山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 無窮區(qū)間上復(fù)系數(shù)二階自伴差分方程的譜問題 孫華清 ( 山東大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)院，濟(jì)南，山東2 5 0 1 0 0 ) 摘要 微分及差分算子譜問題分為兩類：定義在有限區(qū)問上且系數(shù)具有很好性質(zhì)的譜問 題稱為正則譜問題；否則，譜問題稱為奇異譜問題對(duì)于實(shí)系數(shù)二階自伴微分算子奇異 譜問題的研究起始于1 9 1 0 年h w e y l 的工作。隨后，e c t i t c h m a r s h ，e a c o d d i n g - t o n n l e v i n s o nf 1 等數(shù)學(xué)家把他的結(jié)果進(jìn)一步深化完善，形成了t i t c h m a r s h w e y l 理論 實(shí)系數(shù)二階自伴差分算子譜問題的研究最早見于a t k i n s o n 的著作【2 1 9 9 5 年， 在a t k i n s o n 等人工作的基礎(chǔ)上， j i r a r if 3 1 系統(tǒng)研究了實(shí)系數(shù)二階奇異自伴差分算子 譜問題然而，已有成果很多是關(guān)于實(shí)系數(shù)自伴微分或差分算子的據(jù)我們所知，目 前還沒有發(fā)現(xiàn)有關(guān)復(fù)系數(shù)二階奇異自伴差分算子譜問題研究結(jié)果本文填補(bǔ)了這一空 白，確立了復(fù)系數(shù)二階形式自伴差分算子的表達(dá)式系統(tǒng)研究了復(fù)系數(shù)二階奇異自伴 差分算子的譜問題，完善了二階奇異自伴差分算子的譜理論 復(fù)系數(shù)二階形式自伴差分方程可化為離散線性h a m i l t o n 系統(tǒng)最近幾年，h a m i l t o i l 系統(tǒng)譜理論的研究已引起了許多學(xué)者的興趣，取得了許多成果然而，離散線性 h a m i l t o n 系統(tǒng)的正則譜問題與奇異譜問題譜函數(shù)之間關(guān)系尚未給出對(duì)于復(fù)系數(shù)二階 奇異形式自伴差分算子來說，本文解決了這一問題 二階形式自伴差分算子極限類型的不同影響著自伴邊值條件的取定史玉明在文 f 4 1 中，給出離散線性h a m i l t o n 系統(tǒng)極限點(diǎn)型的四個(gè)充要條件。但這些充要條件不是 用系數(shù)表示的條件，不易使用本文建立了用系數(shù)表示的二階奇異差分算子極限點(diǎn)型 與極限圓型的幾個(gè)判別準(zhǔn)則總之，本文為進(jìn)一步研究復(fù)系數(shù)高階奇異自伴差分算子 和離散線性h a m i l t o n 系統(tǒng)的譜問題奠定了基礎(chǔ)全文共分三章 由于復(fù)系數(shù)二階形式自伴算子的表達(dá)式仍為被具體給出，所以第一章首先給出了 復(fù)系數(shù)二階形式自伴差分算子的定義，然后給出了其具體表達(dá)式，討論了它的有關(guān)性 質(zhì)，同時(shí)討論了算子在有限區(qū)聞上的正則譜問題，其中，定理1 ，4 1 在第二章的討論中 起到重要作用這一章是全文的基礎(chǔ)。 在第二章中，我們將對(duì)二階復(fù)系數(shù)奇異自伴差分算子進(jìn)行系統(tǒng)的研究首先在第 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 二節(jié)給出算子的分類把算子分為極限點(diǎn)型和極限圓型，然后研究了不同類型算子的 特點(diǎn)，主要結(jié)果為定理2 2 1 2 2 2 第三節(jié)具體研究了算子譜問題給出了正則譜問題 與奇異譜問題譜函數(shù)之間關(guān)系( 見定理2 3 1 ) ，建立了矩陣函數(shù)m ( a ) 與譜函數(shù)p ( a ) 之問的關(guān)系( 見定理2 3 4 ) 這一章推廣了實(shí)系數(shù)奇異自伴差分算子譜理論 本文在第三章利用方程系數(shù)建立了幾個(gè)極限點(diǎn)型與極限圓型判定定理，推廣了文 3 】，【5 l ，【2 7 1 中的相關(guān)結(jié)果首先，第二節(jié)給出了幾類二階差分方程之問的轉(zhuǎn)換 在第三節(jié)中，利用有關(guān)方程解的一個(gè)恒等式( 見命題3 , 3 1 ) ，建立了極限點(diǎn)型的判定 定理3 31 ，定理3 3 3 它們分別推廣了【2 一 中定理1 0 ，【3 】中定理3 1 1 ，1 ，而定理 3 3 2 則推廣了| 5 1 中的定理3 3 第四節(jié)首先把方程化成方程組，然后建立了一個(gè)板 限圓型判定定理3 ，4 ，1 最后。利用方程的系數(shù)建立了一個(gè)極限圓型判定定理3 4 2 ， 該結(jié)果推廣了f 5 1 中定理3 1 。 