1、2.2 2.2 函數(shù)奇偶性函數(shù)奇偶性 (1)如果對于函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)定義域內(nèi)任意任意一個一個x，都有，都有_，那么函數(shù)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)就叫做偶函數(shù).1.1.函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性 如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么我們就說函是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么我們就說函數(shù)數(shù)f(x)具有具有_. (2)如果對于函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)定義域內(nèi)任意任意一個一個x，都有，都有_，那么函數(shù)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)就叫做奇函數(shù).f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)奇偶性奇偶性注：注：如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，那么既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，

2、那么函數(shù)函數(shù)f(x)=_. 0 一般地，偶函數(shù)的圖象關(guān)于一般地，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸軸對稱，對稱，反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸軸對稱，那么對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)這個函數(shù)是偶函數(shù) ； 2.2.奇偶性的函數(shù)圖象特點奇偶性的函數(shù)圖象特點 奇函數(shù)的圖象關(guān)于奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點原點對稱，對稱，反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點原點對稱，那么對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；這個函數(shù)是奇函數(shù)； (2)利用函數(shù)的圖象判定利用函數(shù)的圖象判定. 3.3.函數(shù)奇偶性的判定函數(shù)奇偶性的判定 (1)根據(jù)定義判定，首先看函數(shù)的定義域是否根據(jù)定義判定，首先看

3、函數(shù)的定義域是否關(guān)于關(guān)于原點對稱原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù). 若對稱，再判定若對稱，再判定f(-x)=f(x)或或f(-x)=-f(x). 例例1 判斷下列各函數(shù)的奇偶性：判斷下列各函數(shù)的奇偶性：2(1)()1xxfxx21(2)()33xfxx例例1 判斷下列各函數(shù)的奇偶性：判斷下列各函數(shù)的奇偶性：2(1)()1xxfxx解析：解析：原函數(shù)的定義域為原函數(shù)的定義域為x|x1當(dāng)當(dāng)x=- -1時，時，- -x=1不在定義域內(nèi)，不在定義域內(nèi)，f(x)不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).或者說：定義或者說：定義域不關(guān)于原點域不關(guān)于原點對稱對稱.所以

4、原函數(shù)的定義域為所以原函數(shù)的定義域為21(2)()33xfxx解析：解析： 依題意得依題意得210330 xx得得01x10 x或或2211()33xxfxxx21()()()xfxfxx 1, 0)(0,1故原函數(shù)為奇函數(shù)故原函數(shù)為奇函數(shù).練習(xí)練習(xí)1 判斷下列各函數(shù)的奇偶性：判斷下列各函數(shù)的奇偶性：解析：解析：原函數(shù)的定義域為原函數(shù)的定義域為R.f(- -x)=|- -x+2|+|- -x- -2|=|x- -2|+|x+2|=f(x)f(x) 是偶函數(shù)是偶函數(shù).(1)f(x)=|x+2|+|x- -2|例例2 已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)對一切實數(shù)對一切實數(shù)x，y，都有，都有 f(x+y)=f

5、(x)+f(y)，（1）求證：）求證： f(x)是奇函數(shù)；是奇函數(shù)；（2）若）若f(- -3)=a，用，用a表示表示f(12).(1)證明證明：顯然原函數(shù)的定義域是：顯然原函數(shù)的定義域是R. .在在f(x+y)=f(x)+f(y)中，中，令令y=- -x，得，得f(0)=f(x)+f (- -x).令令x = y=0 ，得，得f(0)=f(0)+f (0)， f(0)=0 f(x)+f (- -x) =0 ，即，即f (- -x) = - -f(x) ， f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù)(2)解解： f(- -3)=a， f(12)=2f(6)=4f(3)=- -4f(- -3)=- -4a.例例3

6、已知函數(shù)已知函數(shù)是奇函數(shù)，求實數(shù)是奇函數(shù)，求實數(shù)a的值的值.(21)2( )21xxaf x解析：解析： 顯然顯然0在原函數(shù)的定義域內(nèi)，在原函數(shù)的定義域內(nèi)， 00(21)2(0)0,21af得得a=1.經(jīng)檢驗，當(dāng)經(jīng)檢驗，當(dāng)a=1時原函數(shù)為奇函數(shù)時原函數(shù)為奇函數(shù).注：注：若若0在奇函數(shù)的定義域內(nèi)，則必有在奇函數(shù)的定義域內(nèi)，則必有f(0)=0.練習(xí)練習(xí)2 已知函數(shù)已知函數(shù)是奇函數(shù)，求實數(shù)是奇函數(shù)，求實數(shù)m的值的值.22( )1xmf xxm=2例例4 已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=ax2+bx+c (2a3x1)是偶函數(shù)，求實數(shù)是偶函數(shù)，求實數(shù)a和和b的值的值.解析：解析： 依題意得依題意得 f(-

7、 -x)=f(x)，即，即 a(- -x)2- -bx+c=ax2+ +bx+cb=- -b=0而而(2a- -3)+1=0a=1.為什么？為什么？注：注：360P？故故a=1，b=0.例例5 已知奇函數(shù)已知奇函數(shù)f(x)是定義在是定義在(- -1,1)上的增函數(shù)，上的增函數(shù)，試求解關(guān)于試求解關(guān)于a的不等式的不等式 f(a- -2)+ f(a2- -4)0.解析：解析： 由已知得由已知得 f(a- -2)- - f(a2- -4) f(x)是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，- - f(a2- -4)= f(4- -a2)， f(a- -2) f(4- -a2).又又f(x)是定義在是定義在(- -1,1)上的增函數(shù)，從而上的增函數(shù)，從而2224121141aaaa 32a解得解得即不等式的解集為即不