1、第四章電力系統(tǒng)潮流分析與計算電力系統(tǒng)潮流計算是電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運行分析與控制的基礎(chǔ)，同時也是安全性分析、 穩(wěn)定性分析電磁暫態(tài)分析的基礎(chǔ) (穩(wěn)定性分析和電磁暫態(tài)分析需要首先計算初始狀態(tài)，而初始狀態(tài)需要進行潮流計算)。其根本任務(wù)是根據(jù)給定的運行參數(shù)，例如節(jié)點的注入功率，計算電 網(wǎng)各個節(jié)點的電壓、相角以及各個支路的有功功率和無功功率的分布及損耗。潮流計算的本質(zhì)是求解節(jié)點功率方程，系統(tǒng)的節(jié)點功率方程是節(jié)點電壓方程乘以節(jié)點電壓構(gòu)成的。要想計算各個支路的功率潮流，首先根據(jù)節(jié)點的注入功率計算節(jié)點電壓，即求解節(jié)點功率方程。節(jié)點功率方程是一組高維的非線性代數(shù)方程，需要借助數(shù)字迭代的計算方法來完成。簡單輻射型網(wǎng)絡(luò)和環(huán)

2、形網(wǎng)絡(luò)的潮流估算是以單支路的潮流計算為基礎(chǔ)的。本章主要介紹電力系統(tǒng)的節(jié)點功率方程的形成，潮流計算的數(shù)值計算方法，包括高斯迭代法、牛頓拉夫遜法以及 PQ解藕法等。介紹單電源輻射型網(wǎng)絡(luò)和雙端電源環(huán)形網(wǎng)絡(luò)的潮流 估算方法。4-1潮流計算方程-節(jié)點功率方程支路潮流所謂潮流計算就是計算電力系統(tǒng)的功率在各個支路的分布、各個支路的功率損耗以及各個節(jié)點的電壓和各個支路的電壓損耗。由于電力系統(tǒng)可以用等值電路來模擬，從本質(zhì)上說，電力系統(tǒng)的潮流計算首先是根據(jù)各個節(jié)點的注入功率求解電力系統(tǒng)各個節(jié)點的電壓，當各個節(jié)點的電壓相量已知時，就很容易計算出各個支路的功率損耗和功率分布。 TOC o 1-5 h z 假設(shè)支路的兩

3、個節(jié)點分別為k和I，支路導納為yk|，兩個節(jié)點的電壓已知，分別為Vk和V| ,如圖4-1所示。1Ar+Vi圖4-1支路功率及其分布那么從節(jié)點k流向節(jié)點I的復功率為(變量上面的“一”表示復共扼)Ski 二 Vkki 二 VZkiMk -叼)(4-1)從節(jié)點I流向節(jié)點k的復功率為：Sik 二V|ik |皿1(叼-Vk)(4-2)功率損耗為：2一 Ski= Ski Sik-(Vk_ V|) yki(Vk-V|) =yki 匚 Vki(4-3)因此，潮流計算的第一步是求解節(jié)點的電壓和相位，根據(jù)電路理論，可以采用節(jié)點導納方程求解各個節(jié)點的電壓。節(jié)點功率方程根據(jù)電路理論，要想求系統(tǒng)各個節(jié)點的電壓，需要利用

4、系統(tǒng)的節(jié)點導納方程。I理圖4-2電網(wǎng)絡(luò)示意圖如圖4-2所示的電網(wǎng)絡(luò)，有N個節(jié)點，假如已知各個節(jié)點的注入電流源的電流，以及各YV個支路的支路導納，那么可以根據(jù)節(jié)點導納方程求出電網(wǎng)各個節(jié)點的電壓：(4-4)其中Yu丫2112Yin丫22 丫2N丫N1丫N2丫NN為電網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點導納矩陣，Ykk（ k =1,2/ N ）為自導納，是與 k節(jié)點所有連接支路導納之和，丫劉（k=l ）為互導納，等于負的連接k和I節(jié)點的所有支路導納之和。V = Vi,V2,VnT為各個節(jié)點的電壓相量，I s =lsi，ls2,，Is,nT為注入到各個 節(jié)點的總電流。2.1節(jié)點復功率方程要想計算各個節(jié)點電壓，除了需要知道系統(tǒng)參

5、數(shù)及節(jié)點導納矩陣以外，還需要知道節(jié)點的注入電流源的電流。然而電力系統(tǒng)中，節(jié)點的注入電流是不知道的，已知的是各個節(jié)點的 注入功率。這就需要將節(jié)點電壓方程轉(zhuǎn)化為節(jié)點功率方程。方程4-4中第k（ k =1,2，,N ）個節(jié)點的方程可以寫作：NYWV| =YkMYk2V2YMYrnVn =Isk(4-5)I d在方程4-5兩端乘以Vk，得到:_ N_Vk YkiVi WklskI d-ssk = PSk - jQ Sk(4-6)假如在電力系統(tǒng)中，各個節(jié)點的注入復功率都已知，那么就可以用方程4-6組成的方程組求解各個節(jié)點的電壓。然而實際情況并非如此，已知的條件是：有的節(jié)點的注入復功率S是已知的，有的節(jié)點

6、的電壓幅值和注入有功功率是已知的，有的節(jié)點的電壓和相角是已知的。根據(jù)這三種不同的情況，電力系統(tǒng)中各個節(jié)點分為三種類型：PQ節(jié)點、PV節(jié)點和V節(jié)點。所謂PQ節(jié)點，就是該節(jié)點的注入復功率 S是已知的，這樣的節(jié)點一般為中間節(jié)點或者 是負荷節(jié)點。PV節(jié)點，指該節(jié)點已知的條件是注入節(jié)點的有功功率P和該節(jié)點的電壓幅值 V，這樣的節(jié)點通常是發(fā)電機節(jié)點。V :.節(jié)點指的是該節(jié)點的電壓幅值和相角是已知的，這樣的節(jié)點通常是平衡節(jié)點，在每 個局部電網(wǎng)中只有一個這樣的節(jié)點。當然，PQ節(jié)點和PV節(jié)點在一定條件下還可以互相轉(zhuǎn)化，例如，當發(fā)電機節(jié)點無法維 持該節(jié)點電壓時，發(fā)電機運行于功率極限時，發(fā)電機節(jié)點的有功和無功變成了