關(guān)鍵詞：復(fù)系數(shù)二階差分算子奇異譜問題，極限點(diǎn)型和極限圓型，矩陣函數(shù)m ( a ) 譜函數(shù)p ( a ) 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 s e c o n d o r d e rs e l f - a d j o i n td i f f e r e n c e e q u a t i o n sw i t hc o m p l e x c o e f f i c i e n t s w i t ht w o s i n g u l a rp i o n t s h u a q i n gs u n ( s d i o o lo fm a t h a n ds y s s c i ，s h a n d o n gu n i x , ，j i n a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t t h es p e c t r a lp r o b l e m so fd i t f e r e n t i a la n dd i f i e r e n c eo p e r a t o r sa r ed i v i d e di n t o t w oc l a s s i f l e a t i o n s t h o s ed e f l i i e do v e rf i n i t ei n t e r v a l sw i t hw e l l - b e h a v e dc o e f f i c i e n t s a r er e g u l a r o t h e r w i s e ，t h e ya r ec a l l e ds i n g u l a r t h ep r o b l e m so fs i n g u l a rd i f f e r e n t i a l o p e r a t o r sh a v eb e e ns t u d i e df o ral o n gt i m es i n c et h ee a r l ) , w o r ko fh w e y l h ew a s f o l l o w e db ye c t i f c h m a r s he a c o d d i n g t o n ，n l e v i s o n 【1 s ot h i st h e o r yi sc a l l e d t h et i t c h m a m h - w e y lt h e o r y t h es i n g u l a rs p e c t r a lp r o b l e m so fs e c o n d o r d e rs e l f - a d j o i n td i f i e r e n c eo p e r a t o r s w i t hr e a lc o e f f i c i e n t sw e r ef i r s t l ys t u d i e db yf ，v a t k i n s o n 【2 】o nt h eb a s i so ft h e w o r ko fa t k i n s o n ，t h es p e c t r a lt h e o r yf o rs e c o n d - o r d e r s e l f - a d j o i n td i f f e r e n c eo p e r a - t o r sw i t ho n l yr e a lc o e f f i c i e n t sw a si n v e s t i g a t e di n1 9 9 5b yj i r a r ii n 【3 h o w e v e r ， m a n ya u t h o r sh a v ef o c u s e do nt h es p e c t r a lt h e o r yf o rs e c o n d - o r d e rs e l f - a d j o i n td i f f e r - e n c eo p e r a t o r sw i t hr e a lc o e f f i c i e n t s i ts e e m ss e l d o mt os t u d yt h es p e c t r a lt h e o r y f o r t h o s ew i t hc o m p l e xc o e f f i c i e n t s i nt h i sp a p e r ，w es h a l le s t a b l i s ht h es p e c t r a lt h e o r yf o r s e c o n d o r d e rs e l f - a d j o i n td i f f e r e n c eo p e r a t o r sw i t hc o m p l e xc o e f f i c i e n t s ，w h i c hi m p r o v e s t h ee x i s t i n gr e s u l t s s e c o n d o r d e rf o r m a l l ys e l f - a d j o i n td i f f e r e n c ee q u a t i o n sc a l lb ec o n v e r t e di n t od i s - c r e t eh a m i l t o n i a ns y s t e m s i nr e c e n ty e a r s ，m a n ym a t h e m a