1、北師大版同步練習(xí) 1.2 矩形的性質(zhì)與判定 一、選擇題（共8小題；共40分）1. 如圖，將矩形紙片 ABCD 沿 BE 折疊，使點(diǎn) A 落在對(duì)角線 BD 上的 A 處若 DBC=24，則 AEB 等于 A. 66B. 60C. 57D. 48 2. 四邊形 ABCD 的對(duì)角線 AC，BD 互相平分，要使它成為矩形，需要添加的條件是 A. AB=CDB. AC=BDC. AB=BCD. ACBD 3. 下列是關(guān)于某個(gè)四邊形的三個(gè)結(jié)論：它的對(duì)角線相等；它是一個(gè)正方形；它是一個(gè)矩形下列推理過(guò)程正確的是 A. 由推出，由推出B. 由推出，由推出C. 由推出，由推出D. 由推出，由推出 4. 八年級(jí)（3

2、）班同學(xué)要在廣場(chǎng)上布置一個(gè)矩形的花壇，如圖，計(jì)劃用紅花擺成兩條對(duì)角線如果一條對(duì)角線用了 49 盆紅花，那么還需要從花房運(yùn)來(lái)紅花 A. 48 盆B. 49 盆C. 50 盆D. 51 盆 5. 如圖，在 RtABC 中，ACB=90，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別是 AC，BC 的中點(diǎn)，D 是斜邊 AB 上一點(diǎn)，則添加下列條件可以使四邊形 DECF 成為矩形的是 A. ACD=BCDB. AD=BDC. CDABD. CD=AC 6. 如圖，在 ABC 中，BC=12，D，E 分別是 AB，AC 的中點(diǎn)，F(xiàn) 是 DE 上一點(diǎn)，DF=1，連接 AF，CF，若 AFC=90，則 AC 的長(zhǎng)度為 A. 10B. 1

3、2C. 13D. 14 7. 如圖，平行四邊形 ABCD 的對(duì)角線 AC，BD 交于點(diǎn) O，順次連接 ABCD 各邊中點(diǎn)得到的一個(gè)新的四邊形，如果添加下列四個(gè)條件中的一個(gè)條件：ACBD，CABO=CCBO；DAO=CBO；DAO=BAO，可以使這個(gè)新的四邊形成為矩形，那么這樣的條件個(gè)數(shù)是 A. 1 個(gè)B. 2 個(gè)C. 3 個(gè)D. 4 個(gè) 8. 如圖，在 ABC 中，AB=AC，ADBC，垂足為 D，E 是 AC 的中點(diǎn)若 DE=5，則 AB 的長(zhǎng)為 A. 2.5B. 7.5C. 8.5D. 10 二、填空題（共4小題；共20分）9. 如圖，已知四邊形 ABCD 為平行四邊形，下列條件中：AC=

4、BD，AB=AD，1=2，ABBC，能說(shuō)明平行四邊形 ABCD 是矩形有   （填寫序號(hào)） 10. 給出下列說(shuō)法：四個(gè)角都相等的四邊形是矩形；兩組對(duì)邊分別相等，且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形；對(duì)角線相等，且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形；一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等并且有一個(gè)角為直角的四邊形是矩形.其中正確的個(gè)數(shù)是   11. 如圖，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=4，以 BC 為斜邊在矩形的外部作 RtBEC，點(diǎn) F 是 CD 的中點(diǎn)，則 EF 的最大值是   12. 如圖，菱形 ABCD 中，AC 交 BD 于 O，DEBC 于 E，連接 OE，若 ABC

5、=140，則 OED=   三、解答題（共6小題；共78分）13. 如圖所示，已知 ACB=ADB=90，N，M 分別是 AB，CD 的中點(diǎn)，判斷 MN 與 CD 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由 14. 如圖，在平行四邊形 ABCD 中，E 為 BC 的中點(diǎn)，連接 AE 并延長(zhǎng)交 DC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F，連接 BF，AC，若 AD=AF，求證：四邊形 ABFC 是矩形 15. 如圖，四邊形 ABCD 中，對(duì)角線 AC，BD 相交于點(diǎn) O，AO=OC，BO=OD，且 AOB=2OAD（1）求證：四邊形 ABCD 是矩形；（2）若 AOB:ODC=4:3，求 ADO 的度數(shù) 16. 如圖，ABC

6、 中，點(diǎn) P 是 AC 邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò) P 作直線 EFBC，交 ACB 的平分線于點(diǎn) E，交 ACB 的外角 ACD 平分線于點(diǎn) F（1）請(qǐng)說(shuō)明：PE=PF；（2）當(dāng)點(diǎn) P 在 AC 邊上運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形 AECF 是矩形?為什么? 17. 如圖，在 ABC 中，點(diǎn) D，E，F(xiàn) 分別是邊 AB，BC，CA 的中點(diǎn)，AH 是邊 BC 上的高（1）求證：四邊形 ADEF 是平行四邊形；（2）若 AHF=20，AHD=50，求 DEF 的度數(shù) 18. 閱讀以下短文，然后解決下列問(wèn)題：如果一個(gè)三角形和一個(gè)矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在矩形這邊的對(duì)邊上，則

