1、研究生招生中的模糊聚類分析摘要隨著國家科教興國發(fā)展戰(zhàn)略的全面實施和教育體制改革的不斷深入，要求各高等院校的研究生院培養(yǎng)出各方面所需要的高質(zhì)量人才，服務(wù)于社會。由于研究生的招生工作是一項政策性很強的工作，所以各高校在招生過程中必須堅持公平、公正、公開的原則。從數(shù)學(xué)的角度來看，招生工作本質(zhì)上就是一項排名工作，為了使排名更加合理、可信、科學(xué)，并且綜合錄取單位的決策過程中的模糊信息，我們準(zhǔn)備利用模糊聚類分析方法，根據(jù)聚類結(jié)果來確定每位考生的排名結(jié)果。我們以2014年26名報考汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生考生成績?yōu)槔ㄟ@是一個假設(shè)例子），利用模糊數(shù)學(xué)聚類分析方法做出他們的成績排名，得到的聚類結(jié)果

2、如圖1，從而得到他們的排名次序。關(guān)鍵詞：研究生招生 模糊聚類分析一、問題描述（以研究生招生錄取工作為例）假設(shè)2014年有26名考生報考汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生，他們的成績?nèi)绫?所示?，F(xiàn)在需要采用一種比較科學(xué)、合理、可信的方法來得出他們的成績排名，這種方法除了考慮考生的總分之外，還要考慮各科成績是否均衡，即各科成績是否接近各科最好成績。表1： 2014年報考汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生成績表考生編號考生成績總分136416365602652604866806331735154818194361464568685833745515035313720463957656870299

3、760599710096412862589497914029665183858637110503817521817511431843401616012686765897936813556023666627014393815153814515454429704523316614863726530917497365826433318595965676231219546247809533820413391032125215659777592359223043776775292234650243625181242037175440168255753417860289265528356036214二、問

4、題的分析考生成績排名問題是一種基于多個影響因素的問題，而模糊聚類分析方法則比較適合于這種綜合考慮多個因素從而得到排名的次序的方法。模糊聚類分析方法的排名原則是，越先聚為一類的人，名次越靠近。所以，可以利用模糊聚類分析方法來求出本題中26名考生的成績排名。3、 模型建立模糊聚類分析原理1：1. 第一步：數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化（1） 數(shù)據(jù)矩陣 設(shè)論域U=為被分類的對象，每個對象又有m個指標(biāo)表示其性狀，即 于是，得到的原始數(shù)據(jù)矩陣為 （2） 數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化：平移標(biāo)準(zhǔn)差變換 其中 2. 第二步：標(biāo)定（建立模糊相似矩陣）設(shè)論域，依照傳統(tǒng)聚類方法確定相似系數(shù)，建立模糊相似矩陣和與的相似程度。確定的方法之一如下。相似系數(shù)法

5、：數(shù)量積法其中 3. 第三步，聚類（求動態(tài)聚類圖）基于模糊等價矩陣聚類方法 傳遞閉包法：根據(jù)標(biāo)定所得的模糊矩陣，只是一個模糊相似矩陣，不一定具有傳遞性，即R不一定是模糊等價矩陣。為了進(jìn)行分類，還需要將R改造成模糊等價矩陣,即，再讓由大變小，就可形成動態(tài)聚類圖。四、模型求解1、第一步：條件假設(shè) 如果有一名考生，他的每科成績都不低于這26位考生中的任何一位，很顯然他應(yīng)當(dāng)在錄取名單中排列第一?，F(xiàn)在我們虛設(shè)這樣一名考生（編號記為27），其5科成績分別是68，73，97，100，96，然后按照與這名虛設(shè)考生聚為一類的先后次序確定錄取排名順序。2、第二步：模糊聚類 將5科成績作為考生的特征數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)矩陣，