t i c i a n sh a v eb e e ni n t e r e s t e d i ns p e c t r a lt h e o r yf o rh a m i l t o n i a ns y s t e m s ，a n ds o m ee x c e l l e n tr e s u l t sw e r eo b t a i n e d h o w e v e r ，t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es p e c t r a lf u n c t i o no fr e g u l a rp r o b l e m s f o rd i s c r e t e h a m i l t o n i a ns y s t e m sa n dt h a to fs i n g u l a rp r o b l e m sf o rd i s c r e t eh a m i l t o n i a ns y s t e m s h a sn o tb e e ng i v e ny e t i nt h i sp a p e r ，w es h a l ls o l v et h i sp r o b l e mf o rs i n g u l a rs e c o n d o r d e rs e l f - a d j o i n td i f f e r e n e eo p e r a t o r s t h es e l f - a d j o i n tb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r ed i f f e r e n tf o rt h ed i f f e r e n tt y p e so fo p - 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 e r a t o r s ，f o u re q u i v a l e n tc o n d i t i o n sf o rt h ed i s c r e t el i n e a rh a m i l t o n i a ns y s t e m st ob e t h el i m i t p i o n tc a s ew a sg i v e nb yv s h ii n 【4 】h o w e v e r ，t h e s ec o n d i t i o n sw a sn o t f o r m u l a t e db yu s i n gt h ec o e f f i c i e n t sa n di sn o tp r a c t i c a le n o u g h i nt h i sp a p e r ，w e e s t a b l i s has e r i e so fc r i t e r i af o rs i n g u l a rs e c o n d o r d e rs e l f - a d j o i n to p e r a t o r sw i t ho n e s i n g u l a rp o i n tt ob et h el i m i t - - p o i n tc a s eo rl i m i t - c i r c l ee a s ei nt e r m so fc o e f f i c i e n t so f d i f f e r e n c ee q u a t i o n s i ns h o r t ，w ee s t a b l i s hab a s i so fs t u d y i n gt h eh i g h e r o r d e rs e l f - a d j o i n td i f f e r e n c e o p e r a t o rw i t hc o m p l e xc o e f f i c i e n t sa n dd i c r e t el i n e a rh a m i l t o n i a ns y s t e m s t h ep a p e r i sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，t h ef o r m a l l ys e l f - a d j o i n td i f f e r e n c ee x p r e s s i o ni sf i r s t l yf o r m u l a t e d a n ds o m ef u n d a m e n t a lp r o p e r t i e sa r ec o l l e c t e d a tt h es a m et i m e w ed i s c u s st h er e g - u l a rs p e c t r a lp r o b l e m s e s p e c i a l l y ：t h e r o e m1 4 1 p l a y sai m p o r t a n tp o l ei nc h a p t e r t w o t h i sc h a p t e ri st h eb a s i so ft h ew h o l ep a p e r i nc h a p t e rt w o ，w ef i r s t l yi n t r o d u c et h ec l a s s i f i c a t i o n so f s i n g u l a rf o r m a l l ys e l f - a d j o i n t 。