1、專題5數(shù)與形的第一次聯(lián)姻閱讀與思考數(shù)學(xué)是研究數(shù)和形的學(xué)科，在數(shù)學(xué)里數(shù)和形是有密切聯(lián)系的，我們常用代數(shù)的方法來處理幾何問題；反過來，也借助與幾何圖形來處理代數(shù)問題，尋找解題思路，這種數(shù)與形之間的相互作用叫數(shù)形結(jié)合， 是一種重要的數(shù)學(xué)思想.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的有力工具，主要 表達(dá)在一下幾個(gè)方面：1利用數(shù)軸能形象地表示有理數(shù)；2利用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)；3.利用數(shù)軸比擬有理數(shù)的大小；4 利用數(shù)軸解決與絕對(duì)值相關(guān)的問題.例題與求解【例1】 數(shù)軸上有 A, B兩點(diǎn)，A, B之間的距離為1，點(diǎn)A與原點(diǎn)0的距離為3，那么所有滿足 條件的點(diǎn)B與原點(diǎn)0的距離

2、之和等于 .北京市“迎春杯競(jìng)賽試題 解題思路：確定A, B在數(shù)軸上的位置，求出 A, B兩點(diǎn)所表示的有理數(shù).【例2】 在數(shù)軸上和有理數(shù) a,b, C對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置如以下圖.有下面四個(gè)結(jié)論: abc 0， a b |b c ac ,(a b)(b c)(c a)0，a 1 bc,其中，正確的結(jié)論有丨個(gè).A. 4B. 3C. 2D. 1aibJ-101“希望杯邀請(qǐng)賽試題解題思路：從數(shù)軸上得到a10 b c 1，再對(duì)代數(shù)式進(jìn)行逐以一判斷.【例3】如以下圖，數(shù)軸上點(diǎn)A,B,C所對(duì)應(yīng)的數(shù)a,b,c都不為0，且C是AB的中點(diǎn).如果 |a b| |a 2c b 2c a b 2c0，試確定原點(diǎn)O的大致位置.

3、ACBil.abca b解題思路：從化簡(jiǎn)等式入手，而 c是解題的關(guān)鍵.2【例4】1閱讀下面材料:點(diǎn)A, B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a,b, A B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB 當(dāng)代B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)， 如圖 2，點(diǎn) A、B都在原點(diǎn)的右邊 |AB| = |OB| - | OA| = | b| - |a| = b a = | a-b| ; 如圖3，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊，| AB| = | OB| - | OA| = | b| - | a| = b-a = | a-b| ;如圖4，點(diǎn)A、 B 在原點(diǎn)的兩邊，| AB| = |OB| - |OA| = | b| - | a| =

4、- b 一 a= | a- b| ;綜上，數(shù)軸上 A、B兩點(diǎn)之間的距離|AB| = |a-b| 2答復(fù)以下問題： 數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是 ，數(shù)軸上表示一2和一5的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示1和一3的兩點(diǎn)之間的距離是 ； 數(shù)軸上表示 x和一1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是 ,如果| AB| = 2,那么x為; 當(dāng)代數(shù)式|x+ 1|十|x - 2|取最小值時(shí) ，相應(yīng)的x的取值范圍是 求x 1x 2x 3x 1997的最小值-f (0)Bi.a圖1b*0 JA1I.0a圖2b*iA0iib圖3口00Ai亠b0圖4a江蘇省南京市中考試題解題思路：通過觀察圖形，閱讀理解代數(shù)式a b所表示的意義，

