1、dvd在線租賃方案的優(yōu)化模型何榮堅、龐淑婷、曹國威摘 要本文對dvd在線租賃的需求預(yù)測、購買與分配等相關(guān)問題，進行合理的簡化假設(shè)，得到該問題的數(shù)學(xué)模型.對于dvd張數(shù)問題，根據(jù)需求預(yù)測表（題中表1），計算租賃周期上、下限的平均值，應(yīng)用圖論知識，利用會員對dvd的偏好程度建立二部圖和圖論度的計算得出對應(yīng)不同平均租賃周期的dvd數(shù)量結(jié)果.針對dvd的現(xiàn)有張數(shù)和訂單數(shù)，給出了權(quán)重矩陣和滿意度函數(shù)，建立以最大整體滿意度為單目標(biāo)的0-1整數(shù)規(guī)劃模型，利用lingo8.0軟件中的ole函數(shù)從excel中讀取權(quán)重系數(shù)矩陣，求解出最大整體滿意度和其分配方案.利用在線訂單，以最大整體滿意度和最小購買量為多目標(biāo)的

2、0-1整數(shù)規(guī)劃模型，通過線性加權(quán)法化多目標(biāo)為單目標(biāo)規(guī)劃，利用lingo8.0軟件求解出當(dāng)時，其最大整體滿意度分別為980.48，1000，978.3，1000，其最小購買量分別為981，1475，1805，2085.從網(wǎng)站角度考慮，分析需求預(yù)測、購買分配中聯(lián)系的參變量，確定了幾個值得研究的問題，提出并建立了以網(wǎng)站最大收益和最大整體滿意度為多目標(biāo)的規(guī)劃模型.關(guān)鍵詞：0-1整數(shù)規(guī)劃；租賃周期；滿意度1 問題的提出考慮如下的在線dvd租賃問題.顧客繳納一定數(shù)量的月費成為會員，訂購dvd租賃服務(wù).會員只要在線提交訂單，網(wǎng)站就會通過快遞的方式盡可能滿足要求.會員提交的訂單包括多張dvd，這些dvd是基于

3、其偏愛程度排序的.網(wǎng)站會根據(jù)現(xiàn)有的dvd數(shù)量和會員的訂單進行分發(fā). 請考慮以下問題：1）通過問卷調(diào)查1000個會員，得到了愿意觀看這些dvd的人數(shù).假設(shè)網(wǎng)站現(xiàn)有10萬個會員，對其中5種dvd來說，應(yīng)該至少準(zhǔn)備多少張，才能保證希望看到該dvd的會員中至少50%在一個月內(nèi)能夠看到該dvd？如果要求保證在三個月內(nèi)至少95%的會員能夠看到該dvd？2）如今給出了網(wǎng)站手上100種dvd的現(xiàn)有張數(shù)和當(dāng)前需要處理的1000位會員的在線訂單，如何對這些dvd進行分配，才能使會員獲得最大的滿意度？請具體列出前30位會員（即c0001c0030）分別獲得哪些dvd.3） 如果你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，你如何決定每種d

4、vd的購買量，以及如何對這些dvd進行分配，才能使一個月內(nèi)95%的會員得到他想看的dvd，并且滿意度最大？4）如果你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，你覺得在dvd的需求預(yù)測、購買和分配中還有哪些重要問題值得研究？請明確提出你的問題，并嘗試建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.2 基本假設(shè)與符號約定2.1 基本假設(shè)2.1.1 網(wǎng)站在不太長的時間內(nèi)會員人數(shù)沒有太大的變化,網(wǎng)站每月的月費收入基本保持不變；2.1.2 不同電影的dvd的價格相差不大，視作相等；2.1.3 網(wǎng)站用速遞方式將dvd送交給會員，以及會員將dvd郵寄給網(wǎng)站的時間都很短，視為即日到達.郵寄每次都是三只dvd，而且郵費都是一定的；2.1.4 允許網(wǎng)站不對部分訂

