1、復(fù)變函數(shù)與積分變換柯西積分定理第1頁，共14頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二問題:復(fù)變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)滿足什么條件在單連通區(qū)域D內(nèi)沿閉路徑的積分為零?要使只要這只須u與v具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且ux=vy, uy=-vx.Cauchy： 若f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析,且f(z)連續(xù),則對D內(nèi)任意閉曲線C有第2頁，共14頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二Cauchy-Coursat定理: 若f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析,則對D內(nèi)任意閉曲線C有第3頁，共14頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二二、原函數(shù)與不定積分推論：如果函數(shù) f

2、(z)在單連通域D內(nèi)處處解析, C屬于D，與路徑無關(guān)僅與起點和終點有關(guān)。其中C： 。固定z0,z1=z在D內(nèi)變化,于是 在D內(nèi)確定了關(guān)于z的單值函數(shù):變上限積分。第4頁，共14頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二定理2 如果函數(shù) f (z)在單連通域D內(nèi)解析, 則F(z) 在D內(nèi)也是解析的，且證明：第5頁，共14頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二因f(z)在D內(nèi)解析，故f(z)在D內(nèi)連續(xù)第6頁，共14頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二特別地定義：若在單連通區(qū)域D內(nèi)恒有F(z)=f(z),則稱F(z)為f(z)的一個原函數(shù).f(z)的原函數(shù)的全體稱為f(z

3、)的不定積分,記為解析函數(shù)的原函數(shù)仍為解析函數(shù)第7頁，共14頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二例題1C 如圖所示： 存在 f (z)的解析單連通域D包含曲線 C ，故積分與路徑無關(guān)，僅與起點和終點有關(guān)。解：從而第8頁，共14頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二這里D為復(fù)連通域。第9頁，共14頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二可將柯西積分定理推廣到多連通域的情況，有定理2 假設(shè)C及C1為任意兩條簡單閉曲線, C1在C內(nèi)部,設(shè)函數(shù) f (z)在C及C1所圍的二連域D內(nèi)解析, 在邊界上連續(xù)，則證明：取這說明解析函數(shù)沿簡單閉曲線積分不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值。-閉路變形原理第10頁，共14頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二推論（復(fù)合閉路定理）：(互不包含且互不相交)， 所圍成的多連通區(qū)域， 第11頁，共14頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二例題2C為包含0與1的任何正向簡單閉曲線。解： （由閉路變形原理）第12頁，共14頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二第13頁，共14頁，2022年，5月20日，13點12分，星期二 從以上例子可以看出，復(fù)合閉路定理可以把沿任意簡單閉曲線上的積分化為以所圍奇點為中心的圓周上的積分，也就是說，閉曲線任意變形，只要在變形過程中不經(jīng)過函數(shù)f(z)的奇點，則