1、2003年考研數(shù)學(xué)（三）真題評(píng)注一、 一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）設(shè)其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則的取值范圍是.【分析】 當(dāng)0可直接按公式求導(dǎo)，當(dāng)x=0時(shí)要求用定義求導(dǎo).【詳解】 當(dāng)時(shí)，有 顯然當(dāng)時(shí)，有，即其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù).（2）已知曲線與x軸相切，則可以通過a表示為 .【分析】 曲線在切點(diǎn)的斜率為0，即，由此可確定切點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足的條件，再根據(jù)在切點(diǎn)處縱坐標(biāo)為零，即可找到與a的關(guān)系.【詳解】 由題設(shè)，在切點(diǎn)處有 ，有 又在此點(diǎn)y坐標(biāo)為0，于是有 ,故 （3）設(shè)a0，而D表示全平面，則= .【分析】 本題積分區(qū)域?yàn)槿矫?，但只有?dāng)時(shí)，被積函

2、數(shù)才不為零，因此實(shí)際上只需在滿足此不等式的區(qū)域內(nèi)積分即可.【詳解】 = =（4）設(shè)n維向量；E為n階單位矩陣，矩陣 ， ，其中A的逆矩陣為B，則a= -1 .【分析】 這里為n階矩陣，而為數(shù)，直接通過進(jìn)行計(jì)算并注意利用乘法的結(jié)合律即可.【詳解】 由題設(shè)，有 = = = =,于是有 ，即 ，解得 由于A0 ,故a=-1.（5）設(shè)隨機(jī)變量X 和Y的相關(guān)系數(shù)為0.9, 若，則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為 0.9 .【分析】 利用相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式即可.【詳解】 因?yàn)?= =E(XY) E(X)E(Y)=cov(X,Y),且于是有 cov(Y,Z)=注意以下運(yùn)算公式：，（6）設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，為來

3、自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則當(dāng)時(shí)，依概率收斂于 .【分析】 本題考查大數(shù)定律：一組相互獨(dú)立且具有有限期望與方差的隨機(jī)變量，當(dāng)方差一致有界時(shí)，其算術(shù)平均值依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望的算術(shù)平均值： 【詳解】 這里滿足大數(shù)定律的條件，且=，因此根據(jù)大數(shù)定律有 依概率收斂于二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）（1）設(shè)f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)，且存在，則函數(shù)(A) 在x=0處左極限不存在. (B) 有跳躍間斷點(diǎn)x=0.(C) 在x=0處右極限不存在. (D) 有可去間斷點(diǎn)x=0. D 【分析】 由題設(shè)，可推出f

4、(0)=0 , 再利用在點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行討論即可.【詳解】 顯然x=0為g(x)的間斷點(diǎn)，且由f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)知，f(0)=0.于是有 存在，故x=0為可去間斷點(diǎn).本題也可用反例排除，例如f(x)=x, 則此時(shí)g(x)=可排除(A),(B),(C) 三項(xiàng)，故應(yīng)選(D).若f(x)在處連續(xù)，則. （2）設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)取得極小值，則下列結(jié)論正確的是 (A) 在處的導(dǎo)數(shù)等于零. （B）在處的導(dǎo)數(shù)大于零.(C) 在處的導(dǎo)數(shù)小于零. (D) 在處的導(dǎo)數(shù)不存在. A 【分析】 可微必有偏導(dǎo)數(shù)存在，再根據(jù)取極值的必要條件即可得結(jié)論.【詳解】 可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)取得極小值

5、，根據(jù)取極值的必要條件知，即在處的導(dǎo)數(shù)等于零, 故應(yīng)選(A).本題考查了偏導(dǎo)數(shù)的定義，在處的導(dǎo)數(shù)即；而在處的導(dǎo)數(shù)即本題也可用排除法分析，取，在(0,0)處可微且取得極小值，并且有，可排除(B),(C),(D), 故正確選項(xiàng)為(A).（3）設(shè)，則下列命題正確的是(A) 若條件收斂，則與都收斂.(B) 若絕對(duì)收斂，則與都收斂.(C) 若條件收斂，則與斂散性都不定.(D) 若絕對(duì)收斂，則與斂散性都不定. B 【分析】 根據(jù)絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系以及收斂級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可找出答案.【詳解】 若絕對(duì)收斂，即收斂，當(dāng)然也有級(jí)數(shù)收斂，再根據(jù)，及收斂級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知，與都收斂，故應(yīng)選(B).（4）設(shè)三階矩陣