5、單作處理；2.1.5 每個會員每個月租賃次數(shù)不得超過2次，每次獲得3張dvd.會員看完3張dvd之后，只需要將dvd放進網(wǎng)站提供的信封里寄回（郵費由網(wǎng)站承擔(dān)），就可以繼續(xù)下次租賃；2.1.6 60%的會員每月租賃dvd兩次，而另外的40%只租一次.2.2 符號約定：會員總數(shù)，其中在問題一中，萬；在問題二、三中，；：dvd種數(shù)，其中在問題一中，；在問題二、三中，；：會員租借dvd的平均租賃周期；：dvdj的現(xiàn)有張數(shù)，；：dvdj在會員的定單中的偏好程度，；：會員對dvdj的權(quán)重系數(shù)， ，；：對于網(wǎng)站的分配方案,會員的滿意度，；：所有會員對網(wǎng)站分配方案的總滿意度.3 dvd數(shù)量的圖論模型3.1 平

6、均周期的上、下限會員租dvd一次（含看及周轉(zhuǎn)dvd）的時間稱為租賃周期，而個會員的平均租賃周期為.一般情況下，一個月內(nèi)租dvd一次的會員當(dāng)中，最小租賃周期為15天，最大租賃周期為30天；一個月內(nèi)租dvd兩次的會員當(dāng)中，最小租賃周期為5天，最大租賃周期為15天.根據(jù)上面所述及假設(shè)2.1.6可得平均周期上、下限.計算其平均值（數(shù)學(xué)期望），有：于是3.2 圖論模型令為會員集合， 為不同dvd集合.以為頂點集，若會員愿意觀看，則連一條邊，則得到一個圖（二部圖）易知：中每個頂點的度， .的度與的度相等，即是一個簡單二部圖或偶圖.3.3 模型的轉(zhuǎn)化及求解1）設(shè)dvd應(yīng)準(zhǔn)備的張數(shù)為；2）用表示會員一個月租d

7、vd的張數(shù)（不同），或，它是一個隨機變量；由假設(shè)3及“每次獲得3張dvd”知，；3）試在中找一個生成二部子圖，（滿足或6）.3.4 dvd數(shù)量的計算1）一個月50%的滿足： 的結(jié)果為：平均租賃期910111213dvd130013334366740014334dvd215001667183420002167dvd375183491710001084dvd4376417459501542dvd5150167184200217由上表可知，當(dāng)平均租賃期為9天時，所需的五種dvd數(shù)量最少. 2）三個月95%的滿足： 的結(jié)果為：平均租賃期910111213dvd119012112232325342745

8、dvd29511056116212671373dvd3476528581634687dvd4238264291317344dvd596106117127138由上表可知，當(dāng)平均租賃期為9天時，所需的五種dvd數(shù)量也最少.4 dvd分配方案模型4.1 矩陣表示由題目的在線訂單數(shù)據(jù)表，可得到dvd的現(xiàn)有數(shù)量矩陣設(shè)表示會員在100種dvd中選擇了種，從數(shù)據(jù)表得知有三個取值8，9，10.我們知道，會員的在線訂單用數(shù)字1,2,表示，數(shù)字越小表示會員的偏愛程度越高，即數(shù)字1表示會員對于對應(yīng)dvd的偏愛程度最高，數(shù)字2,3,.,表示其偏愛程度逐漸下降.把會員的偏愛程度進行量化：對于每一個，當(dāng)會員在100種d

9、vd中選擇了種時，定義分段函數(shù)其中表示會員對的偏愛權(quán)重系數(shù).可以建立選擇權(quán)重矩陣=4.2 滿意度函數(shù)由于每個會員每個月租賃次數(shù)不得超過2次，每次獲得3張dvd.不妨假設(shè)會員獲得其偏愛權(quán)重前三位的dvd時，會員的滿意度就達到100%.而滿意度為100%時，我們不妨假設(shè)此時滿意度為1 .考慮問題二中要處理的租賃，令于是，可以定義會員的滿意度為所有會員的整體滿意度為問題二要求對100種dvd進行分配，使得會員獲得最大的滿意度，即要使達到最大值. 4.3 dvd數(shù)量模型在分配方案中每種dvd租賃出去的總張數(shù)不應(yīng)超過其現(xiàn)有數(shù)量（對應(yīng)模型的式（2）即dvd現(xiàn)有數(shù)量的約束.而在當(dāng)前dvd在線訂單中，每個會員