7、稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”，如圖所示，矩形 ABEF 即為 ABC 的“友好矩形”，顯然，當(dāng) ABC 是鈍角三角形時(shí)，其“友好矩形”只有一個(gè)（1）仿照以上敘述，說(shuō)明什么是一個(gè)三角形的“友好平行四邊形”；（2）若 ABC 為直角三角形，且 C=90，在圖中畫出 ABC 的所有“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大?。唬?）若 ABC 是銳角三角形，且 BC>AC>AB，在圖中畫出 ABC 的所有“友好矩形”，指出其中周長(zhǎng)最小的矩形并加以證明答案第一部分1. C【解析】思路分析：利用折疊前后對(duì)應(yīng)角相等及矩形的性質(zhì)求解即可. 四邊形 ABCD 是矩形， A=ABC=90，由折疊的性

8、質(zhì)，得 BAE=A=90，ABE=ABE， ABE=ABE=1290DBC=9024=33， AEB=90ABE=9033=57故選：C2. B3. A4. A【解析】 矩形的對(duì)角線互相平分且相等， 一條對(duì)角線用了 49 盆紅花，中間一盆為對(duì)角線交點(diǎn)， 還需要從花房運(yùn)來(lái)紅花 491=48 盆5. B6. A【解析】D，E 分別是 AB，AC 的中點(diǎn)， DE=12BC=6， DF=1， EF=DEDF=5， AFFC， AFC 是直角三角形， E 是 AC 的中點(diǎn)， EF=12AC， AC=2EF=10故選：A7. C【解析】順次連接四邊形的中點(diǎn)，得到的四邊形形狀和四邊形的對(duì)角線位置、數(shù)量關(guān)系有

9、關(guān)，利用三角形中位線性質(zhì)可得：當(dāng)對(duì)角線垂直時(shí)，所得新四邊形是矩形 ACBD， 新的四邊形成為矩形，符合條件； 四邊形 ABCD 是平行四邊形， AO=OC，BO=DO CABO=CCBO， AB=BC根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知 BOAC， BDAC 新的四邊形成為矩形，符合條件； 四邊形 ABCD 是平行四邊形， CBO=ADO， DAO=CBO， ADO=DAO， AO=OD， AC=BD， 四邊形 ABCD 是矩形，連接各邊中點(diǎn)得到的新四邊形是菱形，不符合條件； DAO=BAO，BO=DO， AOBD，即平行四邊形 ABCD 的對(duì)角線互相垂直， 新四邊形是矩形，符合條件 符合條件8. D【解

10、析】ADBC， ADC=90， AE=EC， AC=2DE=10， AB=AC=10，故選D第二部分9. 10. 311. 9212. 20【解析】 四邊形 ABCD 是菱形， DO=OB， DEBC 于 E， OE 為直角三角形 BED 斜邊上的中線， OE=12BD， OB=OE， OBE=OEB， ABC=140， OBE=70， OED=9070=20第三部分13. MNCD理由如下：如圖，連接 ND，NC在 RtABD 中， ADB=90，N 是 AB 的中點(diǎn)， ND=12AB，同理可得 NC=12AB， ND=NC， NDC 是等腰三角形，在等腰 NDC 中， M 是 CD 的中點(diǎn)

11、， MNCD14. 在平行四邊形 ABCD 中，ABDF， ABE=FCE， E 為 BC 的中點(diǎn)， BE=CE，又 AEB=FEC， ABEFCEASA， AE=FE，又 BE=CE， 四邊形 ABFC 是平行四邊形，在平行四邊形 ABCD 中，AD=BC，又 AD=AF， BC=AF， 平行四邊形 ABFC 是矩形15. （1） AO=OC，BO=OD， 四邊形 ABCD 是平行四邊形， AOB=DAO+ADO=2OAD， DAO=ADO， AO=DO， AC=BD， 四邊形 ABCD 是矩形      （2） 四邊形 ABCD

12、是矩形， ABCD， ABO=CDO， AOB:ODC=4:3， AOB:ABO=4:3， BAO:AOB:ABO=3:4:3， ABO=54， BAD=90， ADO=9054=3616. （1） CE 平分 BCA， 1=2， EFBC， E=1， E=2， EP=PC，同理 PF=PC， EP=PF；      （2） 結(jié)論：當(dāng)點(diǎn) P 在 AC 中點(diǎn)時(shí)，四邊形 AECF 是矩形，理由：PA=PC，PE=PF， 四邊形 AECF 是平行四邊形，又 ECF=12BCD=90， 平行四邊形 AECF 是矩形17. （1） 點(diǎn) D，E，

13、F 分別是 AB，BC，CA 的中點(diǎn)， DE，EF 都是 ABC 的中位線， EFAB，DEAC， 四邊形 ADEF 是平行四邊形      （2） 四邊形 ADEF 是平行四邊形， DEF=BAC， D，F(xiàn) 分別是 AB，CA 的中點(diǎn)，AH 是邊 BC 上的高， DH=AD，F(xiàn)H=AF， DAH=DHA，F(xiàn)AH=FHA， DAH+FAH=BAC，DHA+FHA=DHF， DHF=BAC， DHF=DEF AHF=20，AHD=50， DEF=DHF=AHF+AHD=20+50=7018. （1） 如果一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形滿足條

14、件：三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合，且三角形的這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在平行四邊形這邊的對(duì)邊上，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”      （2） 如圖，此時(shí)共有 2 個(gè)“友好矩形”，矩形 BCAD 和矩形 ABEF易知矩形 BCAD 和矩形 ABEF 的面積都等于 ABC 面積的 2 倍， ABC 的“友好矩形”的面積相等      （3） 如圖，此時(shí)共有 3 個(gè)“友好矩形”，矩形 BCDE 、矩形 CAFG 及矩形 ABHK，其中矩形 ABHK 的周長(zhǎng)最小證明：易知這三個(gè)矩形的面積相等，令其為 S，設(shè)