5、來答復(fù)所提出的具體問題.【例5】某城市沿環(huán)形路有五所小學(xué)，依次為一小、二小、三小、四小、五小，它們分別有電腦15, 7, 11, 3 , 14臺(tái)，現(xiàn)在為使各校電腦臺(tái)數(shù)相等，各調(diào)幾臺(tái)給鄰校，現(xiàn)規(guī)定一小給二小， 二小給三小,三小給四小，四小給五小，五小給一小，要使電腦調(diào)動(dòng)臺(tái)數(shù)最小，應(yīng)該做怎樣的安排？湖北省荊州市競(jìng)賽試題解題思路：通過設(shè)未知數(shù)，把調(diào)動(dòng)的電腦臺(tái)數(shù)用相關(guān)代數(shù)式表示出來.解題的關(guān)鍵是怎樣將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求y x a1 x a2 ? x an的最小值.【例6】如圖，A是數(shù)軸上表示一30的點(diǎn)，B是數(shù)軸上表示10的點(diǎn)，C是數(shù)軸上表示18的點(diǎn)，點(diǎn)A, B, C在數(shù)軸上同時(shí)向正方向運(yùn)動(dòng).點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的速

6、度是6個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，點(diǎn)B和點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的速度是3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒.設(shè)三個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t秒.1當(dāng)t為何值時(shí)，線段 AC- 6單位長(zhǎng)度？2t豐5時(shí)，設(shè)線段OA的中點(diǎn)為P,線段0B的中點(diǎn)為M，線段0C的中點(diǎn)為N，求2PM PN= 2時(shí)t 的值.湖北省荊州市競(jìng)賽試題A0B <解題思路：1代B,C三點(diǎn)在數(shù)軸上同時(shí)向正方向運(yùn)動(dòng)，分別當(dāng)A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)兩種情況來分析求解.2先將P,M,N三個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)分別寫出來，因點(diǎn)M始終在點(diǎn)N左側(cè)，那么分為“點(diǎn)P在M , N左邊，“點(diǎn)P在M , N之間，“點(diǎn)P在M , N右邊三種情況來求解.能力訓(xùn)練A級(jí)1. 數(shù)軸上表示負(fù)數(shù)有理數(shù) m的點(diǎn)是點(diǎn)M ,那么

7、在數(shù)軸上與點(diǎn) M相距m個(gè)單位的點(diǎn)中，與原點(diǎn)距離較遠(yuǎn)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是 .江蘇省競(jìng)賽試題2 .如果數(shù)軸上點(diǎn) A到原點(diǎn)的距離為3，點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離為5，那么 代B兩點(diǎn)的距離為 .1 ''3點(diǎn)A, B分別是數(shù) 3 ,在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，使線段 AB沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)到 A B的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)3,2那么點(diǎn)A'對(duì)應(yīng)的數(shù)是，點(diǎn)A移動(dòng)的距離是.“希望杯邀請(qǐng)賽試題4a 0,b 0且a b 0，那么有理數(shù)a,b, a, b的大小關(guān)系是 用“v號(hào)連接北京市“迎春杯競(jìng)賽試題15.在數(shù)軸上任取一條長(zhǎng)度為 1999 -的線段，那么此線段在數(shù)軸上最多能蓋住的整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.9A. 1998B. 1999C. 2

8、000D. 2001重慶市競(jìng)賽試題6如圖，a,b為數(shù)軸上的兩點(diǎn)表示的有理數(shù)，在b,b 2a, a b, b a中，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)有A. 1B. 2C. 3D. 4“祖沖之邀請(qǐng)賽試題a0Jb7 .有理數(shù)a, b,c在數(shù)軸上的位置如以下圖,A. 2a3b cB. 3bcC.b11 I111a 01bC8.如以下圖，在數(shù)軸上有六個(gè)，且AB是丨.A EC D £ Fii11、-511A. 1B. 0C.1D. 2式子abb c化簡(jiǎn)結(jié)果為.BCD. cCDDE EF，那么與點(diǎn)C所表示的數(shù)最接近的整數(shù)“希望杯邀請(qǐng)賽試題9. a,b,c,d為有理數(shù)，在數(shù)軸上的位置如以下圖:11 Lil-db 0ac且