7、已知量，而電壓幅值則未知，此時，該節(jié)點由PV節(jié)點轉(zhuǎn)化為PQ節(jié)點。再比如某個負荷節(jié)點，運行要求電壓不能越限，當該節(jié)點的電壓幅值處于極限位置，或者電力系統(tǒng)調(diào)壓要求該節(jié)點的電壓恒定，此時該負荷節(jié)點就由PQ節(jié)點轉(zhuǎn)化為PV節(jié)點。假如全系統(tǒng)有N個節(jié)點，其中有M個PQ節(jié)點，N-M-1個PV節(jié)點，1個平衡節(jié)點，每 個節(jié)點有四個參數(shù)：電壓幅值V、相位角（用極坐標表示電壓，如果用直角坐標表示電壓相量則是e和f ）注入有功功率 PS和無功功率Qs，任何一個節(jié)點的四個參數(shù)中總有兩個 是已知的，因此 N個節(jié)點，有2N個未知變量，N個復數(shù)方程（即2N個實數(shù)方程，實部和 虛部各一個），通過解這個復數(shù)方程就可得到另外2N個參

8、數(shù)。這就是潮流計算的本質(zhì)。但在實際求解過程中，由于我們求解的對象是電壓，因此，實際上不需要2N個功率方程，對于M個PQ節(jié)點，有2M個功率方程（M個實部有功功率方程，M個虛部無功功率方程）；對于N-M-1個PV節(jié)點，由于電壓有效值 V已知，因此只有N-M-1個有功功率方程； 對于平衡節(jié)點，由于電壓和相角已知，不需要功率方程。因此總計有2M+N-M-仁N+M-1 個功率方程。如果電壓相量用極坐標表示，即Vk =VkE和，貝U M個PQ節(jié)點有2M個未知數(shù)（M個電壓有效值，M個電壓相角），N-M-1個PV節(jié)點有N-M-1個未知數(shù)（電壓有效值已 知，未知數(shù)為電壓相角），平衡節(jié)點沒有未知數(shù)，因此未知數(shù)的個

9、數(shù)也是N+M-1個，與方程數(shù)一致。如果復電壓用直角坐標表示，Vk =6 jfk，則有2（N-1）個未知數(shù)，還需要增加N-M-1個電壓方程，即Vf ff。2.2用直角坐標表示的電力系統(tǒng)節(jié)點功率方程對于PQ節(jié)點，已知的是注入節(jié)點的功率P和Q,將Ykm二Gkm jBkm和Vk = ek jfk帶入節(jié)點功率方程的復數(shù)表示式中，可以得到有功功率和無功功率兩個方程： TOC o 1-5 h z N -4N -4Rk Gk PLk Q 匚(Gkmem_Bkmfm)+ fk送(Gkmfm *Bkmem)(4-7)!m Jm dN 4N -1QSk _ QGk QLk fk(Gkmem_Bkmfm_ek(Gkm

10、fmBkmOn)m =1mW上式中PSk和QSk為注入到節(jié)點k的凈功率，即注入和消耗的代數(shù)和。PGk、QGk表示注入的功率，PLk和QLk為消耗的功率。還有一個電壓方程:對于PV節(jié)點，除了有功功率方程外，因為已知該節(jié)點的電壓幅值,(4-8)方程4-7可以抽象的表示為:(4-9)鼻PkG, 苫QkG, fl,方程4-8可以抽象的表示為.“給，4,（n，fN）二 (4-1)因此，對于一個具有 N個節(jié)點的電力系統(tǒng)，其中M個PQ節(jié)點,N-M-1個PV節(jié)點，1個平衡節(jié)點，有方程如下:也P G , fi,eN，f n)=-Qi (e, fi,eN j,2M個PQ節(jié)點的方程Pm G，fi,Qm (ei, f

11、i,eN 二，f N J.) = N)=eN J ,也PM +(ei, fi , ,eN A, fN)=VM +(ei , fi , ,eN4,fN4)=(4-ii) 2(N-M -i)個PV節(jié)點方程也Pn丄，fi,eN, fiN)=0心Vn4(e), fi,，eN 亠 fn)=N個節(jié)點，平衡節(jié)點的電壓幅值和相角已知，即其橫分量和縱分量已知，因此平衡節(jié)點不參與計算。N-i個節(jié)點的電壓的橫分量和縱分量為未知數(shù)，共2N-2個未知數(shù)。2M個PQ節(jié)點方程，2（N-M-i）個PV節(jié)點方程，共計2N-2個方程。解這個方程組，就可以得到電力系統(tǒng)N個節(jié)點的電壓相量，根據(jù)各個節(jié)點的電壓相量和已知的注入功率，就可

12、以計算出各個支路的潮流分布，及各個支路的功率損耗。2.3極坐標表示的節(jié)點功率方程對于PQ節(jié)點，已知的是注入節(jié)點的功率P和Q,將Ykm二Gkm - jBkm和Vk二Vk帶入節(jié)點功率方程的復數(shù)表示式中，可以得到實部和虛部兩個方程：NFSk=FGk-PLk- Vk-Vm(GkmCOS km Bkm Sin- km)(4-12)m =1 NQSk _ QGk 一 QLk 一 Vk Vm(Gkm Sin k _ BkmCOS km)m =1上式中，V代表電壓幅值，：km = k _ F。對于PV節(jié)點，由于節(jié)點的電壓幅值已知，因此只有有功功率方程而沒有無功功率方程。同樣，方程4-12可以抽象的表示為：AP

