1、加泰羅尼亞的丟番圖問題發(fā)現(xiàn)連續(xù)”白，即解決方案，工嚴了車土1.不包括0和1。加泰羅尼亞的猜想州唯一的解決方案31-S3=1,所以8和9（2?和3?）是唯一連續(xù)權力（不包括0和1）。加泰羅尼亞的猜想這個猜想在1844年由比利時數(shù)學家查爾斯尤金加泰羅尼亞8和9（2?和甲）是唯一連續(xù)權力（不包括0和1）。換句話說，乎=1息唯一J個非平凡解加泰羅尼亞的丟番圖問題1#-上1心的特寐情況p=3和？二工是n三:士1的情況下莫德爾曲線.有趣的是，500多年前加泰羅尼亞制定他的猜想，李維本Gerson（1288-1344）已經(jīng)指出，2和3的唯一力量，顯然不同1第和出（皮特森2000）。這個猜想有不顧一切試圖證明

2、這150多年來，盡管Hyyr?和馬克維斯奇證明沒有連續(xù)三次竺存在（Ribenboim1996），也稱,8和9是唯一連續(xù)立方和平方數(shù)（訂單）。最后，4月18日,2002年,Mih?ilescu向幾個數(shù)學家證明整個手稿猜想（vanderPoorten2002）。證明已經(jīng)出現(xiàn)在打?。∕ih?ilescu2004）和被廣泛接受為正確和有效（MetsankylaDaems2003年,2003）。Tijdeman（1976）表明，只有一個有限的如果數(shù)量的異常猜想不持有。最近的進展顯示，在一個可決定的問題有限的（但比天文）的步驟，特別是，如果推和打+1是權力，然后n<.exp«xpexpex

3、p730（1994,p.155）。1999年,m.Mignotte顯示如果一個非平凡解的存在pW7口5茂10",q<7.78射（皮特森2000）。它也知道，如果附加方程解存在，指數(shù)（p.必必須雙Wieferich'雙，或p和父數(shù)量必須滿足一個類可分性條件（施泰納1998）。限制這類數(shù)條件不斷改善從Inkeri（1964）和持續(xù)通過施泰納（1998）的工作。之后在1999年的春天，Bugeaud和Hanrot證明了弱可能持有無條件（即類數(shù)條件。，無論是否尸和q是一個雙Wieferich'兩不信）。隨后在2000年秋天,Mihailescu證明了雙Wieferich

4、'兩無條件的條件也必須持有（彼得森2000）。一個泛化高斯整數(shù)相差一個單位是由(78+7Bflf-(-23if-i.參見：高斯整數(shù)N醇瘠一個高斯整數(shù)復數(shù)b4在哪里q和是整數(shù)。高斯整數(shù)的成員虛二次域數(shù)高斯整數(shù)的乘積，但是g七月。g+賴有一個i這樣（小腿1993）o高斯整數(shù)可以唯一考慮的其他高斯整數(shù)（稱為高斯質數(shù)）,叁1的1和重組。的單位更蚓是上1和士史.高斯整數(shù)的一個規(guī)范的定義是它復雜的模量并形成一個環(huán)通常表示為無，有時it因（哈代和賴特1979,p.179）。和，差，兩個高斯整另一個常見的定義（如。哈迪，Herstein1975;1979年賴特，p。182;阿廷1991;Dummit和

5、富特2004）定義了一個高斯整數(shù)的規(guī)范網(wǎng)（a+F助=/平白工，以上數(shù)量的平方。（注意，高斯整數(shù)組成歐氏環(huán)是什么讓他們特別感興趣的，只有在后者的定義。）由于兩種可能的定義，當咨詢文獻謹慎是必須的。兩個高斯整數(shù)的概率門和力是互質是6一每個高斯整數(shù)都在的多個高斯整數(shù).上面的圖顯示的根源正高斯整數(shù)的各種理性的價值觀,（Trott2004年,p.24）。虛二次域產(chǎn)加刖（以=0=-=0.66370/尤（OEIS088454）,此是加泰羅尼亞的常數(shù)（佩吉，柯林斯和約翰遜1989;芬奇2003,p.601）。一個虛構的二次字段是一個.次場QNF）與口<0。下列表中特殊情況進行了總結。參見：艾森斯坦整數(shù)值

6、calu口1m神itn附nn*頓g?卜NTPIDUTEtniiEntni艾森斯坦整數(shù)，有時也被稱為日senstein-Jacobi整數(shù)（芬奇2003,p.601）,是數(shù)字的形式小斗在那里儀和&是正常的整數(shù)，是其中一個恨的/1,其余1和以工二；（-1-/?）.艾森斯坦整數(shù)的差異，總結和產(chǎn)品是另一個艾森斯坦整數(shù)。艾森斯坦整數(shù)復數(shù)的成員虛二次域Q（qQ這正是如這（車1991,p.1991）。人,35頁）。艾森斯坦整數(shù)領域有六個單位（或統(tǒng)一的根源，即二3、卡（車1991,p.1991;1994一mfij5-311443弧-11-34jj231w戒.，44r'中f，-j-白4-fij-5