9、 6a 6b 3c 4d 6，求 3a 2d 3b 2a 2b c 的值.10 電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn)Ko，第一步從Ko向左挑一個(gè)單位到 Ki，第二步由Ki向右跳2個(gè)單位到K2，第三步由K2向左跳3個(gè)單位到K3，第四步由K3向右跳4個(gè)單位到K4，按以上規(guī)律跳了 100步時(shí)，電子跳蚤落在數(shù)軸上的點(diǎn)Kioo所表示的數(shù)恰是 19.94.那么電子跳蚤的初始位置 Ko點(diǎn)所表示的數(shù)是.11.如圖， A, B分別為數(shù)軸上兩點(diǎn)，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為一20, B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為100.1求過A, B中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù).2現(xiàn)有一只電子螞蟻 P從B點(diǎn)出發(fā)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻Q恰好從A點(diǎn)出發(fā)，以4個(gè)

10、單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的 C點(diǎn)相遇，求C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù).3假設(shè)當(dāng)電子螞蟻 P從B點(diǎn)出發(fā)時(shí)，以6個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻Q恰好 從A點(diǎn)出發(fā)，以4單位/秒的速度也向左運(yùn)動(dòng)， 設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的 D點(diǎn)相遇，求D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù).A1B1y-201001 有理數(shù)a, b,c在數(shù)軸上的位置如以下圖:1 1 1111>b a c) c 1那么化簡(jiǎn)a b b 1 a c 1 c的結(jié)果為32. 電影vv哈利波特中小哈利波特穿墻進(jìn)入“9 站臺(tái)的鏡頭如示意圖中 M站臺(tái)，構(gòu)4思奇妙，給觀眾留下深刻的印象假設(shè)A,B站臺(tái)分別位于2, - 1處，AN 2NB，那么N站臺(tái)用類似

11、電影里的方法稱為“ 站臺(tái)?時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)?數(shù)學(xué)文化節(jié)試題N1 111M1 j %2 09 103在數(shù)軸上，假設(shè) N點(diǎn)與原點(diǎn)0的距離是N點(diǎn)與三0假設(shè)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離的4倍，貝U N點(diǎn)表示的數(shù)是.河南省競(jìng)賽試題4 .假設(shè)a 0, b 0，那么使x a x b a b成立的x的取值范圍是 .武漢市選拔賽試題 5如圖，直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A,B,C，且AB BC，那么，到代B,C三點(diǎn)距離的和最小的點(diǎn)為.AB點(diǎn)外 B線段AC的中點(diǎn)C.線段AC外一點(diǎn)D無窮多個(gè)“希望杯邀請(qǐng)賽試題111ABC6點(diǎn)A,A2,A3,，代n為正整數(shù)都在數(shù)軸上，點(diǎn)在原點(diǎn) 0的左邊，且 A0 1,點(diǎn)A2在點(diǎn)A的右邊，且A2A2，點(diǎn)A3在

12、點(diǎn)A2的左邊，且A3A23，點(diǎn)A在點(diǎn)A3的右邊，且A4A34, ?，依照上述規(guī)律，點(diǎn) A2022 , A2022所表示的數(shù)分別為A. 2022, 2022 B. 2022, 2022 C. 1004, 1005 D. 1004, 1004福建省泉州市中考試題7設(shè)y |x 1 X 1，那么以下四個(gè)結(jié)論中正確的選項(xiàng)是A. y沒有最小值B.只有一個(gè)x使y去最小值C.有限個(gè)x不止一個(gè)使 y去最小值D.有無窮多個(gè)x使y取最小值全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題8 如圖，數(shù)軸上標(biāo)出假設(shè)干個(gè)點(diǎn)，每相鄰兩個(gè)點(diǎn)相距1個(gè)單位，點(diǎn)A, B,C,D對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù)1 1I1 11 11-11 V"ABcDA.A點(diǎn)B.