13、k（Vi ； ,Vm ,、1,、心）=0（4-13a）= Qk（V1 ； ,VM1，-：N 二）=（4-13b）因此，對于一個具有 N個節(jié)點的電力系統(tǒng)，其中M個PQ節(jié)點，N-M-1個PV節(jié)點，1個平衡節(jié)點，有方程如下：ARM,，Vm,，6n）= 0也Q1W1,，Vm ,毎，畀 JL）= 2M個PQ節(jié)點方程也PM （V1，,VM , &1，,&N 二）=心QM （V1，,VM , 1，N）=L PM 1 （V1 ,VM , -1， N）= I :-N -M -1個 PV 節(jié)點方程 （4-14）L PN-1 （V1 , ,VM , -1 , N）= I除了平衡節(jié)點外，N-1個節(jié)點中，有M個PQ節(jié)點

14、的電壓幅值和相角都是未知數(shù)，N-M-1個 PV節(jié)點的相角為未知數(shù)，因此共有2M+N-M-仁N+M-1 個未知數(shù)，2M+N-M-仁N+M-1個方程。在方程4-14中，可以把N-1個有功功率方程放在一起，M個無功功率方程放在一起：-R（V1 , ,VM , -1 , , ：N 4 ） = I N 1個有功功率方程APn,VM , &1 , , &N）=AQ1 （V1，,VM , 1,4）= :M個無功功率方程（4-15）-:Qm （V1，,Vm , -1，-n）=解上述方程組，就可以得到電力系統(tǒng)中各個節(jié)點的電壓幅值和相角，進而可以計算出各個支路的潮流分布和損耗。小結(jié)潮流計算是計算電力網(wǎng)各個支路的功

15、率潮流分布和功率損耗，同時也計算各個支路的電壓損耗。首先要求電力網(wǎng)各個節(jié)點的電壓相量。根據(jù)電網(wǎng)絡(luò)理論，節(jié)點電壓通常采用節(jié)點導納方程來求解，即已知電網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點導納矩陣和各個節(jié)點的注入電流源的電流，求解節(jié)點導納方程。然而通常電力系統(tǒng)各個節(jié)點的注入電流是未知的，已知的是各個節(jié)點的注入功率， 因此需要將節(jié)點電壓方程轉(zhuǎn)化為節(jié)點功率方程。實際電力系統(tǒng)的節(jié)點注入功率并非都已知，有的已知注入有功功率P和無功功率Q稱為PQ節(jié)點；有的已知注入有功功率P和節(jié)點電壓有效值 V，稱為PV節(jié)點；有的已知節(jié)點電壓V和相角d，稱為平衡節(jié)點或 V、節(jié)點。無論哪種類型節(jié)點，每一個節(jié)點均含有4個參量P、Q、V、J.（或e、f）已知

16、的是其中的兩個，故而可以利用節(jié)點功率方程（4-6）求解出另外兩個參量。假設(shè)系統(tǒng)有N個節(jié)點，必然有2N個未知數(shù)，同樣有 2N個節(jié)點功率方程（4-17中的實部和虛部各一個）。實際上，我們求解的目標是電壓，對于PV節(jié)點和V :節(jié)點來說，前者電壓有效值已知，后者電壓相量已知，因此不存在2N個未知數(shù)，當然也不需要 2N個方程。假設(shè)系統(tǒng)有 N個節(jié)點，M個PQ節(jié)點，1個平衡節(jié)點，對于直角坐標表示的節(jié)點電壓來說，有2(N-1)個未知數(shù)，2M+N-M-1個功率方程，只需要再補充N-M-1個電壓方程就可以了；對于極坐標表示的電壓來說，只有 N-1個：未知數(shù)，M個V的未知數(shù)，因此只需要 N+M-1個功率方程就足 夠

17、了。無論怎樣，潮流計算是解決這樣的一組非線性代數(shù)方程組：(4-16)F(X,C, U)=0其中，X代表系統(tǒng)狀態(tài)，包括電壓 V和相角：.；C代表參數(shù)，包括電導 G和電納B； U表示系統(tǒng)激勵，即注入的功率。求解這樣的多維非線性代數(shù)方程組，需要利用計算機進行輔助迭代計算，即先給定一個初值，然后不斷迭代，逼近真實解。方法有：高斯-賽德爾迭代法，牛頓-拉夫遜法和PQ解耦法。4-2高斯-賽德爾疊代法基本原理為了方便理解這個 n維方程組的疊代求解方法，先從一元非線性方程的求解開始。假設(shè)x =g(x)有一維方程f (x) =0，高斯法的基本原理是，先將方程轉(zhuǎn)化為：(4-17)那么給定一個初值x0，代入就可以得

18、到一個新值X二g(x0)，第k次疊代的值為:Xk 1弋(Xk)(4-18)一直疊代到誤差滿足要求為止，即(4-19)其中；為事先設(shè)定的允許誤差。其計算流程如圖4-3所示。ENI)圖4-3高斯迭代法的計算流程這個解方程的方法稱為高斯疊代法。這個疊代求解的過程可以這樣來理解：X二g(x)的解可以認為是兩個曲線y = x和y =g(x)的交點的橫坐標 x，首先給定一個初值x0，g(x0)與斜線y=x的交點的橫坐標即為疊代后的新解x1，g(x1)與斜線y=x的交點的橫坐標即為疊代后的新解x，如此圍繞交點往復循環(huán)，不斷地逼近方程的解，如圖4-4所示。高斯迭代法可以推廣到n維非線性代數(shù)方程組，假設(shè)fl(X

19、i,X2 X)=0* f2(Xi,X2，Xn) =0| fn(Xi,X2,Xn) =0n為方程組為:(4-20)首先將方程組4-20轉(zhuǎn)化為:X =g(Xi,X2,Xn)X2 =g(Xi,X2,Xn)I Xn =g(Xi,X2, ,Xn)(4-21)給定一組初始值X0 =x10,x20,，xn0T，帶入上式，得到一組新值X 1=g( X0)，不斷疊代，循環(huán)往復，第k次疊代為：X k 1弋(Xk)(4-22)其中第j個方程為xF =gj(Xi叫x2k,卅)(4-23)直到疊代前后的解的最大誤差不超過允許的誤差為止，即m?xxjNF -xjN宀(4-24)為了提高高斯疊代法的收斂速度，賽德爾提出將已

