值逐步優(yōu)化，可從目標(biāo)函數(shù)maxS= 分析：因?yàn)榈南禂?shù)均為正數(shù)，所以將她們中的某一個(gè)換成基變量（換入者稱為進(jìn)基變量，換出者稱為出基變量），則目標(biāo)函數(shù)值都會(huì)增加，為了使目標(biāo)函數(shù)值增加得多些，我們對(duì)的系數(shù)作如下的選擇： 即選取系數(shù)最大的非基變量 進(jìn)基，因?yàn)榛兞恐荒苡腥齻€(gè)，有了進(jìn)基變量，就必須從原基變量中換出一個(gè)出基，那么將原基變量中的哪一個(gè)換成非基變量呢？在非基變量的條件下，其標(biāo)準(zhǔn)形式（1）中的約束方程可化為為了保證變量都要滿足非負(fù)約束，所以, 解上述不等式組，得 因此， 應(yīng)取最小比值 【注】上述確定基變量的方法叫作最小比值法。它是用進(jìn)基變量的約束方程系數(shù)列向量（

17、簡(jiǎn)稱進(jìn)基列）中大于0的元素作除數(shù)，對(duì)應(yīng)的常數(shù)作被除數(shù)，取得到的商的最小值。 對(duì)應(yīng)的基陣是 因此，有同樣，應(yīng)取最小比值 因此，有 對(duì)應(yīng)的基陣是 （4）尋找最優(yōu)基可行解。 對(duì)應(yīng)的基陣是二、單純形表 把線性規(guī)劃模型化為標(biāo)準(zhǔn)形式，從一個(gè)基本可行解開始，用換基迭代方法，轉(zhuǎn)換到另一個(gè)基本可行解，使目標(biāo)函數(shù)值逐步增大，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最大值時(shí)，也就得到了最優(yōu)解。這種方法稱為單純形法。 單純形表例1的解題過(guò)程比較繁瑣，為了簡(jiǎn)化敘述和計(jì)算，現(xiàn)將這一過(guò)程列成一張表格，稱為單純形表。 單純形表檢驗(yàn)數(shù) 主元素主元列 最大檢驗(yàn)數(shù) 表6-5中第三行第二列中的數(shù)是目標(biāo)函數(shù)非基化后的系數(shù)，稱為檢驗(yàn)數(shù)。從分析知道，當(dāng)檢驗(yàn)數(shù)全部非正時(shí)，目標(biāo)函數(shù)才取得最優(yōu)值。最大正檢驗(yàn)數(shù)所在的列稱為主元列，對(duì)應(yīng)的變量為進(jìn)基變量。用主元列中的正分量去除b列所對(duì)應(yīng)的分量，取得最小比值的元素，稱為軸心項(xiàng)（即中括號(hào)中的數(shù)）。軸心項(xiàng)所在的行對(duì)應(yīng)的基變量為出基變量。換基變換的過(guò)程稱為換基迭