s e c o n d o r d e ro p e r a t o r s ：t h el i m i t p i o n ta n dl i m i t c i r c l ec a s e s i na d d i t i o n ，w e s t u d yt h ec h a r a c t e r so fo p e r a t o r so fd i f f e r e n tc a s e sa n dt h e nt h e o r e m2 2 1 2 2 2a r e o b t a i n e d s e c o n d l y , i ns e c t i o nt h r e e lt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es p e c t r a lf u n c t i o no f r e g u l a rp r o b l e m sa n dt h a to fs i n g u l a rp r o b l e m si sd i s c u s s e d ( s e et h e o r e m2 3 1 ) ，a n d t h er e l a t i o no fm c a ) t ot h es p e c t r a lf u n c t i o np ( a ) i se s t a b l i s h e d ( s e et h e o r e m2 3 4 ) i n t h i sc h a p t e r ，t h es p e c t r a lt h e o r yo f s i n g u l a rs e l f - a d j o i n to p e r a t o r sw i t hr e a lc o e f f i c i e n t s i se x t e n d c h a p t e rt h r e ei sd e v o t e dt ot h ec r i t e r i ao ft h el i m i t p o i n tc a s ea n dl i m i t c i r c l ec a s e i nt e r m so fc o e f f b c i e n t so fd i f f e r e n c ee q u a t i o n sa n dt h e nt h er e l a t e dr e s u l t so f1 3 】1 【5 】 【2 7 】a r ee x t e n d t h ee q u i v a l e n c ef o rt h ed i f f e r e n c ee q u a t i o n so fd i f f e r e n tf o r m st ob e t h el i m i t p i o n ta n dl i m i t - c i r c l ec a s e si sf i s r t l yg i v e ni ns e c t i o nt w o i ns e c t i o nt h r e e ，b y u s i n gae q u t i o nr e l a t e dt ot h es o l u t i o n so fd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ( s e ep r o p o s t i o n3 3 1 ) ， w ee s t a b l i s ht h ec r i t e r i ao fl i m i t p i o n tc a s e ：t h e o r e m3 3 1a n dt h e o r e m3 3 3 w h i c h e x t e n dt h er e s u l to f 【2 7 ，t h e o r e m1 0a n d 【3 1 ，t h e o r e m3 i i 1 ，r e s p e c t i v e l y a tt h e s a m et i m e ，t h e o r e m3 3 2e x t e n dar e s u l to f 【5 1 ，t h e o r e m3 3 s e c t i o nt h r e ei sd e v o t e d t ot h ec r i t e r i af o ra s i n g u l a rs e c o n d - o r d e rs e l f - a d j o i n to p e r a t o rt ob el i m i t c i r c l ec a s e b yc o v e r t i n ge q u a t i o n si n t oe q u a t i o ns y s t e m ，w ee s t a b l i s ht h e o r e m3 4 1 w ea l s oe s - t a b l i s hac r i t e r i o no fl i m i t - c i r c l ec a t h e o r e m3 4 2i nt e r m so fc o e m c i e n t