6、其中，分別表示編號為的考生的5科成績。采用數(shù)量積法，有，建立模糊相似矩陣，其中，然后用傳遞閉包法進(jìn)行聚類。在MATLAB工作空間中調(diào)用附錄中的M函數(shù)F_Jlfx(0,1,X)，得到動態(tài)聚類圖如圖1所示。圖1：聚類結(jié)果圖3、第三步：確定研究生招生錄取次序 根據(jù)問題的分析及模糊聚類結(jié)果（圖1），研究生招生的錄取次序為7，8，4，9，3，12，21，19，17，2，18，16，6，22，25，1，13，15，26，5，23，24，10，11，14，20.五、模型評價這種方法既考慮了考生的總分，又考慮了各科成績是否均衡這個因素，即各科成績是否接近各科最好成績。因此，就這26位考生5科成績來說，這個錄取

7、次序是比較合理、比較可信、比較科學(xué)的。6、 參考文獻(xiàn) 1 謝季堅 劉承平 模糊數(shù)學(xué)方法及其應(yīng)用（第四版）武漢 華中科技大學(xué)出版社 2013,2附錄：程序代碼軟件：MATLAB R2010a；共六個M函數(shù)：第一個是主函數(shù)，其他為調(diào)用函數(shù)。1.F_JIfx.mfunction F_JIfx(bzh,cs,X)%模糊聚類分析%bzh 數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化類型；cs 建立模糊相似矩陣的方法；X 原始數(shù)據(jù)矩陣X=F_JISjBzh(bzh,X);n,R=F_JIR(cs,X);if(n<5)return;endlmd,xhsz,flsz,flrlsz=F_DtJIt(n,R);F_JIJsFtjl(X,lm

8、d,xhsz,flsz,flrlsz);2.F_DtJIt.mfunctionlmd,xhsz,flsz,flrlsz=F_DtJIt(n,R)%函數(shù)功能：模糊聚類分析動態(tài)聚類圖%n,模糊相似矩陣的階婁；R，模糊相似%返回值：lmd,分類水平數(shù)組；xhsz,最終序號數(shù)組%返回值：flsz,分類數(shù)數(shù)組；flrlsz, 子類容量數(shù)組for(i=1:n)R(i,i)=1;%修正錯誤 for(j=i+1:n) if(R(i,j)<0)R(i,j)=0;elseif(R(i,j)>1)R(i,j)=1;end R(i,j)=round(10000*R(i,j)/10000;%保留4位小數(shù) R

9、(j,i)=R(i,j); endendjs0=0;while(1)%求傳遞閉包 R1=Max_Min(R,R);js0=js0+1; if(R1=R)break;else R=R1;endendlmd(1)=1;k=1;for(i=1:n)for(j=i+1:n)pd=1;%找出所有不相同的元素 for(x=1:k)if(R(i,j)=lmd(x)pd=0;break;end;end if(pd)k=k+1;lmd(k)=R(i,j);end end;endfor(i=1:k-1)for(j=i+1:k)if(lmd(i)<lmd(j)%從大到小排序 x=lmd(j);lmd(j)=l

10、md(i);lmd(i)=x; end;end;endfor(x=1:k)%按lmd(x)分類，分類數(shù)為flsz(x),臨時用Sz記錄元素序號 js=0;flsz(x)=0; for(i=1:n)pd=1; for(y=1:js)if(Sz(y)=i)pd=0;break;end;end if(pd) for(j=1:n)if(R(i,j)>=lmd(x)js=js+1;Sz(js)=j;end;end flsz(x)=flsz(x)+1; end endendfor(i=1:k-1)for(j=i+1:k)if(flsz(j)=flsz(i)flsz(j)=0;end;end;endf

11、l=0;%排除相同的分類for(i=1:k)if(flsz(i)fl=fl+1;lmd(fl)=lmd(i);end;endfor(i=1:n)xhsz(i)=i;endfor(x=1:fl)%獲得分類情況，對分類元素進(jìn)行排序 js=0;flsz(x)=0; for(i=1:n)pd=1; for(y=1:js)if(Sz(y)=i)pd=0;break;end;end if(pd)if(js=0)y=0;end for(j=1:n)if(R(i,j)>=lmd(x)js=js+1;Sz(js)=j;end;end flsz(x)=flsz(x)+1; Sz0(flsz(x)=js-y;