10、只能獲得3張dvd（對應(yīng)模型的式（3）.而是一個決策變量,當(dāng)=0時說明了編號為j的dvd沒有租賃給會員.根據(jù)上面模型的分析，我們以整體滿意度為目標(biāo)函數(shù)的單目標(biāo)規(guī)劃，建立0-1整數(shù)規(guī)劃模型如下：模型：4.4 模型的求解及結(jié)果在模型的求解過程中，利用lingo8.0軟件中的ole函數(shù)直接將權(quán)重系數(shù)矩陣（1000100）（此權(quán)重系數(shù)矩陣是電子表格的格式）輸入到內(nèi)存，通過max函數(shù)編程求解10萬個決策變量的線性規(guī)劃模型（程序段見附錄1），可得局部最優(yōu)解如下表所示（列出會員編號為c0001c0030的個人滿意度和分配方案）：會員編號個人滿意度分配到的dvd的編號會員編號個人滿意度分配到的dvd的編號c0

11、0010.7916784198c00160.96296108497c00020.9629664462c00171475167c00030.95238325080c00181416078c0004171841c00190.88889666786c00051116668c00201456189c00060.96296195366c00210.92593455053c00070.83333266681c00221385557c00080.48148263135c00231298195c000915378100c00240.96296374176c00100.81481415585c00250.962

12、9696981c00110.95833596366c00261226895c00120.8518523141c00270.77778505878c00131217896c0028183482c00140.88889235289c00290.96296263055c00150.74074136685c00300.92593376298在此種方案中，計算出1000個會員的總滿意度為：.5 dvd購買量與分配方案模型5.1 數(shù)學(xué)模型問題三要求站在網(wǎng)站角度考慮，如何購進最少dvd同時獲得要求最大的滿意度.與問題二模型相似，在滿足最大整體滿意度和最小均衡滿意度的基礎(chǔ)上，繼而考慮dvd的購買量要盡量小.于

13、是，建立以整體滿意度（即模型中的式（5）和購買量（即模型中的式（6）為三目標(biāo)函數(shù)的0-1整數(shù)規(guī)劃模型.下面討論問題三的約束條件：1）分配方案中dvd數(shù)量的約束：在此分配方案中，要使95%的會員得到他想看的dvd，即對于分配方案中的每一種dvd，其人數(shù)百分比都應(yīng)在95%以上（對應(yīng)模型的式（7）；2）會員租賃dvd數(shù)量的約束：在當(dāng)前dvd在線訂單中，每個會員只能獲得3張dvd（對應(yīng)模型的式（8）.設(shè)：購進dvdj的張數(shù).建立模型如下所示:模型：5.2 模型的轉(zhuǎn)化、求解及結(jié)果在模型的求解過程中，我們通過線性加權(quán)法化雙目標(biāo)為單目標(biāo)規(guī)劃,其中，簡化后模型如下：這是一個0-1整數(shù)規(guī)劃模型，利用lingo8

14、.0軟件中的ole函數(shù)直接將權(quán)重系數(shù)矩陣（1000100）（此權(quán)重系數(shù)矩陣是電子表格的格式）輸入到內(nèi)存，通過max函數(shù)編程求解，得出局部最優(yōu)解如下所示：當(dāng)平均租賃周期為 10天時，所需dvd個數(shù)有981個.其中每種dvd個數(shù)分別如下表所示：dvd編號d001d002d003d004d005d006d007d008d009d010dvd張數(shù)1212913791011118dvd編號d011d012d013d014d015d016d017d018d019d020dvd張數(shù)1010910912991012dvd編號d021d022d023d024d025d026d027d028d029d030dvd

15、張數(shù)11912791086813dvd編號d031d032d033d034d035d036d037d038d039d040dvd張數(shù)101110101311710109dvd編號d041d042d043d044d045d046d047d048d049d050dvd張數(shù)17129111181081011dvd編號d051d052d053d054d055d056d057d058d059d060dvd張數(shù)13911910111091112dvd編號d061d062d063d064d065d066d067d068d069d070dvd張數(shù)9101011101010111110dvd編號d071d072

16、d0730d074d075d076d077d078d079d080dvd張數(shù)121181098710109dvd編號d081d082d083d084d085d086d087d088d089d090dvd張數(shù)967611711889dvd編號d091d092d093d094d095d096d097d098d099d100dvd張數(shù)129871381110611下面列出前三十名會員的滿意度和分配方案：會員編號個人滿意度分配到的dvd編號會員編號個人滿意度分配到的dvd編號c00010.3754816c0016168497c0002164244c00171475167c0003145080c0018