7、-4fcj14-4后一.一一24皿1.4o1-4fcj2-I每個非零艾森斯坦整數(shù)都有一個獨特的(排序)分解到同事，同事在哪里艾森斯坦整數(shù)與給定的艾森斯坦的整數(shù)倍數(shù)的旋轉w在復平面。具體地說，任何非零艾森斯坦整數(shù)是獨一無二的產(chǎn)品權力的一1,，積極”艾森斯坦質數(shù)，積極”艾森斯坦整數(shù)那些落在上面的三角形楔畫報(康威和蓋1996)。的模擬費馬定理艾展瓦坦整數(shù)是質數(shù)p可以書面形式；廠-2?j-,/:口4Vy、.*b:，/。(3)敵我識別3#pF1。恰恰是這些質數(shù)的形式3d+/(康威和蓋1996)。艾森斯坦整數(shù)都在一個距離川給定艾森斯坦的整數(shù)倍數(shù)”.Dorrie(1965)使用另一種符號(='(4

8、)0=1一為一切：和一端口電話號碼的形式"J+ROG數(shù)字。5口滿足=(6)=(7)二(8).二(9)二(10)二:(11)參見：.次場一個代數(shù)整數(shù)的形式E+&在哪里口是squarefree形成一個二次場和來標示Q")。如果D>。,這個領域被稱為真正的二次場，如果D40,它被稱為一個虛二次域o的整數(shù)Q(V1)只是所謂的“整數(shù)。的整數(shù)Q)被稱為高斯整數(shù)的整數(shù)Qg)被稱為艾森斯坦整數(shù)。的代數(shù)整數(shù)在一個任意的二次場不一定有獨特的分解。例如,字段Q口Q(/4兒分解不是唯一的，因為.Ii，U；?,卜G,二3盡管上述因素在這些領域都是質數(shù)。所有其他二次字段Q(的1)與網(wǎng)|W

9、7獨特的可分解。二次領域遵守身份卜斗&近7)土,+ddH)=心土&手山士由Yd(3)(中6/KJi=值u.SdQj+(ad+2>e)(4)和tx*bac-bd0beadr戶.工事斗二修的整數(shù)在現(xiàn)實領域QK°)的形式在那里fhrD=2orD=3(mod4)尹|j-(-1+forD=1(mod4),有21個二次字段中有一個歐幾里得算法相應的,Q為squarefree整數(shù)一11，一,一3，一工,二1、2、3、5、6、7、11、13、17日,19日,21日,29日,33歲,37歲,41歲的57歲和73年(A048981)。這個列表由Inkeri出版(1947年)，但錯誤

10、包括虛假的附加項97(巴恩斯和Swinnerton-Dyer1952;哈代和賴特1979,p.217)。參見：Squarefree8Q6口402口00100120140據(jù)說是squarefree(有時quadratfrei;小腿1993)如果它:分解不包含重復的因素。所有質數(shù)因此非常squarefree。1號是按照慣例被0Wsquarefreeosquarefree數(shù)字1、2、3、5、6、7、10、11、13、14、15日（OEIA005117）。的squareful數(shù)字（即。，那些包含至少一個廣場）4、8、9、12、16、18、20、24、25日，（OEA013929）.的Wolfram語言

11、函數(shù)SquareFreeQn決定squarefree數(shù)量。注意，因為技術原因，Wolfram語言認為1是squarefree公約，符合定義時squarefree數(shù)量口盧0,在那里口加）是默比烏斯函數(shù)。因此,1號有點好奇的區(qū)別的同時完全平方和squarefreeo讓q金）=1在哪里為squarefree和q。在哪里拉包含一個或多個平方，所以ji）=醐。然后為b1和J（j）是黎曼工函數(shù)（哈代和賴特1979,p.255）o第一個的值1仃整數(shù)是繪制在一個以上100X100所示白色網(wǎng)格,squarefree值。清晰的模式出現(xiàn)在數(shù)字的倍數(shù)每個共享一個或多個重復的因素。沒有已知的識別squarefree的多

12、項式時間算法整數(shù)或計算squarefree部分一個|斐。事實上，這個問題可能不會比一般的問題簡單整數(shù)分解（很明顯，如果一個整數(shù)“完全可以被分解，九是squarefree敵我識別它不包含重復的因素）。這個問題是一個重要的尚未解決的問題數(shù)論因為計算整數(shù)環(huán)的一個代數(shù)場簡化為計算數(shù)量squarefree部分一個整數(shù)1992年（Lenstra,Pohst和Zassenhaus19921所有的數(shù)字不到25X1。、在西爾維斯特的序列squarefree,不是嗎squareful數(shù)字在這個序列是已知的（相熟識的1991）。每一個卡邁克爾數(shù)量squarefree。的二項式系數(shù),2川八日,是squarefree僅