so f d i f f e r e n c e e q u a t i o n s ，w h i c he x t e n dt h et h e o r e m3 ，1 i nf 5 1 v 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 k e y w o r d s ：s i n g a d a rs p e c t r a lp r o b l e m so fs e c o n d o r d e rs e l s a d j o i n td i f f e r e e e o p e r a t e r s h a m i l t o n i a ns 3 s t e m s ，l i m i t p o i n tc a s ea n dl i m i t - c i r c l ec a s e m a t r i x v a l u e d f i m c t i o nj ，( a ) ，s p e c t r a lf i m c t i o np ( a ) 附件一 原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn) 行研究所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何 其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的科研成果。對(duì)本文的研究作出重要貢 獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本聲明的法律責(zé)任由本人 承擔(dān)。 論文作者簽名： 列p 歹，伊 關(guān)于學(xué)位論文使用授權(quán)的聲明 本人完全了解山東大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)校保 留或向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱 和借閱；本人授權(quán)山東大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān) 數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或其他復(fù)制手段保存論文和匯編本 學(xué)位論文。 ( 保密論文在解密后應(yīng)遵守此規(guī)定) 論文作者簽名：墨4 1 堡遣導(dǎo)師簽名：迦! 翌1 日 期；蘭竺竺：苧：里 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 符號(hào)說明 向后差分 向前差分 矩陣a 的模 向量z 的模 矩陣a 的行列式 復(fù)數(shù)域 2 2 階單位矩陣 標(biāo)準(zhǔn)2 2 辛矩陣 復(fù)數(shù)a 的虛部 復(fù)數(shù)a 的實(shí)部 d + 1 ，+ 2 ，b o 1 2 ，) 一2 ，一1 0 ，1 2 ， 二階形式自伴差分算子 定義在區(qū)間【a 一1 ，b + 1 】上的函數(shù)空聞 定義在區(qū)聞【口，6 】上加權(quán)( w ) 的平方可和空間 定義在區(qū)間【0 ，o o ) 上加權(quán)( w ) 的平方可和空問 定義在區(qū)聞( 一o 。，o 。) 上加權(quán)( w ) 的平方可和空間 定義在區(qū)間【0 ，o 。) 上的平方可和空問 算子m 的形式伴隨算子 矩陣u 轉(zhuǎn)值 矩陣u 轉(zhuǎn)值共軛 矩陣u 的虛部 算子：的權(quán)函數(shù) 函數(shù)，z 的朗斯基行列式 v 1 1 x 文 西 i l a a a 耐 一h卜卟h r 彬伽 可洲樅c如，m m，刪一擴(kuò)擴(kuò)擴(kuò)m州一 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 第一章復(fù)系數(shù)二階形式自伴差分算子的構(gòu)形 及其基本結(jié)論 1 1 引言 考慮復(fù)系數(shù)二階形式自伴差分方程： 的) ：2 ”( “) “ - v ( p ( “) 州) + q ( n ) 州 n 川1 ) + 2 土( r ( 禮) ( 扎) ) + r ( 竹) v 材( n ) 】) = a 可( n ) 4。 、。 其中v 和分別為向后差分和向前差分，即v y ( n ) = ( n ) 一( n 1 ) ，- y ( n ) = ( n + 1 ) 一g ( n ) ：p ( n ) ，口( n ) ，r ( n ) ，w ( n ) 均為實(shí)數(shù)；在區(qū)問【n ，嘲上，w ( n ) 0 ，并且 在區(qū)問【a 一1 ，6 1 上p ( n ) o ；【n 6 1 = n a + 1 ，b ) ，其中a ，b 均可為有限整數(shù)或 n = 一o c ，6 = o c ；a 是復(fù)參數(shù) 當(dāng)( 1 1 1 ) 中r ( n ) 蘭0 時(shí)，( 1 ，11 ) 變成實(shí)系數(shù)二階形式自伴差分方程： l y ( n ) ：= u 7 ( n ) 一1 - v ( p c n ) yc n ) ) + q ( n ) y ( n ) = a g ( n ) ， 【1 12 ) p ( n ) ，口( n ) ，w ( n ) 均為實(shí)數(shù)；在區(qū)間 a ，糾上，w ( n ) 0 ，并且在區(qū)問【口一1 ，6 上， p ( n ) 0 ；a 是復(fù)參數(shù) 我們稱l 為與方程( 1 1 1 ) 相對(duì)應(yīng)的形式自伴差分算子關(guān)于實(shí)系數(shù)二階形式自伴 微分算子z 表達(dá)式的引入，可參照【6 ，c h a p t e ri i 】，而關(guān)于實(shí)系數(shù)二階形式自伴差分 算子f 的表達(dá)式推導(dǎo)，可參照【3 】但是至今還沒有發(fā)現(xiàn)研究復(fù)系數(shù)二階形式自伴差 分算子的文獻(xiàn)，所以復(fù)系數(shù)二階自伴差分算子的表達(dá)式也未被具體給出 本章第二節(jié)給出了復(fù)系數(shù)二階形式自伴差分箅子的定義，然后給出了其具體表示 形式第三節(jié)討論了復(fù)系數(shù)二階形式自伴差分算子的基本性質(zhì)第四節(jié)研究了算子z 正則譜問題 1 2 復(fù)系數(shù)二階形式自伴差分算子的構(gòu)形 一般地，復(fù)系數(shù)二階差分算子可表示為 m y ( n ) = a ( n ) v - 生v ( n ) + b ( n ) a y ( n ) + e ( n ) g ( n ) ：( 1 2 1 ) 其中a ( n ) ，b ( n ) 和c ( n ) 均為復(fù)數(shù)因?yàn)?i ( n ) ，掣( 禮)= f v ( ( 竹) i ( n ) ) 一v ( d ( n ) i ( 禮) ) + c ( 幾) 乏( n ) 】可( 他) + v 障( n ) ( n ) 掣( 覦) 一( j ( n ) 4 ( n ) ) v ( n ) 4 - j ( n ) b ( 禮) ( n + 1 ) ： 1 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 我們可給出如下定義 定義1 2 1 稱算子 j ，+ v ( n ) = v 土( j ( n ) ( n ) ) 一v ( 兩n ) 口( n ) ) + 蠆( 張) f ( n )( 1 2 2 ) 為m 的形式伴隨算子 令 l 8 1 6 + 1 1 ：= 可：g = ( n ) 】b 。+ 一l 。) 其中。和b 均為有限整數(shù)，或a = 一o 。，6 = 。c 。 注：v ：f 【o 一1 b + 1 ，vn i 口，b 】，有 ：；篙端赫2 篙州y ( n + - 2 ( n ) b ( n ) y ( n 刪1 。渤 = v 【亍( n ) ( n ) 土9 ( 扎) 一仨( n ) 4 ( n ) ) + + ) 】 定義1 2 2 如果m = 3 1 + ，則稱m 為形式自伴算子 現(xiàn)在，我們將根據(jù)定義1 2 2 來確立帶有復(fù)系數(shù)二階形式自伴算子的具體表達(dá)式 定理1 2 1 ，是形式自伴的當(dāng)且僅當(dāng) ，可表示成 m y ( n ) = 一審( p ( n ) g ( n ) ) + q ( n ) y ( n ) + i l ( r ( n ) ( n ) ) + r ( n ) v g ( 禮) 】， ( 1 2 4 ) 其中p ( n ) 口( n ) ，r ( n ) 均為實(shí)數(shù) 證明假設(shè)m 是形式自伴的，則 ，= ，+ ，令 4 ( n ) = a 1 ( 札) + i a 2 ( n ) ，b ( n ) = b 1 ( n ) + z b 2 ( 札) c ( n ) = c t ( n ) + i g ( 札) 其中4 7 ，s j 和g0 = 1 ，2 ) 均為實(shí)數(shù)那么 和m + 可分別寫成 m y ( n )= a 1 ( n ) v g ( 禮) + b 1 ) p ( n ) + g l ( “) ! ，扣) ( 1 2 5 1 + 引a 2 ( 禮) v v ( n ) + b 2 ( n ) a y ( n ) + c t ( n ) y ( n ) 】， 、 m + ( n ) = v a ( a 1 ( n ) ( 仡) ) 一v ( b 1 ( n ) ”( ”) ) + c l ( ”) v ( “) ( 1 ，2 6 】 一 f v ( 4 2 ( n ) 掣( n ) ) 一v ( 島( n ) 可( n ) ) + c ；( n ) 剪( n ) 】 利用 ，= a f + ，得到下面的方程組 i 1 ( n ) = b 1 【1 2 ) ， 4 2 ( n + 1 ) + a 2 ( 他) + b 2 ( n ) = 0 ， ( 1 2 7 ) l2 4 2 ( n ) + b 2 ( n ) = q ( 札) 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 把( 1 2 7 ) 代入( 1 2 5 ) ，我們有 m y ( n ) = v a 1 ( 扎+ 1 ) 掣( n ) 1 + c 1 ( m y ( n ) 一i 【土( 2 ( ? z ) 掣( 幾) ) + 2 ( t i ) v l ( n ) 1 如果取p ( n ) = 一a i ( 凡+ 1 ) 。