17、1416078c0004171841c00191678486c00051116668c00201456189c00061161953c00210.703734553c0007182681c00221385557c00081157199c00231298195c000915378100c00241417679c00101556085c0025196994c00111195963c00261226895c001212731c00271224258c00131217896c0028183482c00140.703722352c00291304455c00150.703721388c003011376

18、2平均租賃周期為：10，總滿意度為980.48.當(dāng)平均租借周期為15天時，所需dvd個數(shù)有1475個.其中每種dvd個數(shù)分別如下表所示：dvd編號d001d002d003d004d005d006d007d008d009d010dvd張數(shù)10181319101415161712dvd編號d011d012d013d014d015d016d017d018d019d020dvd張數(shù)14151415131914131519dvd編號d021d022d023d024d025d026d027d028d029d030dvd張數(shù)19141315191513101220dvd編號d031d032d033d034d

19、035d036d037d038d039d040dvd張數(shù)14171515191710151414dvd編號d041d042d043d044d045d046d047d048d049d050dvd張數(shù)26171317171216121617dvd編號d051d052d053d054d055d056d057d058d059d060dvd張數(shù)19131613151615141718dvd編號d061d062d063d064d065d066d067d068d069d070dvd張數(shù)16151417181515171615dvd編號d071d072d0730d074d075d076d077d078d079

20、d080dvd張數(shù)18171215141210151514dvd編號d081d082d083d084d085d086d087d088d089d090dvd張數(shù)1491110161017121213dvd編號d091d092d093d094d095d096d097d098d099d100dvd張數(shù)1914121119121816917下面列出前三十名會員的滿意度和分配方案：會員編號個人滿意度分配到的dvd編號會員編號個人滿意度分配到的dvd編號c0001188298c0016168497c0002164244c00171475167c0003145080c00181416078c00041718

21、41c00191678486c00051116668c00201456189c00061161953c00211455365c0007182681c00221385557c00081157199c00231298195c000915378100c00241417679c00101556085c0025196994c00111195963c00261226895c001212731c00271224258c00131217896c0028183482c00141234352c00291304455c00151138588c0030113762平均租賃周期為：15，總滿意度為1000 .當(dāng)租借周期

22、為18天時，所需dvd個數(shù)有1805個.其中每種dvd個數(shù)分別如下表所示：dvd編號d001d002d003d004d005d006d007d008d009d010dvd張數(shù)13221722131718202115dvd編號d011d012d013d014d015d016d017d018d019d020dvd張數(shù)17191718152317161922dvd編號d021d022d023d024d025d026d027d028d029d030dvd張數(shù)21182114181916121525dvd編號d031d032d033d034d035d036d037d038d039d040dvd張數(shù)182

23、11818242113181717dvd編號d041d042d043d044d045d046d047d048d049d050dvd張數(shù)32211621201519151919dvd編號d051d052d053d054d055d056d057d058d059d060dvd張數(shù)24152015181919172122dvd編號d061d062d063d064d065d066d067d068d069d070dvd張數(shù)17191921191818211918dvd編號d071d072d0730d074d075d076d077d078d079d080dvd張數(shù)22191518171512181817dv

24、d編號d081d082d083d084d085d086d087d088d089d090dvd張數(shù)18111212201321141516dvd編號d091d092d093d094d095d096d097d098d099d100dvd張數(shù)23171514241522191121下面列出前三十名會員的滿意度和分配方案：會員編號個人滿意度分配到的dvd的編號會員編號個人滿意度分配到的dvd的編號c00010132752c0016168497c0002164244c00171475167c0003145080c00181416078c0004171841c00191678486c00050.96296

25、216668c00200.703724589c00061161953c00211455365c0007182681c00221385557c00080.703767199c00231298195c000915378100c00241417679c00101556085c0025196994c00111195963c00261226895c001212731c00271224258c00131217896c0028183482c00141234352c00291304455c00151138588c0030113762平均租賃周期為：18，總滿意度為：978.3 .當(dāng)租借周期為21天時，所需dv