20、經(jīng)疊代出的新值代替舊值參與疊代計算，如在第k次疊代中，第j個方程為xkgj(xT,，xxjk,，xnk)( 4-25)第1至j-1個元素已經(jīng)疊代出 k+1次的值，因此代替第k次的值參與第j個元素的疊代,就可以提高收斂速度。電力系統(tǒng)潮流計算的高斯-賽德爾迭代法電力系統(tǒng)潮流計算需要求解節(jié)點功率方程，其中第m (m=1,2,N )個節(jié)點功率方程為:NN2Vm Ym|V| 二YmmV： V Ym|V| 二 Rm - jQsmI 41二I尹如上式變換為X =g(x)的形式，可以得到如下的方程:V1( PSm - jQSmm =Ymm(VmNYmM)I 4l e首先給定電壓相量的初值，對于根據(jù)高斯-賽德爾

21、迭代法，壓幅值的初值，還要給出相角的初值(設(shè)為零)。(4-26)(4-27)PQ節(jié)點，不僅需要給定電假如第m號節(jié)點為PQ節(jié)點，第k次疊代公式為(第 m個節(jié)點以前的節(jié)點第 k次疊代已經(jīng)完畢，因此用 k+1次的值取代k次的值，而在第 m個節(jié)點以后的節(jié)點尚未進行第k次疊代)：Vmk 丄(艮舲YmlVlk J J YmlVlk)(4-28) TOC o 1-5 h z YmmVmll 1對于PV節(jié)點，給定的初值的電壓幅值為給定的電壓，相角初值設(shè)為零?？墒菍τ赑V節(jié)點來說，注入該節(jié)點的無功功率未知，因此第k次疊代時，首先按照下式計算注入 PV節(jié)點(假設(shè)第m個節(jié)點是PV節(jié)點)的無功功率：. m 4Nkkk

22、kk 1k.QSm - Im Vm 丨 Sm - Im Vm (YmlVlYmlVl)(4-29)17l田如果在疊代計算過程中，任意節(jié)點的電壓和無功功率必須滿足不等約束條件:mmin 漢k mVm maxm min豈 Qmkmmax如果在疊代過程中，PQ節(jié)點的電壓幅值超出允許的范圍，則該節(jié)點的電壓幅值就固定 為允許電壓的上限(如果超出上限)或下限(如果越過下限)，PQ節(jié)點就變?yōu)镻V節(jié)點繼續(xù)進行疊代。同樣，對于 PV節(jié)點來說，如果在疊代過程中，無功功率Q超出了允許的范圍，則PV節(jié)點就變?yōu)镻Q節(jié)點繼續(xù)參與疊代。高斯-賽德爾疊代法的計算過程如下： 第一步：設(shè)置初始值，對于PQ節(jié)點，由于其電壓相量的幅

23、值和相角都未知，因此初始的電壓相量的幅值可以設(shè)定為各個點的額定電壓，相角選擇為零；對于PV節(jié)點，由于其電壓相量的幅值已知，因此幅值用已知的設(shè)定電壓，初始相角設(shè)定為零。 第二步：對于 PQ節(jié)點，直接將設(shè)定的初始值代入，用4-28求得下一次迭代的電 壓值，然后判斷是否電壓越限，如果越限，則用其限值(越過上限用上限值，越過下限則用下限值)，該節(jié)點在下一次迭代過程中轉(zhuǎn)化為 PV節(jié)點；對于PV節(jié)點，則首先利用式 4-29 求出注入的無功功率，然后校驗無功功率是否越限，如果越限則采用上限值或者下限值，下一次迭代時該節(jié)點轉(zhuǎn)化為 PQ節(jié)點，將求得的注入無功功率和已知的有功功率代入4-28求解下一次迭代的電壓相

24、量值。第三步：判斷誤差是否滿足要求，用第k次迭代的結(jié)果和 k-1次迭代的結(jié)果進行比較，如果其最大的誤差滿足事先設(shè)定的誤差要求，則輸出計算結(jié)果，如果不滿足要求，則 返回第二步繼續(xù)迭代。其計算流程圖如圖4-5所示。輸出結(jié)果END圖4-5高斯賽德爾迭代法求解電力系統(tǒng)潮流的計算流程圖4-3牛頓拉夫遜法1.牛頓-拉夫遜法的基本原理先考慮一個一元非線性方程f (x)二0的求解問題，假設(shè)xo是該方程的近似解，與真實解之間的誤差為x，那么有：f (x0 ： -X)= 0(4-30)將之展開成一階泰勒級數(shù)：f(Xo ：x) ： f (Xo) f (Xo) X = 0(4-31)可以計算出近似解Xo與真實解之間的

25、誤差近似為：&f(Xo)X-(4-32)f (Xo)因此，可以得到這個一元非線性方程的求解步驟為：首先給定解的初值x0，然后根據(jù)公式4-32求出初始值的修正值LX0，由此可以得到該方程的新的解 x1 = x0 LX0，如 此反復疊代，直到誤差滿足要求AxN V 2。迭代計算流程如圖4-6所示。輸出結(jié)果END 圖4-6牛頓拉夫遜法計算流程 其迭代求解過程的幾何意義如圖4-7所示?？梢园焉鲜銮蠼庖辉蔷€性代數(shù)方程的方法推廣到n維非線性代數(shù)方程（如 4-20）的求解。非線性代數(shù)方程組4-20可以表示為矩陣形式：F （X） =0（4-33）同樣假定X o是該方程組的近似解，與真實解之間的誤差為X，在X

