1、第六章 用有限元法解平面問題第五節(jié) 單元的結(jié)點力列陣與勁度矩陣第四節(jié) 單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣 第三節(jié) 單元的位移模式與解答的收斂性第二節(jié) 有限單元法的概念第一節(jié) 基本量及基本方程的矩陣表示概述第六節(jié) 荷載向結(jié)點移置 單元的結(jié)點荷載列陣第六章 用有限元法解平面問題例題第十一節(jié) 應(yīng)用變分原理導(dǎo)出有限單元法的基本方程第十節(jié) 計算實例第九節(jié) 計算成果的整理第八節(jié) 解題的具體步驟 單元的劃分第七節(jié) 結(jié)構(gòu)的整體分析結(jié)點平衡方程組習(xí)題的提示與答案教學(xué)參考資料第六章 用有限單元法解平面問題1.有限元法（Finite Element Method） FEM2. FEM的特點 概述（1）具有通用性和靈活性。首先

2、將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)，然后再利用分片插值技術(shù)與虛功原理或變分方法進(jìn)行求解。簡稱FEM，是彈性力學(xué)的一種近似解法。簡史3. FEM簡史 （2）對同一類問題，可以編制出通用程序，應(yīng)用計算機進(jìn)行計算。（3）只要適當(dāng)加密網(wǎng)格，就可以達(dá)到工程要求的精度。1943年柯朗第一次在論文中提出了FEM的概念。FEM是上世紀(jì)中期才出現(xiàn)，并得到迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用的一種數(shù)值解法。 1970年后，F(xiàn)EM被引入我國，并很快地得到應(yīng)用和發(fā)展。簡史1956年，特納等人提出了FEM。 20世紀(jì)50年代，平面問題的FEM建立，并應(yīng)用于工程問題。1960年提出了FEM的名稱。20世紀(jì)60年代后，F(xiàn)EM應(yīng)用于各種力學(xué)問題和非線性

3、問題，并得到迅速發(fā)展。導(dǎo)出方法5. 本章介紹平面問題的FEM4. FEM的主要導(dǎo)出方法 應(yīng)用靜力方法或變分方法導(dǎo)出。僅敘述按位移求解的方法。且一般都以平面應(yīng)力問題來表示。6-1 基本量和基本方程的 矩陣表示 本章無特別指明，均表示為平面應(yīng)力問題的公式。 采用矩陣表示,可使公式統(tǒng)一、簡潔，且便于編制程序?；疚锢砹浚后w力基本物理量位移函數(shù)應(yīng)變應(yīng)力結(jié)點位移列陣結(jié)點力列陣面力物理方程 其中D為彈性矩陣，對于平面應(yīng)力問題是FEM中應(yīng)用的方程：幾何方程應(yīng)用的方程 結(jié)點虛位移， 對應(yīng)的虛應(yīng)變。應(yīng)用的方程ij虛功方程其中在FEM中，用結(jié)點的平衡方程代替平衡微分方程，后者不再列出。 3.整體分析。 6-2 有

4、限單元法的概念 FEM的概念，可以簡述為：采用有限自由度的離散單元組合體模型去描述實際具有無限自由度的考察體，是一種在力學(xué)模型上進(jìn)行近似的數(shù)值計算方法，其理論基礎(chǔ)是分片插值技術(shù)與變分原理。 FEM的概念1.將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)； 2.單元分析；FEM的分析過程： 結(jié)構(gòu)力學(xué)研究的對象是離散化結(jié)構(gòu)。如桁架，各單元（桿件）之間除結(jié)點鉸結(jié)外，沒有其他聯(lián)系（圖（a）。彈力研究的對象，是連續(xù)體（圖（b）)。結(jié)構(gòu)離散化圖 6-21. 結(jié)構(gòu)離散化將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu) 將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)（圖（c）：即將連續(xù)體劃分為有限多個、有限大小的單元，并使這些單元僅在一些結(jié)點處用絞連結(jié)起來，構(gòu)成所謂離散化結(jié)構(gòu)