13、為拉=工、3、4、6、9、10、12、36歲，不到，沒有別人內1500。的中央二項式系數(shù)是squarefree僅為年=1日,19日,23日,71年，（OEIA046098），沒有其他小于1500。讓是積極squarefree數(shù)字的數(shù)量K遍（哈代和賴特1979,p.251）。然后以=1,2,最初幾個值是0,1,2,3,3,4,5,6,6,6,7,8,8,9,10,11日，11日，括處(mod2).二、2、3、4、5、7、8、11、17(OEIA013928)。金額為0&)包(6)7Lt(8)Q5)=+（朗道1974年，頁604-1974;Nagell1951,p.130，哈代和賴特197

14、9年，頁269-270，哈代1999,p.65）。因此漸近密度=。/*斷幻再”（OEISX059956;井1986,28頁;Borwein貝禾外，2003年,p.139）,f加）是黎曼J函數(shù)。的值°如刎乩二郎、100、10007,61,608,61,608,607926,6079291,60792694,607927124,6079270942,（OE）IS1172）.同樣地，漸近squarefree密度高斯整數(shù)是由6/（k©=（OEI地088454）,二是加泰羅尼亞的常數(shù)（佩吉，柯林斯和約翰遜1989;芬奇2003,p.601）。的默比烏斯函數(shù)是由幽數(shù)繪制上面K團=1/2

15、和R園l(Froberg1968)o0jf/ihasoneormotrerepeatedprimefactors拈三1必=1L(-13sifnisproductofdistinctprimes.所以1goi)*0表明nsquarefree。的漸近公式QQi1相當于公式£以網(wǎng)U+o(/7)I'L(哈代和賴特1979,p.270)£?2(!?)/*0_支毒口0.2275"J227h0.3226J(L期就。生的非平凡零點黎曼工函數(shù)在關鍵線路u1/2.如上圖(左邊實部用紅色表示，虛部在黃色)，函數(shù)奇異點沿實軸占1/火在哪里人貫穿所有正整數(shù)平方因子。為才接近于1尸&

16、amp;)的擴張pi在哪里C0和崖=上=-031571&452(OEISM43524),M(幻是默比烏斯函數(shù)和手【總是黎曼函數(shù)(Froberg1968)。U對所有正整數(shù)之和在哪里。？是上文所述正實軸，虛部在哪里顯示在黃色和紅色的實部。(符號不同虛部情節(jié)出現(xiàn)在Froberg相比可能是由于使用不同的公約1K(-1).)各種術語和符號用于這個函數(shù)。“'函數(shù)”這一術語和符號F&0被Froberg使用(1968),而科恩(2000)使用的符號號.級數(shù)絕對收斂1,在那里工=丁:"分析，可以繼續(xù)的地帶0<<7<1(Froberg1968),但不超出了線三1

17、0(朗道和Walfisz1920,1920年Froberg)由于集群的奇異點虛軸產(chǎn)VOODOO41D(no后ODMDSOQOOO讓&1>是連號的數(shù)量&改+1)與青巨星這樣k和上+1者B是squarefree。Q2(1甲)為&=。,1,323,3230,32269,322619,3226343,32263377,322634281,3226340896,AC(87IBISB)o然后02加)/原給出了漸近的m一=03226340989(OEIS065474,1932年CarlitzHeath-Brown1984),是th',尸是Feller-Tornier常數(shù)

18、.Feller-Tornier常數(shù)Feller-Tornier常數(shù)是整數(shù)=0,66：3170494Cf-ellsr-Tonlia，偶數(shù)的密度的主要因素冏與。I>】在他們的質因數(shù)分解。它是由(9)(10),幽數(shù)和在哪里接管嗎質數(shù)是一個泛化的黎曼工函數(shù)(OEIS065493),P上是。它可以由之和NPW+exp工teller-T<>iirc給出了15(11)(12)在哪里尸S)是幽數(shù).,幽數(shù)國ReMlraF(zM/之|,演數(shù)在復平面上面了?？偫恚ê瘮?shù)可以表達的黎曼（函數(shù)通過反相然后給inM(*州i科恩(FrobergGlaisher1891年,1891年,2000年)。,健數(shù)的實

19、現(xiàn)Wolfram語言作為PrimeZetaPs。2D的模擬調和級數(shù)發(fā)散,但級數(shù)的收斂性n>1是二次。然而，放棄最初的總和的術語F（1）1（和添加Euler-Mascheroni常數(shù)¥使簡單的結果）莫頓常數(shù)InKWlm=0261497212S(6)(8)(9)(10)(11)(12)（OEI8077761）.阿廷是常數(shù)GvtlL是與尸S）通過(13)在哪里口是一個盧卡斯數(shù)量（Ribenboim1998,村莊和Sebah）。的值0朦初幾個整數(shù)內從兩個在下表中給出。給60位值2名汽MS.梅里菲爾德（1881）計算產(chǎn)5>為凡35至I15位數(shù),Lienard（1948）計算2加）到