q ( n ) = c l ( n ) ，r ( n ) = 一a 2 ( n ) ，上面的這個(gè)方程可寫 成與( 1 2 4 ) 相同的形式 反之，假設(shè) ，可被表示成( 1 2 4 ) 的形式。那么根據(jù) p 的定義，易證j ，= ，+ 因此，定理得證 命題1 2 1 ，為形式自伴的當(dāng)且僅當(dāng)它可寫成下面的形式： m y ( n ) = 一c ( n ) ( n + 1 ) + b ( n ) ( 禮) 一蠆( 禮一1 ) y ( n 一1 ) ( 1 2 8 ) 其中b ( n ) 為實(shí)數(shù) 證明 ，為形式自伴的當(dāng)且僅當(dāng)它可表示成( 1 2 ，4 ) 的形式如果取 c ( n ) = p ( n ) 一i r ( n + 1 ) ，b ( n ) = q ( n ) + p ( n ) + p ( n 一1 ) ： ( 1 2 4 ) 可表示成( 1 2 8 ) 相反地，取 p ( n ) = r e c ( n ) ，r ( n ) = 一i m c ( n 一1 ) ，口( n ) = b ( n ) 一r e c ( n ) 一r e c ( n 一1 ) ， 其中r e z 和i m z 分別表示復(fù)數(shù)2 的實(shí)部和虛部，( 1 2 8 ) 也可表示成( 1 2 4 ) 因此命 題成立。 通過定理1 2 1 我們就把權(quán)函數(shù)w ( n ) i1n - - - 階形式自伴算子具體表達(dá)式確立 出來如果權(quán)函數(shù)( n ) 1 ，二階形式自伴算子的形式即為( 1 1 1 ) 命題1 2 2 方程( 11 1 ) 可以化為離散線性h a m i l t o n 系統(tǒng)( 定義見m ) 證明作變換： 。( n ) = p ( n ) a y ( n ) 一i r ( n 十1 ) y ( n + 1 ) 則 g ( n ) = p 。( n ) 。( n ) + i p 一1 ( n ) r ( n + 1 ) y ( n + 1 ) ( 1 2 9 ) 把：( n ) ：a y ( n ) 帶入( 1 1 1 ) 得 z ( n ) = ( 一a u ? ( n + 1 ) 一p 一1 ( n ) r 2 ( 竹+ 1 ) + q ( n + 1 ) ) ( n + 1 ) + i p 一1 ( n ) r ( n + 1 ) 。( n ) ( 1 2 1 0 ) 3 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 ( 1 2 9 ) 和( 1 21 0 ) 可寫成如下形式 ，【芝 ：； = t x ”苫q ： + 。t n ， 。三+ ) u ， t ，。， 其中 了= 卜班p 蕊二：二富刪嘞一鬻刪 又因?yàn)閐 ( n ) 是厄米特矩陣，所以( 1 2 1 1 ) 是離散線性h a m i l t o n 系統(tǒng) 1 3 復(fù)系數(shù)二階形式自伴差分算子的基本性質(zhì) 在這一節(jié)中，我們主要討論算子f 的基本性質(zhì)這些性質(zhì)是討論奇異二階自伴差 分算子1 譜問題的基礎(chǔ)首先，對(duì)于算子j 來說，有下面的式子成立 為了方便，記 ( n ) i ( n ) z ( n ) 一t u ( n ) 瓦( n ) ( n ) = 【一p ( n 一1 ) ( ( n ) i ( n 一1 ) 一g ( n 一1 ) i ( 扎) )( 1 3 1 ) + r ( n ) ( f ( r ) i ( n 一1 ) + v ( n 一1 ) i ( n ) ) 】， 陌，?！? 扎) ：= 一p ( n 一1 ) b ( n ) i ( n 一1 ) 一v ( n 一1 ) j ( n ) ) + i r ( 祀) ( 掣( n ) i ( n 一1 ) + v ( n 一1 ) i ( 托) ) 下面的兩個(gè)引理可直接根據(jù)( 1 3 1 ) 推出 引理1 3 1 ( 格林公式) 對(duì)任意的y ，z z a i ，b + 1 6 ( n ) i ( n ) z ”( 住) 一 ( n ) v ( n ) 瓦( n ) ) = 【”，z l ( b + 1 ) 一b ，z 】( n ) ( 1 3 2 ) 引理1 3 2 。v 知c ，a 2 c ，設(shè)g 為方程l y = a l 的一個(gè)解，z 為方程l y = k p 的一個(gè)解，那么 b y ，z l ( b + 1 ) 一z l ( a ) = ( a ，一i 2 ) ( n ) ( n ) j ( n ) ( 1 3 ，3 ) 4 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 命題1 3 1 vn o n 一1 ：h i ；va o ，a 1 c 方程( 1 1 1 ) 滿足初始條件：y ( n o ) = 釓：u ( n o + 1 ) = n 1 的解在區(qū)問【o 一1 b 十1 】上存在并唯一 設(shè)9 ，。l a 一1 ，b + 1 ，和：的朗斯基行列式定義為 1 1 ，：】( n ) = d o t ( ”y ”( 一n ) 1 z n ：( 。- - ) 1 ) ， 并記 開b ，：】( n ) ：= 【一烈n 一1 ) + z r ( t t ) 3 i i i y 。