5、。結(jié)構(gòu)離散化 與 相比，兩者都是離散化結(jié)構(gòu)；區(qū)別是，桁架的單元是桿件，而圖（c）的單元是三角形塊體（注意：三角形單元內(nèi)部仍是連續(xù)體）。結(jié)構(gòu)離散化例如：將深梁劃分為許多三角形單元，這些單元僅在角點用鉸連接起來。圖（c）圖（a）2.單元分析 求解方法 每個三角形單元仍然假定為連續(xù)的、均勻的、各向同性的完全彈性體。因單元內(nèi)部仍是連續(xù)體，應(yīng)按彈性力學(xué)方法進(jìn)行分析。 取各結(jié)點位移 為基本未知量。然后對每個單元,分別求出各物理量,并均用 來表示。（1）應(yīng)用插值公式, 由單元結(jié)點位移 ，求單元的位移函數(shù)求解方法這個插值公式稱為單元的位移模式，表示為單元分析的主要內(nèi)容：（4）應(yīng)用虛功方程，由單元的應(yīng)力 ，求出

6、 單元的結(jié)點力，表示為（3）應(yīng)用物理方程，由單元的應(yīng)變 ，求 出 單元的應(yīng)力，表示為（2）應(yīng)用幾何方程，由單元的位移函數(shù)d， 求出單元的應(yīng)變，表示為求解方法 結(jié)點對單元的作用力，作用 于單元，稱為結(jié)點力，以正標(biāo)向為正。 求解方法單元對結(jié)點的作用力，與 數(shù)值相同,方向相反，作用于結(jié)點。（5）將每一單元中的各種外荷載，按虛功 等效原則移置到結(jié)點上，化為結(jié)點荷 載，表示為 求解方法 各單位移置到i 結(jié)點上的結(jié)點荷載 其中 表示對圍繞i 結(jié)點的單元求和；求解方法3.整體分析各單元對i 結(jié)點的結(jié)點力作用于結(jié)點i上的力有： 為已知值, 是用結(jié)點位移表示的值。 通過求解聯(lián)立方程 ，得出各結(jié)點位移值， 并從而

7、求出各單元的應(yīng)變和應(yīng)力。求解方法 3.整體分析 2.對單元進(jìn)行分析 1.將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)歸納起來，F(xiàn)EM分析的主要步驟：（1）單元的位移模式（2）單元的應(yīng)變列陣（4）單元的結(jié)點力列陣（5）單元的等效結(jié)點荷載列陣建立結(jié)點平衡方程組，求解各結(jié)點的位移。（3）單元的應(yīng)力列陣思考題 1. 桁架的單元為桿件，而平面體的單元為三角形塊體，在三角形內(nèi)仍是作為連續(xù)體來分析的。前者可用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法求解，后者只能用彈性力學(xué)方法求解，為什么？2. 在平面問題中，是否也可以考慮其它的單 元形狀，如四邊形單元？ 這個插值公式表示了單元中位移的分布形式，因此稱為位移模式。6-3 單元的位移模式與 解答的收斂性 位

8、移模式 FEM是取結(jié)點位移 為基本未知數(shù)的。問題是如何求應(yīng)變、應(yīng)力。 首先必須解決：由單元的結(jié)點位移 ，來求出單元的位移函數(shù)應(yīng)用插值公式，可由 求出位移d 。 泰勒級數(shù)展開式中，低次冪項是最重要的。所以三角形單元的位移模式，可取為 三角形單元 插值公式 在結(jié)點 應(yīng)等于結(jié)點位移值 由此可求出 其中 包含 三角形單元或用矩陣表示為將式 按未知數(shù) 歸納，可表示為N 稱為形（態(tài)）函數(shù)矩陣。三角形單元 A為三角形 的面積（圖示坐標(biāo)系中， 按逆時針編號），其中三角形單元 三結(jié)點三角形單元的位移模式，略去了2次以上的項，因而其誤差量級是 且其中只包含了 的1次項，所以在單元中 的分布如圖（a）所示， 的分布

9、如圖 所示。 三角形單元(a)(b)(c)圖 6-51 FEM中以后的一系列工作，都是以位移模式為基礎(chǔ)的。 收斂性條件 所以當(dāng)單元趨于很小時，即 時，為了使FEM之解逼近于真解，即為了保證FEM收斂性,位移模式應(yīng)滿足下列條件： （1）位移模式必須能反映單元的剛體位移。 收斂性條件 因為當(dāng)單元 時，單元中的位移和應(yīng)變都趨近于基本量剛體位移和常量位移。（2）位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變。收斂性條件可見剛體位移項在式（a）中均已反映。與剛體位移相比，將式（a）寫成（3）位移模式應(yīng)盡可能反映位移的連續(xù)性。 即應(yīng)盡可能反映原連續(xù)體的位移連續(xù)性。 在三角形單元內(nèi)部，位移為連續(xù)；在兩單元邊界ij 上，