20、總三1的50位（Ribenboim1996）。村莊和Sebahn斯隆F(n)2A0855480.4522473A0855410.1747634A0859640.07699315A0859650.0357556A0859660.01707017A0859670.008283838A0859680.00406141910A0859690.002004470.000993604根據(jù)Froberg（1968）,很少有人了解的根源尸性）。上面的情節(jié)顯示0的位置（圖左）和輪廓的零實數(shù)（紅色）和虛數(shù)部分（藍色）在復平面的一部分，與根表示黑點（圖）。權力權力是一個給定數(shù)量的指數(shù)。表達式-因此被稱為，到門權力。

21、”的權力工上面繪制（cfo2004年德比郡，頁。68年和73年）?？赡苁且粋€整數(shù)，實數(shù)，或復數(shù)。然而，一個實數(shù)的力量非整型權力本身不一定是一個實數(shù)。例如，/也是真正的只工三口.0.50走上權力之外的數(shù)量定義為L.51,它遵循的限制=If10這一事實的收斂曲線所示（1）左二0在上面的圖中，顯示了/為口,0.4,2.Qo它也可以更直觀地指出多次服用平方根的數(shù)量1為越來越小的數(shù)字方法之一，而做同樣的0和1之間的數(shù)字給數(shù)字越來越大，方法。為門根,采取的總功率2",接近0"大，給=1在極限，t#況下戶很大。（零次）本身是未定義的。缺乏明確的意義的這個量是相互矛盾的事實小都是1,所以呢

22、G"應該等于1,但伊總是0?？冢?所以那應該等于0。定義的選擇00通常定義是什么不確定的，雖然定義（P=1允許一些公式表達只是（KnuthKnuth1992;1992年,p.57）。第一個力量是，根據(jù)定義，等于本身，也就是說，F(xiàn)-工同樣的，對于任何復數(shù)事因此，令人印象深刻的柯克船長（威廉夏特納）能夠檢測一個心跳星際飛船上企業(yè)比可以通過放大一個聽覺傳感器占加劇的因素“1的四次方”第一季星際迷航集“軍事法庭”（1967）的規(guī)則包含權力被稱為結合量的導數(shù)的工”是由指數(shù)法，提高基地的過程被稱為一個給定的力量求嘉.聞R11二=az和不定積分通過-+CJf+1In*土C的定積分為上真正的被稱為C

23、avalieri的求積公式，是由F41n+1陪)iMJi*-1ibrji=-1.(6)而簡單的方程/=J£不能被解決x使用傳統(tǒng)的基本功能，解決方案可以得到的蘭伯特W-function作為Ln在哪里1n心是自然對數(shù)的0.同樣，解決可以解決的期而言，S使用蘭伯特W-function。在特殊的情況下&=工,除了解決方案a=2和=A第三個解決方案_妹（一苧）(8)(9)1112=-Q.766664696（OEI8073084）.特別的名字給在下表中列出了各種權力。(10)(11)權力的名字一1互惠1/2平方根IfJ立方根1恒等函數(shù)2的平方3立方表達式的形式才被稱為電力塔.最大的權力和

24、這數(shù)字總=1、2、3、可以在表單嗎凡="1,1,1、2、1、1、1、3、2、1（OEIA052409），相應的值1ff由1、2、3、2,5,6,7,2,3,（OEIS2410）.雙二項給出了嘉函數(shù)如下所示(12)(13)右加川心1=1jr=I（英國麥克米倫，珀耳斯。通訊，2007年11月14日）的權力和的第一個e正整數(shù)是由Faulhaber的公式，爐一4BJn+1JI£11t=l在哪里品是克羅內克符號A比）是一個二項式系數(shù),&是一個伯努利數(shù).讓與是最大的整數(shù)那不是總和不同的nth的權力積極的整數(shù)（1994人）。第一個彳1»'=2,3,128,127

25、58,5134240,128,（OAC01661）.加泰羅尼亞的猜想（現(xiàn)在一個定理）指出,8和9（如和34是唯一連續(xù)權力（包括0和1）,即，唯一的解決方案加泰羅尼亞的丟番圖問題。此外，Hyyr?和馬克維斯奇證明不存在連續(xù)三大國（Ribenboim1996）。很少的數(shù)量的形式屋上1是,（綜合能力產(chǎn)左力不需要考慮，因為尸仝±1）。唯一的質數(shù)的形式八1為.e中和'尹對應于天=2和梅森素數(shù)也就是說，2工二3，爐-1二7,2'=1=31,.其他數(shù)字的形式一-1平等的仇一】）渡空=0制？。唯一的莖鰲的形式/+1為摩£弋和'P對應于p=21與m=1、2、4、6、1

