1、?九章算術?中的等差、等比數(shù)列陜西省榆林市橫山區(qū)橫山中學劉克忠2022年9月26日，教育部考試中心下發(fā)?關于 2022年普通高考考試大綱 修訂內容的通知?，公布了 2022年各學科高考大綱的主要修訂內容.在能力要求 內涵方面，增加了根底性、綜合性、應用性、創(chuàng)新性的要求，特別增加了數(shù)學文 化的要求.提起數(shù)學文化，首先想到的就是中國古代數(shù)學文化 中國古代數(shù)學取得了極 其輝煌的成就，?九章算術?是代表作?九章算術?系統(tǒng)總結了戰(zhàn)國、秦、漢時 期的數(shù)學成就全書采用問題集的形式，收有246個與生產、生活實踐有聯(lián)系的 應用問題，其中每道題有問題目、答答案、術解題的步驟，但沒有證明， 有的是一題一術，有的是多

2、題一術或一題多術。它的出現(xiàn)，標志著中國古代數(shù)學 體系的形成數(shù)列是?九章算術?的一個重要研究內容在衰分、均輸、盈缺乏中共有6 個等差數(shù)列問題，4個等比數(shù)列問題，現(xiàn)將這10個問題整理如下，供參考.【例1】次分之，問各得幾何？第三章一衰分一1【譯文】現(xiàn)有大夫、不更、簪裊、上造、公士等五個不同爵次的官員，共獵 得五只鹿，要按爵次上下分配，問各得多少鹿？【注釋】爵次：爵名的次序，按?漢書百官公卿表?：“爵一級曰公士，二上 造，三簪裊，四不更，五大夫， ，二十徹侯.皆秦制.“衰分：比例分配問題.【解析】公士得鹿數(shù)為a，那么上造、簪裊、不更、大夫所得鹿數(shù)依次為2a、3a、4a、5a，于是，15a 2a 3a

3、 4a 5a 5 ,解得a丄.所以，五人所得鹿數(shù)分別為：大夫 -只、不33更4只、簪裊1只、上造-只、公士 -只.333【例2】有大夫一人后來，亦當稟五斗.倉無粟，欲以衰出之，問各幾何？第三章一衰 分一6【譯文】現(xiàn)要給大夫、不更、簪裊、上造、公士等五個不同爵次的官員，按 照一定比例分配粟，共15斗，后又來了一位大夫，也應該發(fā)給 5斗粟，但倉中 沒有粟，需要從前面5人中按比例拿出一局部給后來的大夫， 問前面5人各出多 少粟？【解析】由例1知，原來5人中，公士、上造、簪裊、不更、大夫所得粟數(shù) 構成等差數(shù)列，記為an，且首項a1，公差da1，那么a1a2a3a4a515，所以ai 1, a2 2 ,

4、 a3 3 , a° 4 , a§ 5.現(xiàn)需要將15斗粟從新分配，按照公士、上造、簪裊、不更、大夫、新大夫的順序，那么這6人分配數(shù)依次為bi , b2,4, 2i,33,4,b2，a3d，a4b4，a4bi42444b4 b5 b615，解得bi 3.所以公士、上造、簪裊、不更、大夫所出粟數(shù)依b3，b4，b5，b6，前5項仍然構成等差數(shù)列，公差d bi且b5 b6，于是d b? b3次為bi， a?45 a5 匕5.554【例3】尺各重幾何？第六章一均輸一I7【譯文】今有金杖5尺.截本端一尺，重4斤；截末端一尺，重2斤.問依次 每尺各重多少？【注釋】“均輸：合理攤派賦稅；用

5、衰分術解決賦役的合理負擔問題.今有 術、衰分術及其應用方法，構成了包括今天正、反比例、比例分配、復比例、連 鎖比例在內的整套比例理論.西方直到I5世紀末以后才形成類似的全套方法. 此題采用“錐形衰.李籍?九章算術音義?：“下多上少，如立錐之形也即是 以5、4、3、2、I為列衰.【解析】由題設條件知，自上而下各段重量構成等差數(shù)列，記務，首項q 2，I 第5項a54，項數(shù)n 5，設公差為d，由等差數(shù)列性質知，a5 ai 4d，d -，575因此，a2 -，a3 3， a4 -.所以，從上到下，依次每尺重為：2斤、一斤、3222斤，-斤，4斤.2【例4】今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等.問各得