26、o處展開一階泰勒級數(shù)：F （X 0：X） F （X 0） - J X= 0（ 4-34）其中：dF (X)dXX -X泳2吋2血吋2CX1CX2tXncfn吋n吋nXnx=x o被稱為雅克比矩陣。4-34稱為修正方程，修正方程可得到修正值(4-35)(4-36)計算過程與一維方程的牛頓法求解類似，首先給定初值x0二x,x20,xnot，并 計算出在初始值處的雅克比矩陣J 0，利用4-36式計算初始值的修正值X0 = -JfF (X0)，根據(jù)這個差值可以得到修正后的解X二X0 .:X0。如此循環(huán)往復，在第k次疊代時，計算雅克比矩陣Jk，根據(jù)4-34計算修正值 Xk = -J JF(Xk)， 得到

27、第k+1次修正后的解：Xk1 = Xk .:Xk，重復上述過程，直到誤差滿足要求為止?？梢姡ｎD拉夫遜法的關(guān)鍵在于求解雅克比矩陣 J,由于直角坐標表示和極坐標表示電 壓相量的節(jié)點功率方程有所不同，因此其雅克比矩陣也有很大的差異。2.直角坐標節(jié)點功率方程的牛頓-拉夫遜法仍然假設(shè)系統(tǒng)有 N個節(jié)點，其中 M個PQ節(jié)點，N-M-1個PV節(jié)點，1個平衡節(jié)點。則M個PQ節(jié)點方程為(假設(shè) 1號節(jié)點至M號節(jié)點為PQ節(jié)點)： TOC o 1-5 h z NNAPk = Psk - ek無(Gki e - Bki fi) - fk(Gki fi + BkiC) = 0(4-37)i =1i 三NNQk = Qsk

28、 fk(Gkiei Bkl f l ) * eQ (Gkl f l + Bkl e ) = 0l呂l mk =1,2, ,M。N-M-1個PV節(jié)點的方程為(假設(shè)第 M+1號節(jié)點至第N-1號節(jié)點為PV節(jié)點)：NN(4-38)I 聊=Psk -耳藝(Gkl e - Bkl fl ) - fk 為(Gkl fl + Bkiei) = 0i =1im2 2 2.=Vk -Vk -ek - fk =ok = M 1,M2, N -1 o其中，Vk只代表一個函數(shù)，并非代表電壓差；Psk和Qsk為注入到節(jié)點k的凈功率，即注入到該節(jié)點的發(fā)電功率減去該節(jié)點的負荷功率。PQ節(jié)點的方程是有功功率和無功功率方程，PV

29、節(jié)點方程有功功率方程和電壓方程，平衡節(jié)點為參考節(jié)點，電壓已知，沒有方程，但其電壓參與節(jié)點功率方程中計算。未知變量 是除了平衡節(jié)點外的各個節(jié)點的電壓相量的橫分量和縱分量，共有2(N-1)個未知數(shù)，2(N-1)個方程。其修正方程為：兩1NHiiNmHmNUHi,m+Ni,n 二Hi,n JgM11LiiMimLmMi,m+L，m斗八Mi,ndL,nJ_胡iPnNmiHmiNm,mHmmNmm*Hmm卑*NrindHm n/iemgMmiLnyiMm,mbpmMmm+Lmm-!Mm ndLm,nPn+Nn*Hm*NnHimHm-tmNmm+Hm+miNndinJ.Hm十ndVm-1Rn-f?1Sn-

30、friR-imSmm5鈿斗八尺斗n5如二fm+NnJ,1Hn丄iHnm叫dm+Ki J,mi 叫4口Hnn應(yīng)！丄一1 1Rxis丄iRi J,mS4mRS dm半 (4-39)其中：cPk.NkjGkj e Bkj fk( j k )cejNkkn d-Gkkek - Bkk fk 二(Gg - Bki f|)i =1Hq =乎=-Gkjfk Bkjek ( j = k )f jHkkTPk：:fkn .1二 Bkkek - Gkk fk _ (Gki f| Bkle )l Mkj一GM Bkjek( jk)cejM kknJ二 BkkS -Gkkfk 二.(Gkl fl Bkl el )l

31、=1LkkQkf kn -1= Gkkek Bkkfk - (Gklel - Bk|f|) l dTVk：eSkjVk=0fk基于直角坐標的牛頓-拉夫遜法求解潮流計算的步驟如下： 第一步：設(shè)定初值，對于PQ節(jié)點，其電壓幅值的初值設(shè)定為該點的額定電壓，而相角設(shè)定為零，因此，電壓實部設(shè)定為額定電壓，而虛部設(shè)定為零。對于PV節(jié)點，電壓幅值已知，因此該節(jié)點的電壓相量實部設(shè)定為已知的電壓幅值，虛部也設(shè)定為零。 第二步：求出PQ節(jié)點有功功率和無功功率增量AP(k)、心Q(k)(公式4-37),以及PV節(jié)點的有功功率和電壓幅值的增量也P(k)和也V(k)(公式4-38)，同時求出雅克比矩陣J(k)。 第三步

32、：求解修正方程 4-39，得到電壓的實部和虛部的修正值.-：e(k)和(k)。并 根據(jù)修正值修正設(shè)定的電壓初始值。第四步：判斷誤差是否滿足要求，如果滿足要求，則輸出計算結(jié)果，否則就令k二k 1，轉(zhuǎn)入第二步繼續(xù)迭代。極坐標節(jié)點功率方程的牛頓-拉夫遜法仍然假設(shè)系統(tǒng)有 N個節(jié)點，其中 M個PQ節(jié)點，N-M-1個PV節(jié)點，1個平衡節(jié)點。 則M個PQ節(jié)點方程為(假設(shè)第 1號節(jié)點至第M號節(jié)點為PQ節(jié)點)：NPk = Psk -Vk送 V (Gki cos + Bki sin 6)=0訐(4-40)二Qk = QSk -Vk Vl (Gkl sin、；kl - Bkl COS-ki)Li 二k =1,2,