26、0、14、16、20、24、26日（OEA005574）。其他數(shù)字的形式/+1平等的值*）其二=£»1件F.沒有重要的方程的解決方案I；-:I：（14）為m式1那0°0al"（1994,p.153）OCavalieri的求積公式的定積分在哪里。，切式是真實的數(shù)字和而fl#1for-1T加.是自然對數(shù).Faulhaber的公式在1631年版的AcademiaeAlgebrae,j.Faulhaber發(fā)表的一般公式權力和的第一個小正整數(shù),(6)(8)(9)(10)(11)(12)1沿>”平人.ln在哪里用J是一個廣義的諧波數(shù)，；是克羅內克符號,1打是一

27、個二項式系數(shù)用工是th伯努利數(shù).計算的金額/工L,10,F='jj44-2/134-djk=IidMFr=(ti415+1。/-m30'1R=-k=(6+21+21n57ji3+n)h=L>#=L4/t/2/)2A1#1=1JiXk*二點(10n9+45n1+60n7-42J+20nJ-3n)kMI咨=(210+1Dn9+15-14n6+10-3n2)匚30</k=I.苫針=(6/33感55/-66*66/-33/*3噸k二I參見：諧波數(shù)諧波的定義數(shù)字也可以擴展到復雜的平面，正如上文所述根據(jù)他們的定義，諧波數(shù)據(jù)滿足明顯遞歸方程1n與.分母的氏似乎永遠是質數(shù)除了砧3/

28、2。止匕外，分母從來都不是原動力(這種情況下除外，因為分母總是整除2小于或等于最大的力量”,也是任何p與k/ZMpM忤諧波的數(shù)字實現(xiàn)HarmonicNumbern。的值一這樣凡等于或超過1,2,3,給出1,4,11日,31日,83年,227年,616年,1674年(OEAD04080)。另一個有趣的序列項的數(shù)量簡單連分數(shù)的日1酬為值=。，1、2、由18,68,834,8356,84548,841817,8425934,84277586,(OEI091590)，這是推測的方法=0.8427659皿(OEISA089729).KlTBOl由e.w.Weisstein（2009最初幾個指標內這樣分子

29、的田主要是由2、3、5、8、9日,21日,26日,41歲,56歲,62年,69年(OEAD56903)。尋找主要是分子已經(jīng)完成年5月13日)，和下表總結了最大的已知值。Re此Im田wxnemaert102D30405口"諧波數(shù)數(shù)字的形式昌(1Lk因截斷而和級數(shù)。諧波數(shù)量可以表達分析小h一k:卜3在哪里了是Euler-Mascheroni常數(shù)和3(r)=收)!是雙函數(shù).最初的幾個諧波數(shù)據(jù)及1,3J2,11/6,25/12,137/60,(OEA001008和A002805)o數(shù)字的分子的數(shù)量引1為界=。,1,1,4,41歲,434,4346,43451,434111,4342303,4

30、3428680,(OA1S4467)，相應數(shù)量的數(shù)字在分母上1,4,40,433,4345,43450,434110,4342302,43428678,(OEIS4468)。這些數(shù)字收斂的小數(shù)位數(shù)似乎是什么.-.(OEISA002285).1Q0Rr附n小數(shù)位數(shù)發(fā)現(xiàn)者63942年27795年e.w.Weisstein（2007年2月14日）69294年30067年e.w.Weisstein（2008年2月1日）69927年30301年e.w.Weisstein（2008年3月11日）77449年33616年e.w.Weisstein（2009年4月4日）78128年33928年e.w.Weis

31、stein（2009年4月9日）78993年34296年e.w.Weisstein（2009年4月17日）81658年35479年e.w.Weisstein（5月12日,2009）(6)21r二Za.-1.:''I旺z=k=l(8)(9)(10)(11)采取交替形成的數(shù)量總和的跡象也有一個明確的解析形式=由24)爐|5曲放月*1)Hi特別美麗的形式嗎(12)諧波數(shù)凡從來都不是一個整數(shù)除了E1,這可以證明通過使用強大的三角不等式證明2-adic價值的氏大于1丑A1。事實證明這個結果是在1915年由Taeisinger任意數(shù)量的連續(xù)條件的更一般的結果不一定從1開始從來沒有和一個整數(shù)