13、B點(diǎn)C. C點(diǎn)D. D點(diǎn)“新世紀(jì)杯9 .x21x 9y 51 y，求x y的最大值和最小值.a,b,c,d，且b 2a 9，那么數(shù)軸的原點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)是.廣西初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題江蘇省競(jìng)賽試題10.如圖，在環(huán)形運(yùn)輸線路上有A,B,C,D, E,F六個(gè)倉(cāng)庫(kù)，現(xiàn)有某種貨物的庫(kù)存量分別是50噸、84噸、80噸、70噸、55噸和45噸.要對(duì)各倉(cāng)庫(kù)的存貨進(jìn)行調(diào)整，使得每個(gè)倉(cāng)庫(kù)的存貨量相等，但每個(gè)倉(cāng)庫(kù)只 能相相鄰的倉(cāng)庫(kù)調(diào)運(yùn)，并使調(diào)運(yùn)的總量最小.求各倉(cāng)庫(kù)向其他倉(cāng)庫(kù)的調(diào)運(yùn)量.11如圖，數(shù)軸上標(biāo)有 2n 1個(gè)點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的整數(shù)是n, (n 1), , 2, 1,0,1,2, ,n 2, n 1, n .為了確保從這些點(diǎn)中

14、可以取出2006個(gè)，使任何兩個(gè)點(diǎn)之間的距離都不等于4求n的最小值. 一 * * . « « » -n -(/T-I) -(h-2)-2 d 0 I 2 h-2 /;-l n“華羅庚金杯少年邀請(qǐng)賽試題專題05數(shù)與形的第一次聯(lián)姻例1 12提示：點(diǎn)A表示數(shù)為3或3，滿足條件的點(diǎn) B共有4個(gè).例2 B提示：由數(shù)軸知 av 1v 0v bv cv 1. abcv 0，故正確；由絕對(duì)值的幾何意義知正確；a b v 0, b cv 0, c a>0，故a b b c(c a> 0，正確；| a| > 1, 1 bcv 1, | a| > 1 be,不正確

15、.例3原點(diǎn)0在線段AC上.例 4 3, 3, 4 |x+ 1| 1 或3 K xW 2 997 002例5如圖，用A，B,C,D，E點(diǎn)順時(shí)針排列依次表示一至五所小學(xué)，且順次向鄰校調(diào)給x1，x2，x3,Xt , X5 臺(tái)電腦.依題意得：7 +Xrx?= 11+X2 x3= 3 + X3 x =14 +& X5= 15+xjsXr=10.得 x2 = X-! 3, X3 = x1 2, x4 = x1 9, x5 = X-! 5.此題要求 y= | x11 + | X21 + I x3| + | x4|+ IXsI的最小值，依次代入，可得y = IXj+ IX1 3| + | 2| + |

16、X1 9| + |X1 5| .由絕對(duì)值幾何意乂可知，當(dāng)X1 = 3時(shí)，y有最小值12.此時(shí)有 X2 = 0, X3 = 1, Xt = 6, X5 = 2.所以，一小向二小調(diào)出 3臺(tái)，三小向四小調(diào)出1臺(tái)，五小向四小調(diào)出 6臺(tái)，一小向五小調(diào)出 2臺(tái)，這樣調(diào)動(dòng)的電腦總臺(tái)數(shù)最小為 12臺(tái).例6 1A, B, C三點(diǎn)在數(shù)軸上同時(shí)向正方向運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C左側(cè)時(shí)，線段 AC= 6, 6 + 6t = 30 + 18 + 3t，解得 t = 14.當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，線段 AC 6, 6t 6 = 30 + 18 + 3t，解得 t = 18.綜上可知，t為14或18時(shí)，線段AC= 6.(2)

