1、第四章 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 問(wèn)題、目的、實(shí)際意義 設(shè)為隨機(jī)變量,它的概率分布(分布函數(shù),分布律或概率密度)已知,為連續(xù)函數(shù),則為隨機(jī)變量,如何確定的概率分布; 設(shè)為二維隨機(jī)變量,它的概率分布已知,為連續(xù)函數(shù),則為隨機(jī)變量,如何確定的概率分布;這是在實(shí)際和理論中既普遍又重要的一類問(wèn)題.例如在無(wú)線電接收中,某時(shí)刻接收到的信號(hào)是一個(gè)隨機(jī)變量,那么把這個(gè)信號(hào)通過(guò)平方檢波器輸出的信號(hào)為,這時(shí)就需要根據(jù)的分布來(lái)求的分布.又如在統(tǒng)計(jì)物理中,已知分子運(yùn)動(dòng)速度的絕對(duì)值之分布,要求其動(dòng)能的分布.再如火炮射擊平面上的目標(biāo)0時(shí),已知彈著點(diǎn)的分布,要求彈著點(diǎn)到目標(biāo)0的距離的分布等等.本章只討論一維與二維的的離散型和連

2、續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布.第一節(jié) 離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布實(shí)例 測(cè)量一個(gè)正方形的邊長(zhǎng),其結(jié)果是一個(gè)隨機(jī)變量(為簡(jiǎn)單起見(jiàn)把它看成是離散型的).的分布律為 91011120.20.30.40.1求周長(zhǎng)和面積的分布律.解 根據(jù)題意, , 的分布律為364044480.20.30.40.1的分布律為811001211440.20.30.40.1 例1 已知隨機(jī)變量的分布律為012 試求:(1);(2) 的分布律.解 (方法步驟,列表代入計(jì)算復(fù)合函數(shù)值)0-103-1135-1012 (1) 的分布律為-1135(2) 的分布律為-103一般地,有如下定理:定理 設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為 , (1)

3、若對(duì)于的不同取值,的取值也不同,則隨機(jī)變量的分布律為 , (2)如果對(duì)于的有限個(gè)或可列無(wú)窮多個(gè)不同的取值有則有 .二維離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布律 實(shí)例 一個(gè)儀器由兩個(gè)主要部件組成,其總長(zhǎng)度為此二部件長(zhǎng)度的和,這兩個(gè)部件的長(zhǎng)度和為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,其分布律如表,X91011P0.30.50.2 Y67P0.40.6求此儀器長(zhǎng)度的分布律.解 根據(jù)題意, ;列表計(jì)算Z=X+Y151616171718(X,Y)(9,6)(9,7)(10,6)(10,7)(11,6)(11,7) P0.120.180.20.30.080.12的分布律.Z15161718P0.120.380.380.12 定理

4、設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的分布律為 , (1)若對(duì)于的不同取值，的取值也不相同，則隨機(jī)變量的分布律為 , (2) 如果對(duì)于的有限對(duì)或可列無(wú)窮對(duì)不同的取值,取相同的值, ,則 .例2 已知二維隨機(jī)變量的分布律 YX012-10.10.20.120.20.10.3 試求:(1); (2) ;(3)的分布律.解 (將的取值對(duì)列出,計(jì)算函數(shù)值,合并相同的值)列表max(X,Y)012222XY+110-11352X+Y-2-10456(X,Y)(-1,0)(-1,1)(-1,2)(2,0)(2,1)(2,2)P0.10.20.10.20.10.3 從而得所求分布律為(1)2X+Y-2-10456P0.10

5、.20.10.20.10.3(2)XY+1-10135P0.10.20.1+0.2=0.30.10.3(3)max(X,Y)012P0.10.20.7例3 設(shè),且相互獨(dú)立,試證 . 證明 由已知條件,由于,由互不相容事件概率的可加性和隨機(jī)變量的獨(dú)立性得 ,故由泊松分布定義知 .例4 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立且服從相同的(01)分布,即,.令 ,試分別求和的分布律.解 根據(jù)題意和題設(shè)條件知,的值為(1,0),(1,1),(0,0),(0.1);的可能取值為:2,1,0,-1; , , , , ,于是的分布律為-1012, ,于是的分布律為01第二節(jié) 一維連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例1 設(shè)對(duì)球的直徑進(jìn)行

6、測(cè)量，測(cè)量值在區(qū)間上服從均勻分布，試求球體體積的概率密度. 解 隨機(jī)變量的概率密度 ,分布函數(shù);隨機(jī)變量的分布函數(shù), , 的概率密度 .其中為的反函數(shù). 例2 由統(tǒng)計(jì)物理學(xué)知道,氣體分子運(yùn)動(dòng)速度的絕對(duì)值服從馬克斯威爾分布,即其概率密度為 ,其中參數(shù),試求分子運(yùn)動(dòng)動(dòng)能的概率密度.解 的分布函數(shù) ,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí), , ,于是的概率密度 .將例1,例2的解法一般化,我們有如下定理. 定理一 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為,函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào),其反函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為 ,其中為的值域.(證明見(jiàn)書(shū))該定理從理論上對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了徹底解決,實(shí)際做題時(shí)可套用,也可以按其證明的方法進(jìn)

7、行做題,而不必記此公式. 求隨機(jī)變量的函數(shù)的概率密度的一般方法:先求的分布函數(shù),然后對(duì)求導(dǎo)數(shù)得到概率密度.這種方法不僅適用于求一維隨機(jī)變量的函數(shù)的概率密度.而且也適用于求二維或更多維的隨機(jī)變量的函數(shù)的概率密度.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為,函數(shù)(一般函數(shù)),記 ,求隨機(jī)變量的分布函數(shù),求導(dǎo)數(shù)得到概率密度. 一般方法如下: , .例3 設(shè),試求(為常數(shù),且)的概率密度. 解 由題設(shè)條件, 的概率密度為 , , 先求分布函數(shù)(1) 若,則 ,于是, ;(2) 若,則,于是, ,從而得的概率密度,由正態(tài)分布的定義,可見(jiàn) ,特別當(dāng)時(shí),即服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. (這個(gè)結(jié)論很有用). 例4 設(shè)隨機(jī)變量在上服從均勻分布,試求的概率密度. 解 由題設(shè)條件, 的概率密度為 ;記 ,所以, .例5設(shè)隨機(jī)變量在上服從均勻分布,試求的概率密度.解 由題設(shè)條件, 的概率密度為 ; ,(1) 當(dāng)時(shí), ;(2) 當(dāng)時(shí), ;(3) 當(dāng)時(shí), ;(4) 當(dāng) 時(shí), , 此時(shí) 所以 .例6 若氣體分子的速度是隨機(jī)向量,各分量相互獨(dú)立,且均服從,試證服從馬克斯威爾分布 . 證明 由題設(shè)條件, 的概率密度分別為 , ; 因?yàn)橄嗷オ?dú)立,所以()的概率密度為 (1) 當(dāng)時(shí),;(2) 當(dāng)