32、被K?rschak證明1918年(霍夫曼1998年,p.1998)。諧波數(shù)量奇怪的是分子和甚至分母。的nth諧波數(shù)量給出漸近封.門，:一',-*n:飛-；.(13)金HL出LXUgir在哪里?是Euler-Mascheroni常數(shù)(康威和蓋1996;Havil1996,pp。79年和89年)，一般的地方Q冷屆任期乂1-Zh),給12,120,252,240,為0=1,2,(OEAD06953)。這個公式的特例Euler-Maclaurin積分公式(Havil2003,p.2003)。(14)(15)不平等的邊界為包括11Ijr;丁C珥一In也一2(it132n(年輕Havil1991;

33、1991年，頁73-75)1一”1-InIn+-)-y<-24(ji+1?,承-241rl(DeTempleHavil1991;1991年，頁1991-78)。一個有趣的分析和給出了Borwein和Borwein(1995)顯示Coffman(1987)。*e咀Hi"ifJQ=3欠5)二擊/7%吐在哪里在謔黎曼工函數(shù)。第一個被德Doelder以前派生(1991)，和第三哥德巴赫在標識的推論:f,匹怏皿G械赳=代®=告#(16)(17)(18)(19)(20)(21)1742年寫給歐拉(Borwein和貝利2003年，頁99-100，貝利etal.2007,p.256)

34、。這些身份(22)(23)(24)(25)(Borwein和Borwein1995)。由于歐拉是額外的身份二nTnnn%下二砧手,pijh-2*=】IHsfl為jh=2,3,(Borwein口Borwein1995)6是摹仿的常數(shù)。這些所謂的相關歐拉金額.由于b.Cloitre(per一般的身份。通訊，2006年1月7日)腐Hi(nt-1)1(ro-iy*在哪里&%是一個Pochhammer象征.高斯伯給了有趣的身丁j!-tr."77TJJU!1二(26)(27)=In?+r（0t?）在哪里r（0二談不完整的丫函藪和y是Euler-Mascheroni常數(shù).g.Huvent（

35、2002）發(fā)現(xiàn)了美麗的公式162(-ir+iMrt17芻”=In4(28)一個美麗的雙系列是由I)k=Li=J(29)=-4f2)-2<(3)+4f(2)<3)+2f(5)(貝利etal.2007年，頁273-274)。另一個雙總和是江？廠圖（；）=£（：）(30)為】WmSondow2003,2003）。有一個意想不到的諧波數(shù)和之間的聯(lián)系黎曼假設.廣義諧波數(shù)據(jù)r可以定義的關系出£3is.在哪里晶這些數(shù)量是實現(xiàn)HarmonicNumber（n,r）。分子的特殊情況”月上被稱為五星行數(shù)字.b.Cloitre（per。通信技術），給了驚人的身份(31)(32)(33

36、)這與為上無限期版本的一個著名的系列f.為奇數(shù)二，這些顯式形式(34)咽才（n）在哪里科加短多函數(shù)，值是丫函數(shù)，jg是黎曼函數(shù).二指標諧波數(shù)據(jù)滿足身份(35)-"Mj一里3（p.西蒙，珀耳斯。通訊，8月30日，2004）。的廣義諧波數(shù)據(jù)句f包括Lirfe)(36)為團<1,在那里14jfU諜一個polylogarithm,(37)=-Li(38)(39)口z與r爐i=I半慢k-I4必1=1(40)(41)(42)方程（衛(wèi)）,（38）,（電）和（41由于b.Cloitre（per）。通訊,2004年10月4日）Li工便）是一個dilogarithm。一般來說，«拓工(4

37、3)£二=”;漸中（?力i=i（p.西蒙，珀耳斯。通訊。6月2日,2003）。電力諧波數(shù)據(jù)也遵守意想不到的身份9-19+10,+風上H、一明工(44)-外兄4跖口上十.的z用口上=。（m.Trottper。通訊）。p西蒙（per。通訊,2004年8月30日）顯示e01480產(chǎn)=/部：/©口-1(45)*2Z(JH=在哪里cosinr)(46)12J1(47)Zmbif)這給特殊的結果,rrIj1也心211fl*+由TJc為.，分別?？低蜕w（1996）定義的二階諧波數(shù)量=附u-D=伽=即三階諧波數(shù)量砂=£砂鼻和郵介諧波數(shù)由1砂=-37720兩個索引的定義略有不同諧

38、波數(shù)國,是由羅馬（1992年）的嗎諧波對數(shù)。羅馬（1992）定義的心1K(0；.|-1_/一(0fbr門V。fory=0forjtn加上遞歸關系型口產(chǎn)T斗用型T對于一般n。和研這是等價的和，：，它簡化了TO(-1),為nV0可以寫，諧波數(shù)型"f-卬MIff（-w*我在哪里|值!是羅馬！和不是一個斯特靈第一種的數(shù)量.一個單血勺類型的激鬢有時也稱為諧波數(shù)”諧波因子數(shù)量（或礦石數(shù)量）。(49)(50)(51)(52)(53)(54)(55)(56)(57)(58)(59)(60)(61)吐QT行2h.tuu.u03&55bl2070OOQ-口Au口o-o-o復數(shù)求募一個復數(shù)可以被帶

