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1、常微分方程模擬試題一、填空題(每小題3分,本題共15分) 1一階微分方程的通解的圖像是 2 維空間上的一族曲線 2二階線性齊次微分方程的兩個解為方程的基本解組充分必要條件是 3方程的基本解組是 4一個不可延展解的存在在區(qū)間一定是 區(qū)間 5方程的常數(shù)解是 二、單項選擇題(每小題3分,本題共15分) 6方程滿足初值問題解存在且唯一定理條件的區(qū)域是( )(A)上半平面 (B)xoy平面 (C)下半平面 (D)除y軸外的全平面 7. 方程( )奇解(A)有一個 (B)有兩個 (C)無 (D)有無數(shù)個 8連續(xù)可微是保證方程解存在且唯一的( )條件 (A)必要 (B)充分 (C)充分必要 (D)必要非充分
2、 9二階線性非齊次微分方程的所有解( ) (A)構成一個2維線性空間 (B)構成一個3維線性空間 (C)不能構成一個線性空間 (D)構成一個無限維線性空間 10方程過點(0, 0)有( B)(A) 無數(shù)個解(B) 只有一個解 (C) 只有兩個解(D) 只有三個解三、計算題(每小題分,本題共30分) 求下列方程的通解或通積分: 11. 12. 13. 14 15四、計算題(每小題10分,本題共20分) 16求方程的通解 17求下列方程組的通解 五、證明題(每小題10分,本題共20分) 18設在上連續(xù),且,求證:方程的一切解,均有 19在方程中,在上連續(xù),求證:若恒不為零,則該方程的任一基本解組的
3、朗斯基行列式是上的嚴格單調(diào)函數(shù)常微分方程模擬試題參考答案 一、填空題(每小題3分,本題共15分) 12 2線性無關(或:它們的朗斯基行列式不等于零)3 4開 5 二、單項選擇題(每小題3分,本題共15分) 6D 7C 8B 9C 10A 三、計算題(每小題分,本題共30分)11解: 為常數(shù)解 (1分) 當,時,分離變量取不定積分,得 (3分) 通積分為 (6分)注:包含在常數(shù)解中,當時就是常數(shù)解,因此常數(shù)解可以不專門列出。 13解: 方程兩端同乘以,得 (1分) 令 ,則,代入上式,得 (3分)這是一階線形微分方程,對應一階線形齊次方程的通解為 (4分)利用常數(shù)變易法可得到一階線形微分方程的通
4、解為 (5分) 因此原方程通解為 (6分) 14解: 因為,所以原方程是全微分方程 (2分) 取,原方程的通積分為 (4分)計算得 (6分) 15解: 原方程是克萊洛方程,通解為 (6分) 四、計算題(每小題10分,本題共20分)16解: 對應齊次方程的特征方程為, (1分)特征根為, (2分)齊次方程的通解為 (4分) 因為是特征根。所以,設非齊次方程的特解為 (6分) 代入原方程,比較系數(shù)確定出 , (9分) 原方程的通解為 (10分)17解: 齊次方程的特征方程為 (1分)特征根為 (2分)求得特征向量為 (3分)因此齊次方程的通解為 (4分) 令非齊次方程特解為 (5分)滿足 (6分)解得 (8分)積分,得 , (9分)通解為 (10分) 五、證明題(每小題10分,本題共20分) 18證明: 設是方程任一解,滿足,該解的表達式為 (4分) 取極限 = (10分) 19證明: 設,是方程的基本解組
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