12、 end end js0=0; for(i=1:flsz(x) for(j=1:Sz0(i)Sz1(j)=Sz(js0+j);end for(j=1:n)for(y=1:Sz0(i) if(xhsz(j)=Sz1(y)js0=js0+1;Sz(js0)=xhsz(j);end end;end end for(i=1:n)xhsz(i)=Sz(i);endendfor(x=1:fl)%獲得分類中每一子類的元素個數(shù) js=0;flsz(x)=0; for(i=1:n)pd=1; for(y=1:js)if(Sz(y)=i)pd=0;break;end;end if(pd)if(js=0)y=0;e

13、nd for(j=1:n)if(R(i,j)>=lmd(x)js=js+1;Sz(js)=j;end;end flsz(x)=flsz(x)+1;Sz0(flsz(x)=js-y; end end js0=1; for(i=1:flsz(x)y=1; for(j=1:flsz(x) if(Sz(y)=xhsz(js0)flrlsz(x,i)=Sz0(j);js0=js0+Sz0(j);break;end y=y+Sz0(j); end endendxhsz,flsz,lmd,flrlszF_dtjltx=figure('name','動態(tài)聚類圖','

14、;color','w');axis('off');Kd=30;Gd=40;if(n<20)lx=60;else lx=80;endif(flsz(1)=n)y=fl*Gd+Gd;text(24,y+Gd/2+8,'landa'); for(i=1:n) text(lx-5+i*Kd-0.4*Kd*(xhsz(i)>9),y+Gd/2+8,int2str(xhsz(i); line(lx+i*Kd,lx+i*Kd,y,y-Gd);hxsz(i)=lx+i*Kd; end text(lx*1.5+n*Kd,y+Gd/2+8,

15、9;分類數(shù)'); js0=1;js1=0; text(16,y-Gd/2,'1.0000'); for(i=1:flsz(1)js1=flrlsz(1,i)-1; if(js1)line(hxsz(js0),1+hxsz(js0+js1),y,y);end line(hxsz(js0+js1)+hxsz(js0)/2,(hxsz(js0+js1)+hxsz(js0)/2,y,y-Gd); hxsz(i)=(hxsz(js0+js1)+hxsz(js0)/2;js0=js0+js1+1; end text(lx*1.5+n*Kd,y-Gd/2,int2str(flsz(1

16、);else y=fl*Gd;text(24,y,'landa'); for(i=1:n) text(lx-5+i*Kd-0.4*Kd*(xhsz(i)>9),y,int2str(xhsz(i); line(lx+i*Kd,lx+i*Kd,y-Gd/4,y-Gd/2);hxsz(i)=lx+i*Kd; end text(lx*1.5+n*Kd,y,'分類數(shù)'); js0=1;js1=0;y=y-Gd/2; text(16,y-Gd/2,'1.0000'); for(i=1:flsz(1)js2=0;js1=js1+flrlsz(1,i);

17、for(j=1:n)js2=js2+1; if(js2=js1)break;end end if(j=js0)line(hxsz(js0),1+hxsz(j),y,y);end line(hxsz(js0)+hxsz(j)/2,(hxsz(js0)+hxsz(j)/2,y,y-Gd); hxsz(i)=(hxsz(js0)+hxsz(j)/2;js0=j+1; end text(lx*1.5+n*Kd,y-Gd/2,int2str(flsz(1);endfor(x=2:fl)js0=1;js1=0;y=y-Gd; text(16,y-Gd/2,num2str(lmd(x); for(i=1:f

18、lsz(x)js2=0;js1=js1+flrlsz(x,i); for(j=1:flsz(x-1)js2=js2+flrlsz(x-1,j); if(js2=js1)break;end end if(j=js0)line(hxsz(js0),1+hxsz(j),y,y);end line(hxsz(js0)+hxsz(j)/2,(hxsz(js0)+hxsz(j)/2,y,y-Gd); hxsz(i)=(hxsz(js0)+hxsz(j)/2;js0=j+1; end text(lx*1.5+n*Kd,y-Gd/2,int2str(flsz(x);endend3.F_JIJsFtjl.mfu

19、nction F_JIJsFtjl(BzhX,lmd,xhsz,flsz,flrlsz)%函數(shù)功能：模糊聚類分析確定最佳閾值%BzhX,標(biāo)準(zhǔn)化后數(shù)據(jù)矩陣；lmd,分類水平數(shù)組%xhsz,最終序號數(shù)組；flsz,分類數(shù)數(shù)組；flrlsz,子類容量數(shù)組n,m=size(BzhX);%獲得矩陣的行列數(shù)if(n<=4|m<2)return;endjls=length(xhsz);%獲得矩陣的長度if(jls=n)return;endjls=length(flsz);%獲得數(shù)組的長度if(jls<=2)return;endfor(i=1:m)X_(i)=0;%計算總體樣本的中心向量 f