39、到另一個的力量嗎復數(shù)。特別是復雜的求嘉滿足3+h（1客/獨播處一頻駕在哪里irg度）是復雜的爭論。書面明確實部和虛部，口”0c團二（東）屏片-f1fBM的武coscarg（j+ij&）+a14狩）sin卜argyi方）+|Mln（d2+給出一個明確的例子復雜的求嘉（1+Q=萬羽7曲cm0冗+i1112H才山12）.一個復數(shù)可以真正的帶到一個復數(shù)。事實上，著名的例子/-g聯(lián)顯示純虛的力量取寸自己是真實的。窗體頂端窗體底端(6)(8)01。州町犯鐘事實上，有一個家庭的價值觀光這樣aw是真實的，我們可以看到通過編寫(f沖此一把'工1cMaIn知酢sin慎In期.這將是真實的時候，即，

40、因為knk=為/1L個整數(shù)。積極",這給根除或靛更償仞©1t在哪里w卜通蘭伯特W-function。為mA1這簡化了AJI品=wd為n=1,2,這些數(shù)值1,2.92606(OEISA088928),4.30453,5.51798,4.30453,5.51798,.參見：常用對數(shù)I腿ioOt窗體頂端10最小值馬克斯FwOmtaika窗體底端的常用對數(shù)對數(shù)來基地10O的符號kjgN被物理學家、工程師、計算機鍵盤常用對數(shù)表示。然而，數(shù)學家們普遍使用相同的符號來表示自然對數(shù)1nm1。更糟的是，在俄國文學符號也不用蔡條一個八進制數(shù)數(shù)對數(shù)，沖突使用的象征g表明以2為底的對數(shù)。為了避免模

41、棱兩可，最好是顯式地指定。11口戈當以10為底的對數(shù)是目的。在這工作,匕取=】叫gX,lnA=工用于自然對數(shù)屈上三帖取使用對數(shù)的嗎基地2。In二In2,情況更加復雜，許多理論家(如。Ivi?2003遁常使用的符號。£應來表示的嵌套的自然對數(shù)一1一的常用對數(shù)的實現(xiàn)Wolfram語言作為日志10x和Log10x。哈代和賴特(1979,p.8)斷言，常用對數(shù)mb沒有數(shù)學的興趣?！逼胀ǖ淖匀粚?shù)可以表示對方,喻工Inj；=和Imilorin(r)|Ilogin!J|ReflogiofI'常用對數(shù)擴展到復平面上面的說明。自然對數(shù)Injt5I6gDOWNLOAD.tXKORlTUSlOW

42、ClN自然對數(shù)值x是對數(shù)有基礎e,在那里g=271828182&這個函數(shù)可以定義這個定義意味著e獨特的數(shù)量與區(qū)域的面積有限的財產(chǎn)嗎雙曲線/-1/j，軸垂直的線菖=1和方=1r是1。換句話說，/*dxI=lne=1.J期的符號n用于物理和工程自然對數(shù)來表示，而數(shù)學家通常使用的符號log叉。在這工作，山工=1口人工代表一個自然對數(shù)，而心昌工1口麻（工表示也竺.有很多常用的符號約定的跡象的自然對數(shù)。而一些作者使用普通的自然對數(shù)可以表示對方In*:（即。使用三角函數(shù)公約，這也是常見的寫作曲）.InxlORio-v=山IO自然對數(shù)尤其有用微積分因為它的導數(shù)是由簡單的方程41也慝=一dxJt而在其

43、他基地對數(shù)的更加復雜導數(shù)(6)-1-uS1可以分析繼續(xù)自然對數(shù)復數(shù)作為ln=luM->iateH一在哪里工.是復雜的模量和好且0是復雜的爭論。自然對數(shù)多值函數(shù)因此需要一個分支切割在復平面,Wolfram語言大會的地方E,3.(8)IIIrMi201.010ft0“窗體頂端RcInrl窗體底端的主值的自然對數(shù)的實現(xiàn)Wolfram語言作為日志x,相當于旦在（E（x）o這個函數(shù)是復平面的上方。請注意，逆三角和反雙曲函數(shù)可以表示（事實上，通常定義）的自然對數(shù)，總結如表所示。因此，一旦這些定義達成一致，分支切割結構采用自然對數(shù)修正這些函數(shù)的分支削減。函數(shù)象征定義逆csccsc"1r/In

44、1一/+：'1I反余弦函數(shù)DOS-1Z1；7l+rIn+'1-在InMJFj反余切cot-1r河1停)僧11反雙曲csccsch-1z/1In/1+4+i反雙曲余弦一oosh*1zInk+V呈-1Vt»*反雙曲余切一coth1z；+!1-In(L-工L/iCrt4)11反雙曲正割sechelnfh-11Wv工1J反雙曲正弦1sinh-1zIn|z+V2+11反雙曲正切一1uinh'1zKJ；In1次力=In(141f逆sec.一1see”-?F+ilB/1-=4r2w察1J反正弦1smrfip-T-i/bnc+V11逆切tan'1rjrfin(1-ir

