1、v1.0可編輯可修改反函數(shù)例題解析【例1】求下列函數(shù)的反函數(shù):3x5一1(1)y=(xw-)2x1202.L(2)y=x2x+3,x(一巴1(3)y=-(x<0).xIv'T+r(-1<x<o)y=px(0<x01)3x 51解(1)y=."-2)yw3x 52x 1 y 53 2y得(2y 3)x = y 5,所求反函數(shù)為y=433 2y解(2)y=(x1)2+2,xC(oo,0其值域為yC2,+8),由y=(x1)2+2(x00),得x1=dy2,即x=1q'y2二反函數(shù)為f1(x)=1Jx2,(x>2).-1解(3)；y=(x<

2、;0),它的值域為0<y01,x1,1/曰1y由丫=;x=-J，x1y一一，11x.反函數(shù)為f(x)=4-x(0<x01).解(4)由丫=、1(-1<x<0),得值域0&y&1,反函數(shù)f1(x)=x2-1(0<x<1).由y=Tx(0<x01),4得值域一10y<0,反函數(shù)f1(x)=x2(一10x<0),故所求反函數(shù)為y=x2 1 (0<x< 1)2x2(-1<x<0)【例2】求出下列函數(shù)的反函數(shù)，并畫出原函數(shù)和其反函數(shù)的圖像.(1)y = jx 1y = - 3x2-2(x<0)解(1)二已

3、知函數(shù)的定義域是 x>1, .值域為y>- 1,由y=&一1 1,得反函數(shù)y=(x+1)2+1(x) 1)函數(shù)y= Jx 1 1與它的反函數(shù)y = (x+1)2 +1的圖像如圖2.解 (2)由 y= 3x2- 2(x < 0)得值域 y<- 2,一一一 x 2反函數(shù) f 1(x) = - -(x< - 2).341所示.它們的圖像如圖2. 4-2所示.一3x11【例3】已知函數(shù)f(x)=(xwa,aw-).xa3(1)求它的反函數(shù)；(2)求使f-1(x)=f(x)的實數(shù)a的值.一3x1解(1)設y=3x,.xwa,xa.y(x+a)=3x+1,(y3)x=

4、1ay,這里yW3,1、.，1一一若y=3,則a=-這與已知aw-矛盾,1ay11axx=,即反函數(shù)f(x)=y3x3(2)若f(x)=f1(x),即3x=3對定義域內一切x的值恒成立,xax3令x=0,a=-3.或解由f(x)=f-1(x),那么函數(shù)f(x)與f-1(x)的定義域和值域相同，定義域是x|xwa,xeR,值域yCy|yw3,yCR,，一a=3即a=3.axb.一.【例4】已知函數(shù)y=f(x)=中，a、b、c、d均不為奪，cxd試求a、b、c、d滿足什么條件時，它的反函數(shù)仍是自身.解f(x)=a+bcad，二.常數(shù)函數(shù)沒有反函數(shù)，cc(cxd)1dxbbc-adw0又f(x)=,

5、cxa要使dxb=國，對定義域內一切x值恒成立，cxacxd令x=0,得一a=d,即a+d=0.事實上，當a+d=0時，必有f-1(x)=f(x),因此所求的條件是bc-ad*0,且a+d=0.【例5】設點M(1,2)既在函數(shù)f(x)=ax 271 7證(2)由 y = - x + (x ) 0)得反函數(shù) f (x) =、；7 3x(x 0 -) .33+b(x>0)的圖像上，又在它的反函數(shù)圖像上，(1)求f-1(x),(2)證明f-1(x)在其定義域內是減函數(shù)._1什.2=a+b/口a3127斛(1)由伶，f(x)=-x+；(x)0)1=4a+b,733b=一3、幾7.設x1<x

6、203,73x1>73x2>0,773xi><x3x2,即f1(x1)>f1(x2),故f1(x)在(一7上是減函數(shù).3x1【例6】若函數(shù)f(x)=,求f1(72)的化x2x112x解法(一)先求函數(shù)f(x)=的反函數(shù)f1(x)=,x21x一53v'2.解法(二)由函數(shù)y=f(x)與其反函數(shù)y=f-1(x)之間的一一對應關系，求f1(正)的值，就是求f(x)=75時對應的x的值，：令濘=石，得x=-53H2,即f1(4'2)=-53J2.【例7】已知aR,且aw0,a1.設函數(shù)f(x)=ax1一1依且*金一)，證明y=f(x)的圖像關于直線y=x對稱.ax1,口證由丫=；，a*0，a*1，得(ay1)x=y1,ax11如果ay1=0,則丫=一，a1x1_,一一.-=彳4a=1,這與已知a*1矛盾，aa