10、之間均為線性變化，也為連續(xù)。對式（a）求應(yīng)變，得收斂性條件可見常量應(yīng)變也已反映。 （1）和（2）是必要條件，而加上（3）就為充分條件。收斂性條件 為了保證FEM的收斂性：思考題 1. 應(yīng)用泰勒級數(shù)公式來選取位移模式，為什么必須從低次項開始選?。?. 試考慮：將結(jié)構(gòu)力學(xué)解法引入到求解連續(xù)體的問題時，位移模式的建立是一個關(guān)鍵性工作，它使得單元(連續(xù)體)內(nèi)部的分析工作都有可能進(jìn)行了。 6-4 單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣 位移函數(shù)其中，單元中的位移函數(shù)已用位移模式表示為 應(yīng)用幾何方程，求出單元的應(yīng)變列陣 ：應(yīng)變應(yīng)變S稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣，寫成分塊形式為再應(yīng)用物理方程，求出單元的應(yīng)力列陣：B 稱為應(yīng)變矩陣，用

11、分塊矩陣表示， 對于線性位移模式，求導(dǎo)后得到的應(yīng)變和應(yīng)力，均成為常量，因此，稱為常應(yīng)變（應(yīng)力）單元。應(yīng)變和應(yīng)力的誤差量級是 其精度比位移低一階，且相鄰單元的應(yīng)力是跳躍式的。 應(yīng)力思考題1.如果在位移模式中取到泰勒級數(shù)中的二次冪項，略去 高階小量，試考慮位移、應(yīng)變和應(yīng)力的誤差量級。 6-5 單元的結(jié)點力列陣與 勁度矩陣 現(xiàn)在來考慮其中一個單元：模型圖 6-7 在FEM中，首先將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)的模型。（2）單元與周圍的單元在邊界上已沒有聯(lián) 系，只在結(jié)點 互相聯(lián)系。（1）將作用于單元上的各種外荷載，按靜 力等效原則移置到結(jié)點上去，化為等 效結(jié)點荷載。故單元內(nèi)已沒有外荷載。假想將單元與結(jié)點i

12、切開，則 其數(shù)值與 相同，而方向相反。結(jié)點力以沿正坐標(biāo)向為正。對單元而言，這是作 用于單元上的外力。 單元作用于結(jié)點的力，為 結(jié)點作用于單元上的力，稱為結(jié)點力，按虛功方程，在虛位移上，外力的虛功等于應(yīng)力的虛功。結(jié)點力而其內(nèi)部有應(yīng)力作用， 考察已與結(jié)點切開后的單元 ，則此單元上作用有外力結(jié)點力 ，應(yīng)用虛功方程，求單元的結(jié)點力： 假設(shè)發(fā)生一組結(jié)點虛位移 則單元內(nèi)任一點（x,y）的虛位移為單元內(nèi)任一點（x,y）的虛應(yīng)變?yōu)?代入虛功方程：在單元中，外力（結(jié)點力 ）在虛位移（結(jié)點虛位移 ）上的虛功，等于應(yīng)力 在虛應(yīng)變 上的虛功，即 虛功方程式(b)是由應(yīng)力求結(jié)點力的一般公式。因為 是獨立的任意的虛位移，

13、虛功方程對任意的 均應(yīng)滿足，可得出其中 與 無關(guān)，故式(a) 成為代入 (b)式（c）是由結(jié)點位移求結(jié)點力的一般公式， 稱為單元的勁度矩陣K其中再將應(yīng)力公式代入上式，得單元勁度矩陣（c）（d）對于三角形單元，B 矩陣內(nèi)均為常數(shù)， 有 代入B，D，得出k如書中（6-37）及（6-38）所示。（1） 是66的方陣， 中每一個元素都表示發(fā)生單元結(jié)點位移時所引起的結(jié)點力。（2）由反力互等定理， 所以 是對稱矩陣，以對角線為對稱軸。單元勁度矩陣k的性質(zhì)：（3）當(dāng)單元作剛體平移時，如 三角形內(nèi)不產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變，結(jié)點力也為0。（4）由（3）可導(dǎo)出行列式| |=0。（5） 的元素與 單元的形狀和方位等 有關(guān)，

