1、四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.158有一個(gè)約束條件的條件極值有一個(gè)約束條件的條件極值推導(dǎo)三元函數(shù)在一個(gè)約束條件推導(dǎo)三元函數(shù)在一個(gè)約束條件下取得極值的必要條件下取得極值的必要條件四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.158設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) u=f(x,y,z) 在點(diǎn)在點(diǎn) (x, y, z) 處取得滿足約處取得滿足約束條件束條件 的極值。的極值。由隱函數(shù)知識(shí)，該約束條件的方程可以確定由隱函數(shù)知識(shí)，該約束條件的方程可以確定一個(gè)二元函數(shù)一個(gè)二元函數(shù) z=z(x, y)。將這個(gè)二元函數(shù)代。將這個(gè)二元函數(shù)代入目標(biāo)函數(shù)，則二元函數(shù)入

2、目標(biāo)函數(shù)，則二元函數(shù)u=f(x, y, z(x, y)=u(x, y) 在點(diǎn)在點(diǎn) (x, y) 處取得極值。由二元函數(shù)極值的處取得極值。由二元函數(shù)極值的必要條件，必要條件，( , , )0 x y z0(1)xzuzffxx0(2)yzuzffyy四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.158另一方面，將二元函數(shù)另一方面，將二元函數(shù) z=z(x, y)代入約束條代入約束條件方程，得恒等式：件方程，得恒等式：( , , ( , )0 x y z x y以上等式兩端分別對(duì)以上等式兩端分別對(duì) x和和y 求偏導(dǎo)數(shù)，得求偏導(dǎo)數(shù)，得0(3)xzzx0(4)yzzy四川大學(xué)

3、數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.158由由 (1), (2), (3), (4) 式得式得由此得到：由此得到：xxzzfzfx yyzzfzfy yxzxyzfff即兩個(gè)梯度即兩個(gè)梯度 和和在取得條件極值的點(diǎn)處平行。在取得條件極值的點(diǎn)處平行。這就是函數(shù)這就是函數(shù) u=f(x,y,z) 在在 (x,y,z) 處取得滿足約處取得滿足約束條件的極值的必要條件。束條件的極值的必要條件。,xyzffff ,xyz 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛30 March 2012Santa II, p.158約束條件約束條件 ( , , )uf x y z函數(shù)函數(shù) 取得滿足取得滿足( , , )0 x y z/f的極值的必要條件是：的極值的必要條件是：命題命題yxzxyzfff即即四川大學(xué)數(shù)