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1、.高中數(shù)學(xué)空間直角坐標(biāo)系一、考點(diǎn)打破知識(shí)點(diǎn)課標(biāo)要求題型說(shuō)明空間直角坐標(biāo)系1. 理解空間直角坐標(biāo)系的建系方式;2. 能在空間直角坐標(biāo)系中求出點(diǎn)的坐標(biāo)或根據(jù)坐標(biāo)作出點(diǎn)。解答題在二維平面直角坐標(biāo)系根底上的推廣,是空間立體幾何的代數(shù)化,是以后學(xué)習(xí)“空間向量等內(nèi)容的根底,具有承前啟后的作用。二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn):空間直角坐標(biāo)系的有關(guān)概念、空間點(diǎn)的坐標(biāo)確實(shí)定方法。難點(diǎn):空間直角坐標(biāo)系的產(chǎn)生過(guò)程。考點(diǎn)一:空間直角坐標(biāo)系1. 空間直角坐標(biāo)系的概念從空間某一個(gè)定點(diǎn)O引三條互相垂直且有一樣單位長(zhǎng)度的數(shù)軸,這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系Oxyz,點(diǎn)O叫作坐標(biāo)原點(diǎn),x軸、y軸和z軸叫作坐標(biāo)軸,這三條坐標(biāo)軸中每?jī)蓷l確定一個(gè)坐
2、標(biāo)平面,分別稱為xOy平面、yOz平面和zOx平面。2. 右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中,讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y軸的正方向,假設(shè)中指指向z軸的正方向,那么稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系?!疽c(diǎn)詮釋】通常,將空間直角坐標(biāo)系畫在紙上時(shí),x軸與y軸、x軸與z軸均成135°角,而z軸垂直于y軸。y軸和z軸的單位長(zhǎng)度一樣,x軸上的單位長(zhǎng)度為y軸或z軸的單位長(zhǎng)度的一半。3. 空間一點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)于空間任意一點(diǎn)A,作點(diǎn)A在三條坐標(biāo)軸上的射影,即經(jīng)過(guò)點(diǎn)A作三個(gè)平面分別垂直于x軸、y軸和z軸,它們與x軸、y軸和z軸分別交于P、Q、R。點(diǎn)P、Q、R在相應(yīng)數(shù)軸上的坐標(biāo)依次為x、y、z,我們把有
3、序?qū)崝?shù)組x,y,z叫作點(diǎn)A的坐標(biāo),記為Ax,y,z。【重要提示】特殊位置的點(diǎn)的坐標(biāo): 原點(diǎn)坐標(biāo); 軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為,其中為任意實(shí)數(shù); 軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為,其中為任意實(shí)數(shù); 軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)為,其中為任意實(shí)數(shù); 平面通過(guò)軸和軸的平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)為,其中、為任意實(shí)數(shù); 平面通過(guò)軸和軸的平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)為,其中、為任意實(shí)數(shù); 平面通過(guò)軸和軸的平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)為,其中、為任意實(shí)數(shù)??键c(diǎn)二:空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的讀取方法1. 投影法:即找到點(diǎn)在三條坐標(biāo)軸上的投影點(diǎn)。方法是過(guò)點(diǎn)作三個(gè)平面分別垂直于軸、軸和軸于、三點(diǎn)、即為點(diǎn)在三條坐標(biāo)軸上的投影點(diǎn),點(diǎn)、在軸、軸和軸上的坐標(biāo)分別為、,那么就是點(diǎn)的坐標(biāo)。2. 途徑法:
4、先從原點(diǎn)出發(fā)沿軸的正方向或負(fù)方向挪動(dòng)個(gè)單位,再沿軸的正方向或負(fù)方向挪動(dòng)個(gè)單位,最后沿軸的正方向或負(fù)方向挪動(dòng)個(gè)單位即可讀出此點(diǎn)坐標(biāo)??键c(diǎn)三:空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是;點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是;點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是;點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是;點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是;點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是;點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是。【重要提示】空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)求法,可用口訣“關(guān)于誰(shuí)誰(shuí)不變,其余的均相反來(lái)記憶?!倦S堂練習(xí)】點(diǎn)Pa,b,c到坐標(biāo)平面xOy的間隔 是_。思路分析:過(guò)點(diǎn)P向xOy平面作垂線,該垂線上的所有點(diǎn)在軸上的投影一樣,在軸上的投影也一樣,只有在軸上的不同。答案:點(diǎn)P在