33、,MN-M-1個PV節(jié)點只包含有功功率方程 (假設(shè)第M+1號節(jié)點至N-1號節(jié)點為PV節(jié)點)：N=Psk -VQ Vl(GklCOS、kl Bkl sin =0(4-41)l =1其中Psk和Qsk為注入到節(jié)點k的凈功率，即注入到該節(jié)點的發(fā)電功率減去該節(jié)點負荷 功率。PQ節(jié)點既有有功功率方程，也有無功功率方程，未知數(shù)為電壓幅值和相角；而PV節(jié)點則只有有功功率方程，未知數(shù)只有電壓的相角。因此，極坐標下的節(jié)點功率方程共有 2M+(N-1-M)=N+M-1個未知數(shù)和方程。把上述方程調(diào)整一下順序：把N-1個有功功率方程放在一起， M個無功功率方程放在一起，方程可以寫作：(4-42)AP V )=0 iQ

34、 V )=0P 二尸1,卩2, , ：PnJT , Q= .QlQ, JQmT，：二”2,nJ， V =M,V2, ,Vmt。其修正方程為：私P少P| M|cdiC-dnA出Pn丄出Pi丄1| Vr1CPiAcd|cQ1cQ11| V11型Q1cd|閔肚Qm出Qm1| V1出Qmcd.盅4嗨1MV3m/Vm 一(4-43)為了使得雅克比矩陣的各個元素具相似性,后面電壓增量-：VmPQ解藕法作鋪墊，將雅克比 根據(jù)矩陣的知識不難發(fā)上式中，矩陣中對電壓的偏導元素乘上電壓值，現(xiàn)，經(jīng)過上述處理后修正方程沒有發(fā)生什么變化。將上面的修正方程中的矩陣分為兩部分:并為上除上電壓值,P N H也q_m/V(4-4

35、4)V /V =.M/Vi,Vm/VmT，并非是矩陣相除；分塊矩陣N為(N -1) (N -1)階矩陣，H為(N -1) M階矩陣，M為M (N-1)階矩陣，L為M M階矩陣。上述分塊矩陣的元素分別表示如下：Nkk=Vk J Vl (Gki sin - Bkl COSkl) = Qsk Vk BkkNkj-VkVj (Bkj cos、kj -GkjSin、kj)HkkPk.22Vk Vl (Gkl COS kl Bkl sin kl ) 2Vk Gkk 二一Vk Gkk 一 Psk -Vkl 水Hkjj ：Vj=-VkVj (Gkj cos kjBkj sin j)(j k)M kk;k-V|

36、 (Gkl cos kl - Bkl sin、kl) = V,Gkk - Psk l TOC o 1-5 h z CiQk. rM kjVkVj (Gq cos kj Bkj sin、：耳)(j L，- k)c6jQk22Lkk - VkVk 二 V| (Gki sin、kl - Bkl COS、ki)2V k Bkk - Vk Bkk - QskcVkigMQk、一 .、Lkj - VjVkVj (Bkj COSkj - Gkj sin ：； kj)( j k )cVj基于極坐標下的牛頓-拉夫遜法的潮流計算過程如下： 第一步：設(shè)定初值，對于PQ節(jié)點，其電壓幅值的初值設(shè)定為該點的額定電壓，而相

37、角設(shè)定為零；對于 PV節(jié)點，電壓幅值已知，因此只設(shè)定相角的初值，設(shè)定為零。 第二步：求出PQ節(jié)點有功功率和無功功率增量.：P(k)、厶Q(k)(參見式4-40)，以及PV節(jié)點的有功功率和電壓幅值的增量.-：P(k)(參見式4-40)，同時求出雅克比矩陣J(k)。 第三步：求解修正方程4-43，得到電壓幅值和相角的修正量V (k)和.-：J.(k)。并根據(jù)修正值修正設(shè)定的電壓初始值。 第四步：判斷誤差是否滿足要求，即厶Jk)幼、|=V(k) ： ；2。如果滿足要求，則輸出計算結(jié)果，否則就令k =k 1，轉(zhuǎn)入第二步繼續(xù)迭代。4-4 PQ解藕法通過上面的分析和論述，可以發(fā)現(xiàn)，牛頓-拉夫遜法的收斂速度

38、很快，但計算量很大， 因為每一次迭代都必須重新計算雅克比矩陣，并求解修正方程。因此，為了減少計算量，根 據(jù)基于極坐標的牛頓-拉夫遜法的特點，建立了PQ解藕法的潮流計算方法。首先，我們來觀察一下基于極坐標下的牛頓拉夫遜法潮流計算過程中的電壓修正方程中 的雅克比矩陣的情況。根據(jù)電力系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)運行時的實際情況，可知，Gkj I： Bkj ,kj：、0,Psk I： VfBkk , Qsk： VBkk，因此，我們可以近似的認為：N kk 二 Lkk ： Vk Bkk ； N kj = Lkj ： VkVj Bkj ； H k M kk ： 0 ； H kj = M kj ： 0這就是說，各個節(jié)點電壓相

39、角的變化主要與注入凈有功功率的變化有關(guān)，各個節(jié)點電壓幅值的變化主要與注入的凈無功功率的變化有關(guān):P 二-N Q 二 L V /V，將這兩個修正方程可以表示為:51V| B1V1V1B12V2V1B1,n4VN41牟2V2B21V|v2b22VjV2B2N4VN 4-墮21 1vnjbn 斗MVN4BN42V2VN 4Bn -,N Nn -4一IK-V1001B11DB12B1,n4V100 _0V20B21B22B2,n40V200Vn4_BN 斗,1p-bN 4,2BN 42 -_00Vn/ 一坐N4 一(4-45)上面的方程可以進一步表示為:Pi/Vi.P2/V2-PN 1 /VN J.B

40、11DEB12B1, N_|B21ChB22B2, N_|BniD11Bn .1,2Bn _i,n aVi、(4-46)可以簡單的表示為:(4-47)注:P / V和V 表示不P/V - B(V)其中，矩陣B為全系統(tǒng)除了平衡節(jié)點以外的節(jié)點電納矩陣。 是很嚴謹，它們僅代表由：Pk/Vk和Vk.k組成的列向量。同理可得：(4-48)其中，矩陣B為所有PQ節(jié)點以外的節(jié)點電納矩陣。注：Q/ V僅代表由.Qk/Vk組成的列向量。這樣，我們在求解修正方程 4- 49和4- 50的時候，只需要提前將節(jié)點電納矩陣 B和B 利用高斯消去法變換成上（或下）三角矩陣，并記錄變換過程就可以了。與牛頓-拉夫遜法 相比，