20、or(j=1:n)X_(i)=X_(i)+BzhX(j,i);end X_(i)=X_(i)/n;endx=1+(flsz(1)=n);while(x<jls)Xj_=;js0=0; for(i=1:flsz(x)%計算各子類的中心向量 for(j=1:m)Xj_(i,j)=0; for(k=1:flrlsz(x,i)Xj_(i,j)=Xj_(i,j)+BzhX(xhsz(js0+k),j);end Xj_(i,j)=Xj_(i,j)/flrlsz(x,i); end js0=js0+flrlsz(x,i); end js0=0;Fz=0;Fm=0;%計算F-統(tǒng)計量 for(i=1:fl

21、sz(x)F=0; for(j=1:m)F=F+(Xj_(i,j)-Xj_(j)2;end Fz=Fz+flrlsz(x,i)*F; for(k=1:flrlsz(x,i) for(j=1:m)Fm=Fm+(BzhX(xhsz(js0+k),j)-Xj_(i,j)2;end end js0=js0+flrlsz(x,i); end F=Fz*(n-flsz(x)/(Fm*(flsz(x)-1);%F-統(tǒng)計量值 Fa=finv(0.95,flsz(x)-1,n-flsz(x);%F-分布查表值 if(F>Fa)%屏幕輸出相關(guān)信息 fprintf('landa=%6.4f,t 分類數(shù)

22、 r=%g,t',lmd(x),flsz(x); fprintf('F-統(tǒng)計量值 F=%3.2f,t',F); fprintf('F-分布臨界值 F0.05(%g,%g)=%3.2f,t',flsz(x)-1,n-flsz(x),Fa); fprintf('相對差值=%3.2fn',(F-Fa)/Fa); end x=x+1;endend4.F_JISjBzh.mfunctionX=F_JISjBzh(cs,X)%定義函數(shù)%函數(shù)功能：模糊分析數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化變換%cs=0,不變換；cs=1，標(biāo)準(zhǔn)差變換；cs=2, 極差變換%X,數(shù)據(jù)矩陣if(c

23、s=0)return; endn,m=size(X);%獲得矩陣的行列數(shù)if(cs=1)%平移。標(biāo)準(zhǔn)差變換 for(k=1:m)xk=0; for(i=1:n)xk=xk+X(i,k);end xk=xk/n;sk=0; for(i=1:n)sk=sk+(X(i,k)-xk)2;end sk=sqrt(sk/n); if(sk>0.000001) for(i=1:n)X(i,k)=(X(i,k)-xk)/sk;end end endelse%平移。極差變換 for(k=1:m)xmin=X(1,k);xmax=X(1,k); for(i=1:n) if(xmin>X(i,k)xmi

24、n=X(i,k);end if(xmin>X(i,k)xmax=X(i,k);end end if(xmax>xmin)xmax=xmax-xmin; for(i=1:n)X(i,k)=(X(i,k)-xmin)/xmax; end else for(i=1:n)X(i,k)=0;end end endend5.Max_Min.mfunction C=Max_Min(A,B)%函數(shù)功能：模糊矩陣的合成運算，先取小后取大m,s=size(A);i,n=size(B);%獲得矩陣的行列數(shù)if(i=s)C=;return;end%輸入數(shù)據(jù)有誤for(i=1:m)for(j=1:n)C(i

25、,j)=0; for(k=1:s)x=B(k,j); if(A(i,k)<x)x=A(i,k);end if(C(i,j)<x)C(i,j)=x;end end endend6.F_JIR.mfunction n,R=F_JIR(cs,X)%函數(shù)功能：模糊聚類分析建立模糊相似矩陣%cs=1，數(shù)量積法%cs=2，夾角余弦法%cs=3，相關(guān)系數(shù)法%cs=4，指數(shù)相似系數(shù)法%cs=5，最大最小法%cs=6，算術(shù)平均最小法%cs=7，幾何平均最小法%cs=8，直接歐幾里得距離法%cs=9，直接海明距離法（絕對值減數(shù)法）%cs=10，直接切比雪夫距離法%cs=11，倒數(shù)歐幾里得距離法%cs=