26、d個數(shù)有2085個.其中每種dvd個數(shù)分別如下表所示：dvd編號d001d002d003d004d005d006d007d008d009d010dvd張數(shù)15251926151718202115dvd編號d011d012d013d014d015d016d017d018d019d020dvd張數(shù)20221922192619182226dvd編號d021d022d023d024d025d026d027d028d029d030dvd張數(shù)24202415202218131728dvd編號d031d032d033d034d035d036d037d038d039d040dvd張數(shù)2024222227241

27、5212019dvd編號d041d042d043d044d045d046d047d048d049d050dvd張數(shù)36241824241722172224dvd編號d051d052d053d054d055d056d057d058d059d060dvd張數(shù)28182318222222192425dvd編號d061d062d063d064d065d066d067d068d069d070dvd張數(shù)19222224222221242321dvd編號d071d072d073d074d075d076d077d078d079d080dvd張數(shù)25241722191714212219dvd編號d081d082

28、d083d084d085d086d087d088d089d090dvd張數(shù)20131513231524171719dvd編號d091d092d093d094d095d096d097d098d099d100dvd張數(shù)27191716281725221324下面列出前三十名會員的滿意度和分配方案：會員編號個人滿意度分配到的dvd的編號會員編號個人滿意度分配到的dvd的編號c0001188298c0016168497c0002164244c00171475167c0003145080c00181416078c0004171841c00191678486c00051116668c00201456189

29、c00061161953c00211455365c0007182681c00221385557c00081157199c00231298195c000915378100c00241417679c00101556085c0025196994c00111195963c00261226895c001212731c00271224258c00131217896c0028183482c00141234352c00291304455c00151138588c0030113762平均租賃周期為：21，總滿意度為1000 .6 dvd的需求預(yù)測、購買和分配中的相關(guān)問題作為網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，在dvd的需求預(yù)測、

30、購買和分配中還有一些重要問題值得研究.6.1 變量的依賴關(guān)系1）對于網(wǎng)站，需求預(yù)測與會員的偏愛程度（隨時間變化而變化，即是時間的函數(shù)）以及每個會員每次租賃dvd張數(shù)有關(guān).其中，需求預(yù)測即各種dvd的愿看人數(shù)（單位：人）.它決定了每種dvd的購買量.而購買量又與租賃周期（平均）、滿足會員百分比（題中、等）以及每次租賃張數(shù)有關(guān).2）對于網(wǎng)站來說，購買總量（價格相同時）或總價格（為的單價）最小，從而成本最小.3）購買量影響分配方案，而分配方案與（見上）、會員滿意度有關(guān)總體滿意度6.2 函數(shù)關(guān)系及模型1） 固定，是的增函數(shù).2），考慮 固定時，是的增函數(shù)；固定時，是的增函數(shù)；固定時，是的增函數(shù).3）

31、6.3 值得研究的問題1）租賃周期2）租賃張數(shù)3）一般的租賃原則4）購買總價格5）會員人數(shù)6）一般的網(wǎng)站總收入6.4 明確的問題及數(shù)學(xué)模型6.4.1 對于會員的月費不變，每張dvd的單價不變.試確定網(wǎng)站經(jīng)營方案（包括確定，每月租賃次數(shù)），使網(wǎng)管總收入最大.6.4.2 數(shù)學(xué)模型要使總收入增加，就要使會員人數(shù)變，就需會員滿意度高.于是其中h表示網(wǎng)站日常的開銷，如網(wǎng)頁管理費，郵寄費用等.約束條件：依賴關(guān)系決策變量：7 模型的討論與推廣在dvd分配方案模型中,我們只考慮到所有會員的總體滿意度函數(shù)為目標(biāo)的最大化問題,只追求總體的滿意度最大,而沒有考慮到會員之間的滿意度應(yīng)盡量均衡.故我們可以定義均衡滿意度函數(shù) :作為目標(biāo)函數(shù),這樣就使得會員之間滿意度的差距比較少,同時也達到了總體滿意度盡可能大.同理,我們也可以在dvd購買量與分配方案模型引入該函數(shù),使得解更優(yōu)化,使模型更符合現(xiàn)實.參考文獻：1 魏宗舒等，概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程，北京：高等教育出版社，1983年.2 王沫然，matlab6.0與科學(xué)計算，北京：電子工業(yè)出版社，2