1、華東理工大學(xué)線性代數(shù)作業(yè)簿（第一冊(cè)）學(xué)院專業(yè)班 級(jí)學(xué)號(hào)姓名課教師1.1矩陣的概念1. 矩陣 A = aj- 2i - j解：A-i_3-ni13 / 102設(shè)A，010衛(wèi)0-10 , C =2衛(wèi)30010 ,3其中對(duì)角陣為解：對(duì)角陣為三角陣有A, C, D.1.2矩陣的運(yùn)算3 -11.已知2|-2 0解：依題意，由-3X2 _131二O，求矩陣X.3X =64-3 3151 53 34即得X = | 31二2. 如果矩陣Am n與Bt s滿足AB BA，試求m,n,t,s之間的關(guān)系.解：m =n 二t =s.3.填空:-43171(1)1-23257(2) 1, 2, 3】2 =解:-35&#

2、39;-I(1)6 |; (2) 14; |-2493214 |；66 7_20 -58【_621-1, 2】= ;131；214 010-12_13 4 一1-31¥0-2110104. 已知矩陣A =001，試求與A可交換的所有矩陣.000解：由可交換矩陣的定義，知道所求矩陣必為a b其為B = dgclf，于是有AB =0000a10丄gc d f = |g3階方陣，不妨設(shè)fli0def0 0 1=0 d e衛(wèi)h i 一 0 0 0 一i0 g h 一b1caBA =由AB二BA，即得dg】000由相應(yīng)元素相等，則得fli0j pbl e hd = g= h= 0,a=e=i,

3、b = f,a b c故B = 0 a b （a,b,c均為任意常數(shù)）為與A可交換的所有矩陣.衛(wèi) 0 a 一5. 計(jì)算下列各題:,X2,X3a11a21.a31a12a22a32a13 丨 X1 Ia23a33 J|X3X2解：原式等于:a11X1a22 X2*33X3(a1a21 ) X1X2( a13a31 ) XIX3( a23*32 ) X2X3222 22 2伍1昭 143 1-22 一一 2 2 一1一 2 2 一2008-2007 17312008,求A-122貝U A2 =221，八 '431'.T2 -1 1.2一2 一解：記AA 二 _1_0,7 2008

4、= 3 669 1-A.=（_1）6692-，求 A9.解:A9一2 口1 口; I -2 j> 1，2，!=282566. 利用等式仃35-752 5_ -IJ2 5-372 0；o_計(jì)算17 ".：35-12_解: ?7 叮5 J2 32 015 一-7 3 _3197 -126635-12 _：5 703g -2一 = 7385 -2922一7. 某公司為了技術(shù)革新，計(jì)劃對(duì)職工實(shí)行分批脫產(chǎn)輪訓(xùn)，已知該公司現(xiàn)有2000人正在脫產(chǎn)輪訓(xùn)，而不脫產(chǎn)職工有 8000人，若每 年從不脫產(chǎn)職工中抽調(diào)30%的人脫產(chǎn)輪訓(xùn)，同時(shí)又有60%脫產(chǎn)輪 訓(xùn)職工結(jié)業(yè)回到生產(chǎn)崗位，設(shè)職工總數(shù)不變，令aJ

5、7 0化I8|0 . 30 . 4 I 2 0 0 0試用A與X通過矩陣運(yùn)算表示一年后和兩年后的職工狀況，并據(jù)此計(jì)算屆時(shí)不脫產(chǎn)職工與脫產(chǎn)職工各有多少人解：一年后職工狀況為：AX = 680013200一不脫產(chǎn)職工6800人，輪訓(xùn)職工3200人.兩年后職工狀況為：A f800L a2 X|668"3200 一3320 一不脫產(chǎn)職工6680人，輪訓(xùn)職工3320人.2 13 -18. 設(shè)矩陣 A= |， B = |，-4 -2 -_ 6 2 -求： AtBt -Bt At；(2) A2 -B2.解： atbt_btat= 23 0- 20-001-0125_1 0_ 0 051022212

6、13-13-1 AB = |I- I屮 -2-4 -< -6 2-6 2_0015-鼻-155_七 0_3 003010)是反對(duì)稱矩陣.(A) AB-BA;(B)9. 設(shè)A是對(duì)稱矩陣，B是反對(duì)稱矩陣，則(AB BA; (C) (AB)2; ( D) BAB .解：B._110.試將矩陣A= 32-111表示成對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣之和.3解:11A (A AT) (A -AT)二2252323232121211. 設(shè)A是反對(duì)稱矩陣，B是對(duì)稱矩陣，試證：AB是反對(duì)稱矩陣 的充分必要條件為A BA.證：必要性：由(AB)T = AB 及(AB)T = BTAT 二 B(-A)=-BA 即得 A

7、B = BA .充分性：若AB二BA，貝U(AB)T = BtAt = B(-A) =-BA = -AB，知 AB 是反對(duì)稱陣.12. 設(shè) f (x) =amXm amxm' I" a。，記 f (A)為方陣 A的多項(xiàng)式,f (A)二amAm amAmJ1 I" yA a)(1)，證明 f(TfJ f(02)；(2)設(shè) A 二 PPA ,證明f (A)二Pf (上)P.解:(0 1kf-2f (上)二 am1°m 0m'2am Jai0一0。罔1J I0011Jam'imf('1) 0am_1V+川 +a 人 +淚。00 1f色)0

8、 am人2m + am_入笄+川+ a人a0m .12(2) A = P上P， : Ak =P上kP，.f(A) = f(P上P)=amP上mp4 amJP-mJP4 JH - a1PPJ a0PPJ=Pf cop4 T13. 設(shè)矩陣A = l-2 ，其中I為n階單位陣，為n維列向量, a a試證A為對(duì)稱矩陣，且A2 =1 .證:AT 二（1TT2）ot a=1TT-2（十）丁 =1a otcT2T TT（m ） I - 2 t-二 A:- :故A是對(duì)稱矩陣,TA（I -2亠）（1a otT-2亠）=ICt CtT/ T 、T- 4-4 T 廠=I .（ ）1.3逆矩陣 1.設(shè)A為n階矩陣，且

9、滿足A2=A，則下列命題中正確的是（）.（B） A = I ；（A） A=0；（C）若A不可逆，則A = 0 ；（ D ）若A可逆，則A = I .解：D.2.設(shè)n階矩陣A、B、C滿足ABAC = I，則必有（A）CA2B= I ；（B）ATBTATCT=1 ；（C）BA2C= I ；（ D）A2B2A2C2二I .解：B.-'1-113已知矩陣A =-111-1-11-1-11證：由A2 =41，即可得T，求An及A°（ n是正整數(shù)）11(A2)2 =(4I)2 =2n I, n為偶數(shù)n、AnA =(4I) 2 A =2nA, n為奇數(shù)及 A (1 A) = I，亦即 A二

10、-A.444.已知n階矩陣A滿足A2 2A-3I = O , 求：A1, (A 21)，(A 41).(A + 21)解：依題意，有 A(A 2I)3I，即 Aj I，故1Ad -( A 2I)；3再由已知湊出(A 41)(A-21) =51，即得(A 4I) J = -(A-2I).55.設(shè)A、B、AB -I為同階可逆陣，試證：(1) A-B可逆；1_1-j1(2) (A-B') -A也可逆，且有(A-B°) -Aj =ABA-A.證：(1) A_B = ABB-B=(AB_ 1店 二 A_B 可逆.證法一：A_B4 - A4 = A-B- A_B，A_B_ A=A_B"* J I -I Bf AB A_B：- = (ABA_ A)J斗_斗t斗二(A-B-1) -