6、，若A的伴隨矩陣的秩為1，則必有(A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b0.(C) ab且a+2b=0. (D) ab且a+2b0. C 【分析】 A的伴隨矩陣的秩為1, 說明A的秩為2，由此可確定a,b應(yīng)滿足的條件.【詳解】 根據(jù)A與其伴隨矩陣A*秩之間的關(guān)系知，秩(A)=2，故有 ，即有或a=b.但當(dāng)a=b時(shí)，顯然秩(A), 故必有 ab且a+2b=0. 應(yīng)選(C). n（n階矩陣A與其伴隨矩陣A*的秩之間有下列關(guān)系： （5）設(shè)均為n維向量，下列結(jié)論不正確的是(A) 若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)，都有，則線性無關(guān).(B) 若線性相關(guān)，則對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)，都有(C) 線

7、性無關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為s.(D) 線性無關(guān)的必要條件是其中任意兩個(gè)向量線性無關(guān). B 【分析】 本題涉及到線性相關(guān)、線性無關(guān)概念的理解，以及線性相關(guān)、線性無關(guān)的等價(jià)表現(xiàn)形式. 應(yīng)注意是尋找不正確的命題.【詳解】(A): 若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù),都有 ，則必線性無關(guān)，因?yàn)槿艟€性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù),使得 ，矛盾. 可見（A）成立.(B): 若線性相關(guān)，則存在一組，而不是對(duì)任意一組不全為零的數(shù)，都有(B)不成立.(C) 線性無關(guān),則此向量組的秩為s；反過來，若向量組的秩為s，則線性無關(guān)，因此(C)成立.(D) 線性無關(guān),則其任一部分組線性無關(guān)，當(dāng)然其中任意兩個(gè)向量線性無關(guān)

8、，可見(D)也成立.綜上所述，應(yīng)選(B).原命題與其逆否命題是等價(jià)的. 例如，原命題：若存在一組不全為零的數(shù)，使得成立，則線性相關(guān). 其逆否命題為：若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)，都有，則線性無關(guān). 在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)經(jīng)常注意這種原命題與其逆否命題的等價(jià)性.（6）將一枚硬幣獨(dú)立地?cái)S兩次，引進(jìn)事件：=擲第一次出現(xiàn)正面，=擲第二次出現(xiàn)正面，=正、反面各出現(xiàn)一次，=正面出現(xiàn)兩次，則事件(A) 相互獨(dú)立. (B) 相互獨(dú)立. (C) 兩兩獨(dú)立. (D) 兩兩獨(dú)立. C 【分析】按照相互獨(dú)立與兩兩獨(dú)立的定義進(jìn)行驗(yàn)算即可，注意應(yīng)先檢查兩兩獨(dú)立，若成立，再檢驗(yàn)是否相互獨(dú)立.【詳解】 因?yàn)椋?，可見有，.故

9、兩兩獨(dú)立但不相互獨(dú)立；不兩兩獨(dú)立更不相互獨(dú)立，應(yīng)選(C).三 、（本題滿分8分）設(shè) 試補(bǔ)充定義f(1)使得f(x)在上連續(xù).【分析】 只需求出極限，然后定義f(1)為此極限值即可.【詳解】 因?yàn)?= = = = =由于f(x)在上連續(xù)，因此定義 ，使f(x)在上連續(xù).本題實(shí)質(zhì)上是一求極限問題，但以這種形式表現(xiàn)出來，還考查了連續(xù)的概念.在計(jì)算過程中，也可先作變量代換y=1-x，轉(zhuǎn)化為求的極限，可以適當(dāng)簡(jiǎn)化.四 、（本題滿分8分）設(shè)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足，又,求【分析】 本題是典型的復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)問題：，直接利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)公式即可，注意利用【詳解】 ，故 ，所以 =五 、（本題

10、滿分8分）計(jì)算二重積分 其中積分區(qū)域D=【分析】 從被積函數(shù)與積分區(qū)域可以看出，應(yīng)該利用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算.【詳解】 作極坐標(biāo)變換：，有 =令，則 .記 ，則 = = = =因此 ， 六、（本題滿分9分）求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)f(x)及其極值.【分析】 先通過逐項(xiàng)求導(dǎo)后求和，再積分即可得和函數(shù)，注意當(dāng)x=0時(shí)和為1. 求出和函數(shù)后，再按通常方法求極值.【詳解】 上式兩邊從0到x積分，得 由f(0)=1, 得 令，求得唯一駐點(diǎn)x=0. 由于 ，可見f(x)在x=0處取得極大值，且極大值為 f(0)=1.求和函數(shù)一般都是先通過逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等轉(zhuǎn)化為可直接求和的幾何級(jí)數(shù)情形，然后再通過逐項(xiàng)積分、逐項(xiàng)求導(dǎo)等

11、逆運(yùn)算最終確定和函數(shù).七、（本題滿分9分）設(shè)F(x)=f(x)g(x), 其中函數(shù)f(x),g(x)在內(nèi)滿足以下條件： ，且f(0)=0, (1) (1) 求F(x)所滿足的一階微分方程；(2) (2) 求出F(x)的表達(dá)式.【分析】 F(x)所滿足的微分方程自然應(yīng)含有其導(dǎo)函數(shù)，提示應(yīng)先對(duì)F(x)求導(dǎo)，并將其余部分轉(zhuǎn)化為用F(x)表示，導(dǎo)出相應(yīng)的微分方程，然后再求解相應(yīng)的微分方程.【詳解】 (1) 由 = = =(2-2F(x),可見F(x)所滿足的一階微分方程為(2) = =將F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得 C=-1.于是 八、（本題滿分8分）設(shè)函數(shù)f(x)在0，3上連續(xù)，在（0