14、但與單元的大小和剛體的平動及 作 度轉(zhuǎn)動無關(guān)。 因此, 中每一行（或列）的元素之和為零（其中第1、3、5元素之和或2、4、6元素之和也為0）。 （書中P.117頁），以直角三角形單元為例，計算了應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣S和單元勁度矩陣 。 從例題中可以看出，將單元邊界上的應(yīng)力向結(jié)點移置，化為作用于結(jié)點上的力，正好就是結(jié)點力。在FEM中，單元邊界之間的聯(lián)系和相互作用力，都向結(jié)點簡化，歸結(jié)成為結(jié)點的鉸結(jié)和結(jié)點力。 思考題例題試求出書中例題的位移模式。66荷載向結(jié)點移置 單元的結(jié)點荷載列陣 在FEM中，須將作用于單元中的外荷載向結(jié)點移置，化為等效結(jié)點荷載，（2）變形體靜力等效原則在任意的虛位移上，使原荷載與移置

15、荷載的虛功相等。 1. 等效原則（1）剛體靜力等效原則使原荷載與移置荷載的主矢量以及對同一點的主矩也相同。移置原則 剛體靜力等效原則只從運動效應(yīng)來考慮，得出移置荷載不是唯一的解；變形體的靜力等效原則考慮了變形效應(yīng)，在一定的位移模式下，其結(jié)果是唯一的，且也滿足了前者條件的。 所以在FEM中，采用變形體的靜力等效原則。 2. 集中力的移置公式 原荷載 作用于單元中任一點 為單位厚度上的作用力；移置荷載 作用于結(jié)點 集中力 假設(shè)發(fā)生一組結(jié)點虛位移 ，則點的虛位移為 使移置荷載的虛功等于原荷載的虛功： 對于任意的虛位移 ，虛功方程都必須滿足，得 面力3. 單元邊界 上面力 的移置公式 應(yīng)用式 ，將 代

16、之為 并在邊界 上積分，得 應(yīng)用式 ，將 代之為 并對單元域A 積分，得 4. 單元內(nèi)體力 的移置公式 體力 當(dāng)位移模式為線性函數(shù)時，由虛功方程得出的移置荷載，與按剛體靜力等效原則得出的結(jié)點荷載相同。思考題1. 試導(dǎo)出書中例題的荷載移置公式。 在單元分析中，從單元的結(jié)點位移求位移分布求應(yīng)變求應(yīng)力求結(jié)點力，為單元的內(nèi)力分析；外荷載移置到結(jié)點荷載，為單元的外力分析。 67結(jié)構(gòu)的整體分析 結(jié)點平衡方程組 假設(shè)將結(jié)點i與周圍的單元切開，則圍繞i結(jié)點的每個單元對i 結(jié)點有結(jié)點力( ）的作用,也有外荷載移置的結(jié)點荷載（ ）的作用。下面考慮整體分析。 i 結(jié)點的平衡條件為 結(jié)點平衡條件對某一個單元 ，其中

17、是對圍繞i 結(jié)點的單元求和。代入式 ，可表示為 是單元結(jié)點的局部編號； 是整體結(jié)點的整體編號。 將式 按整體結(jié)點編號排列，得整個結(jié)構(gòu)的平衡方程組。 整體結(jié)點位移列陣， 整體結(jié)點荷載列陣， 整體勁度矩陣。 結(jié)點平衡方程組 考慮結(jié)構(gòu)的約束條件后，從式 求出 ，就可以求出各單元的位移和應(yīng)力。例2例1列出圖示結(jié)構(gòu)i 結(jié)點的平衡條件。（見書中P.121） 有限單元法的具體計算步驟，主要是 68解題的具體步驟 單元的劃分 1、劃分單元網(wǎng)格，對單元和結(jié)點編號。 2、選定直角坐標(biāo)系，按程序要求填寫和輸入有關(guān)信息。單元內(nèi)的ijm的局部編號應(yīng)按書中規(guī)定的右手規(guī)則編號。否則會使三角形的面積出現(xiàn)負(fù)號等問題。 3、使用

18、已編好的程序進(jìn)行上機計算。事先須將有限單元法的公式，計算方法和步驟都編入程序。4、對成果進(jìn)行整理、分析。 對第1和第4步的工作，也盡可能讓計算機執(zhí)行，以減少人工的工作量。如自動劃分網(wǎng)格，整理成果等。 關(guān)于單元的劃分：注意幾點（8）結(jié)構(gòu)具有凹槽或孔洞等應(yīng)力集中處等。（1）單元大小問題；（2）單元在不同部位的合理布置問題；（3）三角形三個內(nèi)角最好較接近；（4）利用對稱性和反對稱性；（5）厚度突變之處和材料不同之處；（6）載荷作用（集中力或突變分布載荷）處；（7）水利閘壩工程問題； 在有限單元法中，位移的精度較高，其誤差量級是，即與單元尺度的二次冪成正比。應(yīng)力的誤差量級是，即與單元的大小成正比。 6