41、每一步的迭代過程都大大減少了工作量。PQ解藕法的潮流計算步驟如下：（1） 準備工作，形成全系統(tǒng)（平衡節(jié)點除外）的節(jié)點電納矩陣B，以及其子矩陣一一 全部PQ節(jié)點的節(jié)點電納矩陣 B，然后利用高斯消去法形成上（或者下）三角矩陣并記錄 變換過程。（2） 賦初值V（0）和、0）；將全系統(tǒng)的PQ節(jié)點的電壓V設(shè)置為額定電壓，全系統(tǒng)的節(jié) 點的相角（平衡節(jié)點除外）設(shè)置為 0。令迭代次數(shù)k=0。（3） 根據(jù)設(shè)置的電壓和相角值計算 :p / v （k）以及.g / v （k），并根據(jù)節(jié)點導納矩陣 的上/下三角矩陣求解修正方程 4-47和4-48，得到.：;.（k）和厶v（k）。并根據(jù)修正值修正設(shè)定 的電壓初始值。（

42、4） 判斷誤差是否滿足要求，即、卜V:：；2。如果滿足要求，則輸出 計算結(jié)果，否則就令 k = k 1,轉(zhuǎn)入第二步繼續(xù)迭代。PQ解藕法簡化了每一步的迭代的計算量，每一步的迭代出的修正值與牛頓一拉夫遜法 的修正值相比誤差要大，因此，PQ解藕法雖然每一步的迭代計算量減少了，但換來的代價是增加了迭代次數(shù)。 但其最終的計算精確度是不受影響的，因為計算的精度取決于最終的誤差要求；i和；2，如果誤差要求和牛頓-拉夫遜法是一樣的，那么PQ解藕法最終的計算結(jié)果和牛頓-拉夫遜法的計算結(jié)果的精度就是一樣的。4-5潮流計算的手工估算方法大約半個多世紀以前， 數(shù)字計算機還沒有出現(xiàn)的時候，潮流計算都是采用手工的計算方法

43、。雖然潮流計算的本質(zhì)是解電力系統(tǒng)的節(jié)點功率方程，然而手工的計算方法是不可能用解上述節(jié)點功率方程的方法來進行潮流計算的。手工潮流計算是根據(jù)一個簡單支路的電壓和功率傳輸關(guān)系，將較為復雜的電力系統(tǒng)分解為若干個簡單支路來進行潮流計算的。因此任何復雜的潮流計算都是從一個簡單支路的潮流分布和電壓降落的計算開始的。對于環(huán)形網(wǎng)絡(luò)，首先將其解開為雙端電源網(wǎng)絡(luò)，然后雙端電源從功率分點解開，成為兩個輻射網(wǎng)絡(luò)，進行近似的潮流估算。1.簡單支路的潮流分布和電壓降落如圖4-8所示的簡單支路，節(jié)點 1和2之間的阻抗Z二R jX為已知；兩端的電壓分 別為V和V2，從節(jié)點1注入該支路的復功率為 S!，從節(jié)點2流出的功率為S2，

44、阻抗消耗 的功率為 S。根據(jù)電路理論， V、3和V2、S2這四個變量，任何兩個變量已知都可以求 出另外兩個變量。1RjX圖4-8簡單支路示意圖1.1已知一側(cè)的電壓和功率求另一側(cè)的電壓和功率假設(shè)已知節(jié)點2的電壓V2和流出的功率S2，可知道流過該支路的電流為:.S2I 二（4-49）如果以V2作為參考相量，阻抗 Z引起的電壓降落和功率損耗分別為:V =(R jX)(P2 - jQ2)V2(4-50)2 2：S = I 2z =（R jX）P2 2Q2 V2因此另一端節(jié)點1的電壓為：(4-51)V1=V2V = (V2RP2 XQ2V2XP2 rq2V2(4-52)流過節(jié)點1的復功率為:(4-53)

45、兩端電壓的關(guān)系還可以從如圖4-9所示的相量圖中得到（以電壓和電流的夾角，稱為功率因數(shù)角。從相量圖中，不難得到阻抗V2為參考相量），為末端Z引起的電壓降落的橫分量和縱分量分別為:Vx 二 Rl cos XI sin ，RV2I cos XV2I sin :VRP2 XQ2(4-54a)Vy=XIcos中Rl sin =XV2I cos 中-RV2I sinVXP2 - RQ2(4-54b)可得到首端的電壓幅值和相角分別為：M *；（V2 .：Vx）2.：V；（4-55）=arctgVyV2V(4-56)如果已知首端（節(jié)點1）的電壓和功率，求末端的電壓和功率，其基本原理同上，讀者 可以自行推導分析

46、。圖4-9兩端電壓相量示意圖V11.2已知一端的電壓和流過另一端的復功率假如已知首端電壓 V和末端的功率 S2，要求首端的功率 S1和末端的電壓V2，我們可 以利用兩端電壓的關(guān)系以及兩端功率的關(guān)系列出如下方程組（以V1為參考相量）：P22q22(R jX)（4-57）(4-58)XR - RQ1V1直接求解上面這個相量方程組是很麻煩的，可以通過迭代法來求解： 先給定一個末端電壓的初值，這個初值可以設(shè)定為該節(jié)點的平均額定電壓，然后將之代入4-57，得到S1，然后再利用S1根據(jù)4-58得到V2，重復上面的過程，直到誤差滿足要求為止。由于潮流計算通常是在電力系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運行條件下，此時節(jié)點電壓與平均額