17、當(dāng)點(diǎn)A, B, C三個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上同時(shí)向正方向運(yùn)動(dòng)t秒后，點(diǎn)A, B, C在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為：6t 30, 10 + 3t, 18 + 3t.(3) T P, M , N分別為OA, OB, OC的中點(diǎn). P, M , N三個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為：61 30 , 匹衛(wèi),吒衛(wèi).且點(diǎn)M始終在點(diǎn)N左側(cè).2 2 2 假設(shè)點(diǎn) P在 M, N 左邊，貝U PM = 10 3t 6t 30 = 20 1 . 5t , PN= 18 3t 6一30 = 24 1 . 5t. 2 2 2 2/ 2PM PN= 2, 220 1 . 5t一 24 1. 5t= 2,.+ 283 假設(shè)點(diǎn) P 在 M , N

18、之間，那么 PM = 6一30 10 3t = 20+ 1 . 5t,2 2PN= 18 3t 630 = 24 1. 5t.2 2/ 2PM PN= 2, 2一 20 + 1 . 5t一 24 1. 5t= 2, t = 44 假設(shè)點(diǎn) P 在 M , N 右邊，那么 PM = 6一30 10 31 =- 20+ 1.5t ,PN= 6t 30 18 3t =_ 24 + 1.5t. 2 2 2 2/ 2PM PN= 2, 2一 20 + 1 . 5t一一 24 + 1. 5t= 2, t = 12.但此時(shí)PM = 20+ 1 . 5t v 0，所以此情況不成立綜上可知,t =竺或44時(shí)符合題

19、意.33A級(jí)1 . 2m 2. 2 或 83.7 ,4194提示：AB的長(zhǎng)為-25155 , A對(duì)應(yīng)的數(shù)為3-2227 ,點(diǎn)A移動(dòng)的距離為1443=理.4. bv av av | b|5. C 6. B 7. C8. C 9.5K100點(diǎn)所表示的有理數(shù)分別為10. 30. 06提示：設(shè)K°點(diǎn)表示的有理數(shù)為x,那么K1 , K2 ,1, x 1 + 2, x 1 + 2 3,，x 1 + 2 3+ 4 一99+ 100.由題意得 x 1 + 2 3+ 4一99+ 100 = 19. 94.20 100 12011. 1M點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為=40 . 2相遇時(shí)間為=12秒，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為100

20、 1226 4X 6= 28 . 3追擊時(shí)間為60秒，D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為260.1 .-2 2. 113. 24或40. 提示：設(shè)N點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為x.根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知|x|= 4|x 30| .對(duì)x分情況討論得出x = 24或x= 40 .4.b w xw a5 . A 6 . C 7 . D 8 . C9.原式化為 |x + 2| + | 1 x| + |y 5| + | 1 + y| = 9 .|x+ 2| + | 1 x| >3，當(dāng)一2w xw 1 時(shí)等號(hào)成立；| y 5| +1 1 + y| > 6,當(dāng)一1w yw 5 時(shí)等號(hào)成立. x+ y 的最大值=1 + 5 = 6

21、; x+ y 的最小值=一 2 1 = 3.10調(diào)運(yùn)后各倉(cāng)庫(kù)的存貨量都相等，應(yīng)為-X 50+ 84+ 80+ 70+ 55+ 45= 64噸.6設(shè)A庫(kù)運(yùn)往B庫(kù)XB噸，B庫(kù)運(yùn)往C庫(kù)Xc噸，C庫(kù)運(yùn)往D庫(kù)Xd噸，D庫(kù)運(yùn)往E庫(kù)XE噸，E庫(kù)運(yùn)往F庫(kù)XF噸，F(xiàn) 庫(kù)運(yùn)往 A 庫(kù) Xa 噸，故有：50 + Xa Xb = 84 + Xb Xc = 80 + Xc Xd = 70 + Xd Xe = 55 +XE XF = 45 + XF XA = 64.所以，Xb=Xa 14,Xc=Xb+ 20 =Xa+ 6, Xd =Xc+ 16= Xa + 22 ,Xe=Xd + 6 =Xa+ 28, Xf =Xe 9 = Xa + 19.假設(shè)使調(diào)運(yùn)量最小，那么有 y = | xA | + | xb | + | xc | + | xd | + | xe |