26、12，倒數(shù)海明距離法（絕對值倒數(shù)法）%cs=13，倒數(shù)切比雪夫距離法%cs=14，指數(shù)歐幾里得距離法%cs=15，指數(shù)海明距離法（絕對值指數(shù)法）%cs=16，指數(shù)切比雪夫距離法%X，數(shù)據(jù)矩陣%返回值；n,模糊相似矩陣的階數(shù)；R,模糊相似矩陣n,m=size(X);%獲得矩陣的行列數(shù)if(cs=1)maxM=0;%數(shù)量積法 for(i=1:n) for(j=1:n) if(j=i)x=0; for(k=1:m)x=x+X(i,k)*X(j,k);end if(maxM<x)maxM=x; elseif(maxM<-x)maxM=-x;end end end end maxM=maxM

27、+1; for(i=1:n) for(j=1:n) if(i=j)R(i,j)=1; else R(i,j)=0; for(k=1:m) R(i,j)=R(i,j)+X(i,k)*X(j,k); end R(i,j)=R(i,j)/maxM; if(R(i,j)<0)R(i,j)=(R(i,j)+1)/2;end end end endelseif(cs=2)%夾角余弦法 for(i=1:n) for(j=1:n) xi=0;xj=0; for(k=1:m)xi=xi+X(i,k)2; xj=xj+X(j,k)2; end s=sqrt(xi*xj); R(i,j)=0; for(k=1

28、:m)R(i,j)+X(i,k)*X(j,k);end R(i,j)=R(i,j)/s; if(R(i,j)<0)R(i,j)=(R(i,j)+1)/2;end end endelseif(cs=3)%相關(guān)系數(shù)法 for(i=1:n)for(j=1:n)xi=0;xj=0; for(k=1:m)xi=xi+X(i,k);xj=xj+X(j,k);end xi=xi/m;xj=xj/m;xis=0;xjs=0; for(k=1:m)xis=xis+(X(i,k)-xi)2;xjs=xjs+(X(j,k)-xj)2;end s=sqrt(xis*xjs);R(i,j)=0; for(k=1:

29、m)R(i,j)=R(i,j)+abs(X(i,k)-xi)*(X(j,k)-xj);end R(i,j)=R(i,j)/s; end endelseif(cs=4)%指數(shù)相似系數(shù)法 for(i=1:n)for(j=1:n)R(i,j)=0; for(k=1:m)xk=0; for(z=1:n)xk=xk+X(z,k);end xk=xk/n;sk=0; for(z=1:n)sk=sk+(X(z,k)-zk)2;end sk=sk/n;R(i,j)=R(i,j)+exp(-0.75*(X(i,k)-X(j,k)2/sk); end R(i,j)=R(i,j)/m; end endelseif(

30、cs<=7)%最大最小法 算術(shù)平均最小法 幾何平均最小法 for(i=1:n)for(j=1:n)fz=0;fm=0; for(k=1:m) if(X(j,k)<0)n=0;R=;return;end if(X(j,k)<X(i,k)fz=fz+X(i,k); else fz=fz+X(j,k);end end if(cs=5)%最大最小法 for(k=1:m)if(X(i,k)>X(j,k)fm=fm+X(i,k); else fm=fm+X(j,k);end;end elseif(cs=6)for(k=1:m)fm=fm+(X(i,k)+X(j,k)/2;end%算

31、術(shù)平均最小法 else for (k=1:m) fm=fm+sqrt(X(i,k)*X(j,k)/2;end;end %幾何平均最小法 R(i,j)=fz/fm; end endelseif(cs<=10)C=0;%直接距離法 for(i=1:n)for(j=i+1:n)d=0; if(cs=8)for(k=1:m)d=d+(X(i,k)-X(j,k)2;end d=sqrt(d);%歐幾里得距離 elseif(cs=9)for(k=1:m)d=d+abs(X(i,k)-X(j,k);end%海明距離 else%切比雪夫距離 for(k=1:m)if(d<abs(X(i,k)-X(