12、，3）內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.試證必存在，使【分析】 根據(jù)羅爾定理，只需再證明存在一點(diǎn)c，使得，然后在c,3上應(yīng)用羅爾定理即可. 條件f(0)+f(1)+f(2)=3等價(jià)于，問題轉(zhuǎn)化為1介于f(x)的最值之間，最終用介值定理可以達(dá)到目的.【詳解】 因?yàn)閒(x)在0，3上連續(xù)，所以f(x)在0，2上連續(xù)，且在0，2上必有最大值M和最小值m，于是 ， ， .故由介值定理知，至少存在一點(diǎn)，使 因?yàn)閒(c)=1=f(3), 且f(x)在c,3上連續(xù)，在(c,3)內(nèi)可導(dǎo)，所以由羅爾定理知，必存在，使九、（本題滿分13分）已知齊次線性方程組 其中試討論和b滿足何種關(guān)系時(shí)

13、，(1) 方程組僅有零解；(2) 方程組有非零解. 在有非零解時(shí)，求此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.【分析】方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相同，問題轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣行列式是否為零，而系數(shù)行列式的計(jì)算具有明顯的特征：所有列對(duì)應(yīng)元素相加后相等. 可先將所有列對(duì)應(yīng)元素相加，然后提出公因式，再將第一行的（-1）倍加到其余各行，即可計(jì)算出行列式的值.【詳解】 方程組的系數(shù)行列式 =(1) (1) 當(dāng)時(shí)且時(shí)，秩(A)=n，方程組僅有零解.(2) (2) 當(dāng)b=0 時(shí)，原方程組的同解方程組為 由可知，不全為零. 不妨設(shè)，得原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，當(dāng)時(shí)，有，原方程組的系數(shù)矩陣可化為 （將第1行的-1倍加到其余各行，再?gòu)牡?

14、行到第n行同乘以倍） （將第n行倍到第2行的倍加到第1行，再將第1行移到最后一行） 由此得原方程組的同解方程組為 ，.原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為 本題的難點(diǎn)在時(shí)的討論，事實(shí)上也可這樣分析：此時(shí)系數(shù)矩陣的秩為 n-1(存在n-1階子式不為零)，且顯然為方程組的一個(gè)非零解，即可作為基礎(chǔ)解系. 十、（本題滿分13分）設(shè)二次型，中二次型的矩陣A的特征值之和為1，特征值之積為-12.(1) (1) 求a,b的值；(2) (2) 利用正交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣.【分析】 特征值之和為A的主對(duì)角線上元素之和，特征值之積為A的行列式，由此可求出a,b 的值；進(jìn)一步求出A的

15、特征值和特征向量，并將相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后將特征向量單位化并以此為列所構(gòu)造的矩陣即為所求的正交矩陣.【詳解】 （1）二次型f的矩陣為 設(shè)A的特征值為由題設(shè)，有，解得 a=1,b= -2.(2) 由矩陣A的特征多項(xiàng)式 ，得A的特征值對(duì)于解齊次線性方程組，得其基礎(chǔ)解系 ，對(duì)于，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系 由于已是正交向量組，為了得到規(guī)范正交向量組，只需將單位化，由此得，令矩陣，則Q為正交矩陣. 在正交變換X=QY下，有，且二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為 本題求a,b，也可先計(jì)算特征多項(xiàng)式，再利用根與系數(shù)的關(guān)系確定：二次型f的矩陣A對(duì)應(yīng)特征多項(xiàng)式為設(shè)A的特征值為，則由題設(shè)得，解得a=1,b=2. 十一、（本題滿分13分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 F(x)是X的分布函數(shù). 求隨機(jī)變量Y=F(X)的分布函數(shù).【分析】 先求出分布函數(shù)F(x) 的具體形式，從而可確定Y=F(X) ,然后按定義求Y 的分布函數(shù)即可。注意應(yīng)先確定Y=F(X)的值域范圍，再對(duì)y分段討論.【詳解】 易見，當(dāng)x8 時(shí)，F(xiàn)(x)=1.對(duì)于，有 設(shè)G(y)是隨機(jī)變量Y=F(X)的分布函數(shù). 顯然，當(dāng)時(shí)，G(y)=0；當(dāng)時(shí)，G(y)=1. 對(duì)于，有 = =于是，Y=F(X)的分布函數(shù)為 事實(shí)上，本題X為任意連續(xù)型隨機(jī)變量均可，此時(shí)Y