19、9計算成果的整理 三結(jié)點三角形單元的應(yīng)力的成果，不但應(yīng)力的精度較低，而且還產(chǎn)生了所謂應(yīng)力的波動性。 對于結(jié)點位移的成果，可以直接采用。 應(yīng)力的波動性在三結(jié)點三角形單元中較為顯著。 由于計算出的應(yīng)力的精度較低。假設(shè)單元的應(yīng)力成果為 ，其中 為真解， 為誤差。則由于在結(jié)點都列出了平衡方程并令其滿足，從而使相鄰的單元的應(yīng)力趨近于 。這就產(chǎn)生了應(yīng)力的波動性。 原因是， 為了提高應(yīng)力的精度，解決應(yīng)力波動性問題，可以采用兩種應(yīng)力成果的整理方法： 一般地講，兩相鄰單元平均法的精度較好，因為它涉及的區(qū)域范圍較小。 （1）兩相鄰單元平均法。 （2）繞結(jié)點平均法。 在受面力邊界線附近，求得的應(yīng)力誤差較大?？刹捎孟?/p>

20、外插值的方法（例拋物線插值）來解決。 為了提高應(yīng)力的精度，可以采用兩種方法。 是加密網(wǎng)格，減少單元的尺寸，以提高應(yīng)力的精度。 是可以采用較多結(jié)點的單元，并使 位移模式中包含一些高冪次的項，從而提 高位移和應(yīng)力的精度。二一 書中應(yīng)用三結(jié)點三角形單元，計算了下列例題：610計算實例 1. 楔形體受自重及齊頂水壓力。 2. 簡支梁受均布荷載。 3. 圓孔附近的應(yīng)力集中。 在整理應(yīng)力成果時，讀者應(yīng)注意，應(yīng)用三角形單元時，（1）采用兩單元平均法和繞結(jié)點平均法的 應(yīng)力成果比較接近，但前者的精度略 好于后者。（2）邊界面的應(yīng)力，宜采用向外插值的方 法求出。 在FEM中，將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)之后，有兩種導(dǎo)

21、出FEM公式的主要方法： 611應(yīng)用變分原理導(dǎo)出 有限單元法基本方程 （2）建立單元的位移模式，求出單元中的 位移分布，1.按靜力方法導(dǎo)出FEM公式（1）取結(jié)點位移為基本未知數(shù)；（3）由幾何方程求出單元的應(yīng)變，（4）由物理方程求出單元的應(yīng)力，按結(jié)構(gòu)力學(xué)方法導(dǎo)出FEM公式（5）由虛功方程求出單元的結(jié)點力，（6）由虛功方程求出單元的結(jié)點荷載 ，（7）建立結(jié)點平衡方程組，按結(jié)構(gòu)力學(xué)方法導(dǎo)出FEM公式（1）變分原理中的極小勢能原理是2. 按變分方法導(dǎo)出FEM公式 保留上述（1）-（4）步驟，然后應(yīng)用極小勢能原理導(dǎo)出FEM基本方程。按變分法導(dǎo)出FEM公式對于平面問題，對于連續(xù)體,變分的宗量是位移函數(shù) 變

22、分方程 可表示為總勢能 對 的導(dǎo)數(shù)等于0，即變分宗量由 變換成（2）將經(jīng)典變分原理應(yīng)用到離散化結(jié)構(gòu)，則總勢能、形變勢能和外力勢能，可以用單元的勢能之和來表示其中 為三角形單元的面積。應(yīng)用前面記號,內(nèi)力勢能為其中 為三角形單元的受面力邊界。引用前面記號外力勢能為 總勢能為故總勢能極小值條件 變換為（3）對于離散化結(jié)構(gòu)，泛函數(shù) 的宗量變 換為 則式(n) 成為引用矩陣運算公式， 其中 代入式(o) ，得出與結(jié)構(gòu)力學(xué)方法導(dǎo)出的相同方程， 從物理意義上講，將連續(xù)體的經(jīng)典變分原 理(g) 或 (i) 應(yīng)用到離散化結(jié)構(gòu)，成為式(p) 。 比較物理意義： 凡是與微分方程對應(yīng)的變分原理存在的任何問題，均可應(yīng)用變分法導(dǎo)出FEM。式(p)表示總勢能在所有結(jié)點處的極值條件。式(g)表示總勢能的整體極值條件;第六章例題例題1例題2例題3例題4例題 例題1 平面問題中采用的四結(jié)點矩陣單元，如圖所示。該