32、j,k)d=abs(X(i,k)-X(j,k);end;end end if(C<d)C=d;end end end C=1/(1+C); for(i=1:n)for(j=1:n)d=0; if(cs=8)for(k=1:m)d=d+(X(i,k)-X(j,k)2;end d=sqrt(d);%歐幾里得距離 elseif(cs=9)for(k=1:m)d=d+abs(X(i,k)-X(j,k);end%海明距離 else%切經(jīng)雪夫距離 for(k=1:m)if(d<abs(X(i,k)-X(j,k)d=abs(X(i,k)-X(j,k);end;end end R(i,j)=1-C

33、*d; end endelseif(cs=13)minM=inf;%倒數(shù)距離法 for(i=1:n)for(j=i+1:n)d=0; if(cs=11)for(k=1:m)d=d+(X(i,k)-X(j,k)2;end d=sqrt(d);%歐幾里得距離 elseif(cs=12)for(k=1:m)d=d+abs(X(i,k)-X(j,k);end%海明距離 else%切比雪夫距離 for(k=1:m)if(d<abs(X(i,k)-X(j,k)d=abs(X(i,k)-X(j,k);end;end end if(minM>d)minM=d;end end end if(minM

34、<0.000001)n=0;R=;return;end minM=0.9999*minM; for(i=1:n)for(j=1:n)d=0; if(j=i)R(i,j)=1;continue;end if(cs=11)for(k=1:m)d=d+(X(i,k)-X(j,k)2;end d=sqrt(d);%歐幾里得距離 elseif(cs=12)for(k=1:m)d=d+abs(X(i,k)-X(j,k);end%海明距離 else%切比雪夫距離 for(k=1:m)if(d<abs(X(i,k)-X(j,k)d=abs(X(i,k)-X(j,k);end;end end R(i

35、,j)=minM/d; end;endelse for(i=1:n)for(j=1:n)d=0;%指數(shù)距離法 if(cs=14)for(k=1:m)d=d+(X(i,k)-X(j,k)2;end d=sqrt(d); elseif(cs=15)for(k=1:m)d=d+abs(X(i,k)-X(j,k);end else for(k=1:m)if(d<abs(X(i,k)-X(j,k)d=abs(X(i,k)-X(j,k);end;end end R(i,j)=exp(-d); end;end;endEnd運行結(jié)果： F_JIfx(0,1,X)xhsz = Columns 1 thro

36、ugh 9 1 2 3 4 7 8 9 12 21 Columns 10 through 18 19 17 16 18 22 6 25 13 15 Columns 19 through 26 26 5 24 23 10 11 14 20flsz = Columns 1 through 9 25 24 23 22 21 20 19 18 17 Columns 10 through 18 16 15 14 13 12 11 10 9 8 Columns 19 through 25 7 6 5 4 3 2 1lmd = Columns 1 through 5 1.0000 0.9209 0.9158

37、 0.9000 0.8883 Columns 6 through 10 0.8831 0.8236 0.8040 0.7748 0.7506 Columns 11 through 15 0.7487 0.7409 0.7357 0.6941 0.6614 Columns 16 through 20 0.6343 0.5600 0.5131 0.4628 0.4113 Columns 21 through 25 0.4046 0.3983 0.3847 0.3224 0.2695flrlsz = Columns 1 through 9 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1

38、1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1 1 1 1 7 1 1 1 1 1 1 1 1 8 1 1 1 1 1 1 1 1 9 1 1 1 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 1 1 1 1 13 1 1 1 1 1 1 1 1 14 1 1 1 1 1 1 1 1 15 1 1 1 1 1 1 1 16 1 1 1 1 1 1 1 1 17 1 1 1 1 1 1 1 1 18 1 1 1 1 1 1 1 1 19 1 1 1 1 1 1

39、1 0 20 1 1 1 1 1 1 0 0 21 1 1 1 1 1 0 0 0 22 1 1 1 1 0 0 0 0 23 1 1 1 0 0 0 0 0 24 1 1 0 0 0 0 0 0 25 1 0 0 0 0 0 0 0 26 0 0 0 0 0 0 0 0 Columns 10 through 18 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

40、 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Columns 19 through 25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0