47、定電壓差別不大，因此，在手工近似計算中，將上述的迭代過程只進行一次。即先設(shè)定未知的電壓為平 均額定電壓，利用 4-51式，根據(jù)末端的功率計算支路的功率損耗，然后利用4-53式計算出首端的功率，再利用首端的功率和首端的電壓計算系統(tǒng)的電壓損耗，最后計算出末端的電壓。2.輻射型網(wǎng)絡(luò)的手工潮流計算方法所謂輻射型網(wǎng)絡(luò)就是單電源供電的非環(huán)形網(wǎng)絡(luò)，系統(tǒng)中所有的負荷都由一個電源供電,輻射型網(wǎng)絡(luò)是由若干個簡單支路樹枝狀串級聯(lián)接而成的。對于輻射型網(wǎng)絡(luò)中的接地支路可以做如下處理：（1）將對電力系統(tǒng)中的接地支路等效為該支路消耗的功率，對地支路的電壓用額定電壓來替代，例如，對地支路的導納為G jB，那么這個對地支路的消

48、耗的功率 S=（G jB）V ；（2）將同一節(jié)點消耗的功率進行合并。通過這樣處理，輻射型網(wǎng)絡(luò)就化減為若干簡單支路的級聯(lián)，可以利用簡單支路的潮流和電壓計算方法逐級進行潮流計算。輻射型網(wǎng)絡(luò)的手工潮流計算一般從系統(tǒng)末端開始，因為通常輻射型網(wǎng)絡(luò)的末端的負荷為已知，首先計算潮流的近似分布，然后再從電源端開始根據(jù)潮流分布計算出各個節(jié)點的電壓。因此，輻射型網(wǎng)絡(luò)的手動潮流估算僅包含三步：第一步，根據(jù)電力系統(tǒng)各個元件的電機參數(shù)，建立電力系統(tǒng)的等值計算電路；然后將對地支路等效為支路消耗的功率，并將各個節(jié)點消耗的功率進行合并。第二步，首先將系統(tǒng)中各個節(jié)點的未知電壓設(shè)為系統(tǒng)平均額定電壓，然后從輻射型網(wǎng)絡(luò)的末端開始，依

49、次計算各個支路的功率損耗，最后得到潮流在輻射型網(wǎng)絡(luò)中的近似分布。第三步，根據(jù)估算出的潮流分布， 從電源端開始，根據(jù)前面簡單支路的電壓計算公式依 次計算各個節(jié)點的電壓。通過一個實例來說明潮流計算的過程，如圖4-10所示的輻射型單電源的簡單電力系統(tǒng)，已知節(jié)點1 （發(fā)電機節(jié)點）的電壓 VA和各個節(jié)點的負荷 SL1、SL2、Sl3、Sl4，求該系統(tǒng) 的功率和電壓的分布。已知電力系統(tǒng)的各個元件的參數(shù)如下所示：變壓器T1 ：額定容量Sn，額定變比kT1 =Vni /Vnii，空載損耗厶P。，空載電流百分數(shù) I。，短路損耗 厶Pk，短路電壓百分數(shù) Vk% ；輸電線路L :每公里長的正序阻抗 z1，每公里長的

50、對地電納 b0，線路長度L ；變壓器T2 :額定容量Sn ,額定變比kT1 =Vni /Vnii，空載損耗厶P。，空載電流百分數(shù) I。，短路損耗Pk，短路電壓百分數(shù) Vk%。第一步作出等效電路及其參數(shù)：首先做電力系統(tǒng)的等值電路，根據(jù)上述各個元件的參數(shù)，我們可以得到各個元件的等效 電路及其電路參數(shù)，等效電路如圖4-11所示。在計算等值電路中各個元件參數(shù)之前，先選擇功率和電壓的基準值SB，VB1，VB2，VB3。變壓器T1 （根據(jù)等值電路，變壓器參數(shù)都歸算到高壓側(cè)）：3弩擊；X蛙譽送十盼jXT1* ；T1*100 Sn VGT1*2:-Po Vb2 2 NIID Io% SNc ：o |x2；BT

51、1* ； yT1* = GT1* jBT1* ； kT1*VNII &100 VNIIkT1kB_ VNI /VNIIVB1 /VB2輸電線路:SB_BV；2ZL* - Z1 L2 ； bL0* - b0LVb2Sb變壓器T2 （根據(jù)等值電路，變壓器參數(shù)都歸算到高壓側(cè)）RT2*2L PkVNI SB ；sN ；Vk%V SXt2* k Y B ；100 Sn Vb2，ZT2*=Rt2*jXT2*GT2*Po VB2VNISB；Bt2*I 0 % SN2 ； yT2 =Gt2* 十100 vNijBT2* ；kT2*kT2kBVNI /VNIIVB2 /VB3第二步，將對地支路簡化為對地功率損耗

52、：如果電壓基準值的選取與變壓器的實際變比相匹配，那么kT1* =kT2* =1，如果不匹配，則需要將變壓器的變比的標么值等效到電路中，把變壓器的阻抗支路，變?yōu)镻I型等效電路（參見第二章，2.3節(jié)第四部分）。為了說明問題，我們假設(shè)電壓基準值選取與變壓器實際變比匹配，或者忽略非標準變比的影響。對地支路假設(shè)為對地損耗功率，其對地支路的損耗用該點的額定電壓來計算，等效電路變?yōu)槿鐖D4-12所示。Sa1 2ZT1J11孔iri4i11八11 1二 2 ,H11r111 1r1SliASti Sl2 ASliSl3Sw圖4-12等值電路II其中：厶 St1* =VfN!2*yT2* ；：Sl1* 二 V(2*(-jbL0* ；02* 二VNU-jb L0* /2)；2一 ST2* VN 4* yT2*第三步，節(jié)點功率合并：然后，將1、2、3、4各個節(jié)點上的所有功率合并，如圖4-13所示:其屮:S4*= Sl4* ;S3*= Sl3* -:Sl2* -:St2* ；S2*Sl2*-:Sl 1*- ,：St 1* ,Si*Sli*第四步，從末端開始，根據(jù)末端功率計算功率分布：先用各個節(jié)點的額定電壓以及流出支路的功率來計算各個支路損耗以及功率分布：.：S4*學(Rt2*jXT2*) ； S4一 S” ：S4* ； S3 二 S4 - S3Vn4*lS3