45、i*In(1+itdl的墨卡托系列In(1+M)-JX3+；/.*給出了一個泰勒級數(shù)自然小數(shù)。連分數(shù)對數(shù)函數(shù)的表征包括Xin(1+x)=1'：(9)(10)(11)(12)(13)(14)InLnLnMm(蘭伯特1770;拉格朗日1776;1963歲,p。138;墻1948,p.342)墻(歐拉1813-1814;1948年,p.343;1963歲,p.139)。對于一個復數(shù)工自然對數(shù)滿足格=歷”伯勃力=In/4F*2相德和PVlHE)=lnr+通在哪里P爐是圭也.一些特殊的自麗嗷的值包括自然對數(shù)有時會寫成簡單”的和或差對數(shù)，例如(20)In(2+Vy)=21n(l+VI)ln2,它遵

46、循立即從身份普勞夫(2006)發(fā)現(xiàn)以下美麗的身份：(21)A1A1A1(22)In2=10J5+6/-4£7/-H+l)fl®11-1)用111)登149114FI9小)F5r>，(fig=1)3n1一41)3乙”(孑皿+1】Jf=lJl=lft=lJ(23)In3=ln5=參見:指數(shù)函數(shù)rwiT窗體頂端窗體底端最小值馬克斯9wehAiz/Aswia/rarImlrI窗體頂端I"(6)(8)(9)(10)(11)(12)窗體底端指數(shù)函數(shù)的整函數(shù)定義為exp(z)在哪里e_方程的解是什么d"這£二注二工71旦一£即。也是唯一解的方

47、程嗎4/71*/。與/0»=1.指數(shù)函痂勺實現(xiàn)Wolfram語言作為經(jīng)驗值z。它滿足身份exp小田匚exp(r)exp如果1,''IrSilly).指數(shù)函數(shù)滿足身份=ooshj+sinlixd.K)+tan(gd.<)(標*州勾1+sin(gdx)cos(gd-i)"在哪里gda,是Gudermannian(拜爾1987,p.1987;Zwillinger164,p.485)。指數(shù)函數(shù)麥克勞林級數(shù)<EWiu-呻gXk和滿足限制"上exp(x)=lim1+-1.如果a-FA/=然后In<besctanH=In«0secUn

48、指數(shù)函數(shù)連分數(shù)1窗體頂端最小值馬克斯再保險001-p即時通訊|0.01|-窗體底端tI-上面的圖顯示了函數(shù)N.Trott（2004年，第166-165頁）。指數(shù)函數(shù)包括積分dt-2?r(15)(16)(Borweinetal.2004年,55頁)。參見*>2ss鼠；限/強stI：?；和是1。換句話說,J*dx,二hr=11,Jix可能是個例外冗,強學是最重要的常數(shù)，因為它出現(xiàn)在無數(shù)的數(shù)學背景涉及限制和衍生品。的數(shù)值口是e=2J1828182S459045235360287471352662497757.(OEI8001113).與;I=ST給美麗的身份產(chǎn)+l0.一個方程連接的基本數(shù)據(jù)毯也

49、產(chǎn)1和0(查平等()和涉及的基本操作二),選工(+),重走(算),主曼.一個嵌套系列邙；以通過重寫系列(2嚴作為(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)2.6/2,4JI2.250Too1501.s?？梢远x的必/TVe=lim14-JTJ(見上圖，或由無窮級數(shù)首次出版的牛頓(1669;1968年懷特塞德轉載,p.225)o。是由不尋常的限制(n41產(chǎn)”H1Lim1M«M值.1廣!(兄弟和諾克斯1998)。歐拉(1737;Sandifer2006)證明是非理性的通過證明有一個無限的簡單連分數(shù)(a*2*1tlzLL&h1,6旬Nagell1951)，劉維爾在1844年證明了e不滿足任何二次方程與整體系數(shù)(即。，如果是代數(shù)，它必須代數(shù)的程度大于2)。埃爾米特后來解決了問題，證明二是先驗的在1873年。然而，出是至少"先驗，不合理措施.Sondow(2006)證明環(huán)合理使用建設上作為一個嵌套的十字路口的關閉時間間隔序列。這種方法還提供了一個非理性的Smarandache函數(shù)(這里表示為Sg)而不是傳統(tǒng)的口加)為了避免混亂的不合理措施通過展示，如果尸和勺是任何整數(shù)41,然后卜一如的磊？(6)現(xiàn)在還不知道需*；喊叫F是非理性的。眾所周知，褥+p和JF內不滿足任何多項式度方