6、幾何？第六章 均輸一I9【譯文】現(xiàn)有5人分5錢，要使上面2人所得的與下面3人所得的相等，問 各得的多少錢？【解析】此題采用“錐形衰錢數(shù)構成等差數(shù)列，其中得錢較多的2人的得錢數(shù)的和與得錢較少的3人的得錢 數(shù)的和相等，設5人得錢數(shù)依次為ai， a2， as， a4， a5，公差為d，那么有aia2a3a4a535，ai a2a3 a°a5，解得印-，d4i，于是a2 ii，-2a3a4a563【例5】少？第六章一均輸一19【譯文】現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，下面3節(jié)的容積共4升，上面4節(jié)的容積共 3升.問使中間兩節(jié)也均勻變化，每節(jié)容積是多少？【解析】此題采用“錐形衰求解，由題設條件知，自上而下各

7、節(jié)容積構成 等差數(shù)列，記and7因此，a246235360106774，a3，a4，a5，a66666336666116666812788495a7，a8a?662266366節(jié)容積為ai，公差為d解得ai3，a4a7a8a94 ，那么 aia2as【例6】1322，3733，三里，日增十三里.駑馬初日行九十七里，日減半里.良馬先至齊，復還迎駑馬 問幾何日相逢及各行幾何？第七章一盈缺乏一 20【譯文】 一天走193里，以后每天增加13里.駑馬第一天走97里，以后每天減少-里.2良馬先到齊國，再返回迎接駑馬問良馬、駑馬經過多少天相逢，各自走了多少 路？【注釋】“盈缺乏：即雙設法問題；提出了盈缺乏

8、、盈適足和缺乏適足、兩盈和兩缺乏三種類型的盈虧問題，以及假設干可以通過兩次假設化為盈缺乏問題 的一般問題的解法這也是處于世界領先地位的成果，傳到西方后，影響極大 【解析】由題設條件知，良馬每天走的路程構成等差數(shù)列 an ,首項為a1 193公差為d 13，前n項和為Sn ;駑馬每天走的路程構成等差數(shù)列0 ,首項為1b1 97，公差為m 2 '前n項和為T"；設經過n天相遇，那么T" 6000.即 193n 血 9 13 97n9 13000 2，化簡 5n2 227n 48000.2 2 2227(147529n15.7110里.【例1】今有牛、馬、羊食人苗.苗主責

9、之粟五斗.羊主曰：“我羊食半馬.馬 主曰：“我馬食半牛.今欲衰償之，問各出幾何？第三章一衰分一 2【譯文】今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半.馬主人說：“我的馬所吃的禾苗只有牛 的一半.現(xiàn)打算按這樣的比例歸還，牛、馬、羊的主人各應賠償多少粟？【解析】5人賠償a斗，那么馬主人賠償2a斗，牛主人賠償4a，于是a 2a 4a 5 , a -,7 所以，牛主人賠償20斗，馬主人賠償2斗，主人賠償-斗.777【例2】今有女子善織，日自倍，五日織五尺問日織幾何？第三章一衰分4【譯文】今有一女子很會織布，每天加倍增長，5天共織布5尺，問每天各織多少布？【解析】由

10、題設條件知，該女子從第二天起，每天織布數(shù)是前一天的2倍，尺，那么x 2x 4x 8x 16x5，x -.所以，第一天織布數(shù)為 -尺，第二天織3131布數(shù)為10尺，第三天織布數(shù)為15尺，第四天織布數(shù)為 空 尺，第五天織布數(shù)為 卻31313131尺【例3】今有蒲生一日，長三尺.莞生一日，長一尺.蒲生日自半莞生日自倍. 問幾何日而長等？第七章一盈缺乏一 11【譯文】現(xiàn)有蒲生長1天，長為為前一天的一半，莞的生長長度為前一天的 2倍，問幾天后蒲、莞長度相等？【解析】由題設條件知，蒲的生長長度構成等比數(shù)列an，首項為a1 3，公1比為q 2，前 n項和為；莞的生長長度構成等比數(shù)列d，首項為“1，公1 2n1 2，1 C門比為p 2，前n項和為Tn ;設門天后長度相等，Sn Tn，即 21 12解得 n log26.【例4】今有垣厚五尺，兩鼠對穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍, 小鼠日自半.問幾何日相逢？各穿幾何？第七章一盈缺乏一 12【譯文】今有墻厚五尺，兩鼠相對挖墻.大鼠第一天挖1尺，小鼠第一天也挖 1尺.大鼠挖墻逐天增加1倍，小鼠挖墻逐天減為一半.問大鼠、小鼠幾天相遇？ 各挖墻多少？【解析】由題設條件知，大