5、xOy平面的射影的坐標(biāo)是Pa,b,0,所以d|c|。技巧點(diǎn)撥:過(guò)Pa,b,c向xOy平面作垂線,那么垂線上的點(diǎn)坐標(biāo)為a,b,m其中m為變數(shù);過(guò)Pa,b,c向xOz平面作垂線,那么垂線上的點(diǎn)坐標(biāo)為a,m,c其中m為變數(shù);過(guò)Pa,b,c向yOz平面作垂線,那么垂線上的點(diǎn)坐標(biāo)為m,b,c其中m為變數(shù)。例題1 求空間內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)如圖,在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,AD3,AB5,AA14,建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,寫出此長(zhǎng)方體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)。思路分析:以D為原點(diǎn)建系找各點(diǎn)在xOy平面內(nèi)的射影找各點(diǎn)在z軸上的正射影寫出點(diǎn)的坐標(biāo)。答案:如圖,以DA所在直線為x軸,以DC所在直線為y軸,以DD1所在直線為z軸
6、,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz。由題意知長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)ADBC3,DCAB5,DD1AA14,顯然D0,0,0,A在x軸上,A3,0,0;C在y軸上,C0,5,0;D1在z軸上,D10,0,4;B在xOy平面內(nèi),B3,5,0;A1在xOz平面內(nèi),A13,0,4;C1在yOz平面內(nèi),C10,5,4。由B1在xOy平面內(nèi)的射影為B3,5,0,B1的橫坐標(biāo)為3,縱坐標(biāo)為5。B1在z軸上的射影為D10,0,4,B1的豎坐標(biāo)為4,B13,5,4。技巧點(diǎn)撥:1. 建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)遵循的兩個(gè)原那么1讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面上。2充分利用幾何圖形的對(duì)稱性。2. 求某點(diǎn)M坐標(biāo)的方法過(guò)點(diǎn)M分別作三個(gè)
7、坐標(biāo)平面的平行平面或垂面,分別交坐標(biāo)軸于A、B、C三點(diǎn),確定x、y、z。詳細(xì)理解,可以以長(zhǎng)方體為模型,要掌握一些特殊點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)和落在坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示的特征。例題2 空間直角坐標(biāo)系中關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)如下圖,長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn),交于同一頂點(diǎn)的三個(gè)面分別平行于三個(gè)坐標(biāo)平面,頂點(diǎn)A2,3,1,求其他7個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)。思路分析:充分運(yùn)用長(zhǎng)方體是對(duì)稱的幾何圖形這一性質(zhì)求解。答案:設(shè)長(zhǎng)方體的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,頂點(diǎn)A2,3,1,A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C1的坐標(biāo)為2,3,1。C與C1關(guān)于xOy坐標(biāo)平面對(duì)稱,C2,3,1。A1與C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,A12,3,1。點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于
8、yOz坐標(biāo)平面對(duì)稱,D2,3,1。點(diǎn)B1與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,B12,3,1。同理可求得點(diǎn)D1的坐標(biāo)為2,3,1,點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,3,1,綜上知長(zhǎng)方體其他7個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C12,3,1,C2,3,1,A12,3,1,B2,3,1,B12,3,1,D2,3,1,D12,3,1。 技巧點(diǎn)撥:空間對(duì)稱的特點(diǎn)是“關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱,誰(shuí)不變,其余互為相反數(shù),如關(guān)于x軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn),橫坐標(biāo)不變,縱、豎坐標(biāo)分別互為相反數(shù);關(guān)于xOy平面對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn),橫、縱坐標(biāo)不變,豎坐標(biāo)互為相反數(shù)。平時(shí)解題時(shí)要注意方法規(guī)律的總結(jié)。忽略空間直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸兩兩垂直導(dǎo)致建系錯(cuò)誤例題 在三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)棱AA1底面AB
9、C,所有的棱長(zhǎng)都是1,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)?!惧e(cuò)解】如下圖,分別以AB、AC、AA1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,那么A0,0,0。各棱長(zhǎng)均為1,且B、C、A1均在坐標(biāo)軸上,B1,0,0,C0,1,0,A10,0,1,B11,0,1,C10,1,1?!惧e(cuò)因分析】三棱柱各棱長(zhǎng)均為1,ABC為正三角形,即BAC60°,故此題做錯(cuò)的根本原因在于建立直角坐標(biāo)系時(shí)沒(méi)有抓住空間直角坐標(biāo)系三條坐標(biāo)軸兩兩垂直的本質(zhì)?!痉婪洞胧拷⒖臻g直角坐標(biāo)系時(shí),應(yīng)選擇從一點(diǎn)出發(fā)的三條兩兩垂直的線作為坐標(biāo)軸,假如圖中沒(méi)有滿足條件的直線,可以通過(guò)作“輔助線,到達(dá)建系的目的。【正解】如下圖,取AC的中點(diǎn)O和A1C1的中點(diǎn)O1,連接BO、OO1,可得BOAC,BOOO1
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