：】( n ) w 冰班囊襻i i r 眥州n ) ， ( 1 3 4 ) i w l y ，z l = i 研”，。i = 訴麗了麗7 面i w u ，。 ( n ) l - 0 3 5 ) 進(jìn)一步，和2 線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)w u ，司( n ) 0 或w y ，?！? o ) 0 咖卜藿蓬1q(n摯1 1 p ( n 2 咖叫，s a ( n 一) 一一) 一p ( n 一) 一一) r n1 、 、 ：(禮)2：aiwiii(ni!i11li!iill；貉1 p ( n 1 21 i r ( n 。n 一。，c s ， 一) 一口( n 一) 一一) 一p ( n 一) ，。1 、 、 。 一p ( n 一) +) 、 將( 1 3 6 ) 與( 1 3 ，7 ) 代入w y ，z 1 ( 托) 。可得 矸【g ：硝( n ) = 里筆若；攢w 協(xié)，翻( 竹一1 ) ( 1 3 盤) 因?yàn)閜 ( n ) 0 ，所以從( 1 3 5 ) 可看出w y ，?！? n ) 0 當(dāng)且僅當(dāng)w i y ，2 】( o ) 0 5 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 假設(shè)y 和z 為方程的兩個(gè)線性無關(guān)解，且w ： ( o ) = 0 考慮關(guān)于( c ，：c 2 ) 的 齊次線性方程組： 由于系數(shù)1 1 ：】( n ) = 0 ，故( 1 3 9 ) 有非零解，設(shè)為( 亡1 ，如) 令 芏( n ) = 西p ( n ) + e 2 = ( 禮) ， ( 1 3 9 ) 則由( 1 3 9 ) 知z ( n 一1 ) = o 。z ( 口) = 0 從而。依據(jù)命題1 3 1 知z ( n ) 蘭0 ， 札【n 一1 b + 1 】- 這與y 和：線性無關(guān)矛盾 反之，假設(shè)w z 】( o ) 0 ，那么。對(duì)所有的b + 1 n 。有b ，z 1 ( n ) 0 成立因此，對(duì)所有的b + 1 n d ，方程組： ，y 協(xié)( n ，- 。，1 + ) e ：l 。+ n ，z 臼( n ：- 。1 c 2 = o j 只有零解，故知y 和z 為方程l y = 的兩個(gè)線性無關(guān)解定理得證 1 4 正則譜問題 本節(jié)將討論算予z 在有限區(qū)間上的正則譜問豚( 邊值問題) 首先，我們引入線性 空問 f b 、 眠明：= g z 【口一1 ，6 + 1 】：伽( n ) ) 1 2 0 ，n i d ，塒且。和b 為有限整數(shù)或a = - o c ) ，b = o o 易知，在內(nèi)積 = ( n ) g ( n ) 乏( 竹) 的意義下圪【n 6 1 是h i l b e r t 空間記怕i i = ( ) 如果 = 0 ，則稱y 與z 正交 下面考慮方程 2 ( n ) ：= ( n ) 1 一v ( p ( n ) ( “) ) + q 扣) ( n ) ( 1 4 1 1 + i 【( r ( n ) 可( n ) ) + r ( n ) 審耵( n ) 】) = a ( 禮) ，n 【o ，6 ， 、 其中p ( n ) ，q ( n ) ，r ( n ) 均為實(shí)數(shù)。n 和b 是有限整數(shù)，在區(qū)間【0 ，糾上，w ( n ) 0 ，并 且在區(qū)問k 一1 ，6 i 上，p ( n ) 0 ，a 是復(fù)參數(shù)考慮下述分離型自伴邊值條件( 一般 6 i | b = 如 + 恤 帥托 一h咖出 ，iji 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 自伴邊值條件的定義見【7 1 ，d e f i n i t i o n2l 1 ) ： s i n a y ( a 一1 ) 一c o s 4 v ( 一1 ) g ( n 一1 ) 一i 7 ( 8 ) ”( a ) 2 o ( 1 4 2 1 ic o s 2 y ( b ) + s i n 盧加( 6 ) g ( 6 ) 一i r ( b - j r1 ) ”( 6 + 1 ) 1 = 0 、 其中o 3 【0 ：f ) 易證下面的命題成立 命題1 4 1 設(shè)p 2 嘲n ，嘲如果璣：同時(shí)滿足( 1 4 2 ) 中左邊值條件，則有 b ，。1 ( n ) = 0 ；如果y 。z 同時(shí)滿足( 14 2 ) 中右邊值條件，燃有【y ：1 ( b + 1 ) = 0 定理1 4 1 設(shè)聲0 ，s i n o + p 托一1 ) c o s g 0 。則由方程( 1 4 1 ) 和邊值條件 ( 1 4 2 ) 所組成的特征值問題恰有b 一。+ 1 個(gè)實(shí)的單特征值i = 1 ，2 b n + 1 ； 不同的特征值所對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)正交；并且存在一組特征函數(shù) 弧) 筆d + 1 使得如果 u f ：l n 6 j ，自b 么 扣a 4 - i u ( n ) = fv i y ，( n ) ( 1 4 3 ) 其中 且滿足p a r s e v a l 恒等式 ( 1 4 4 ) 證明由命題1 2 2 知，方程( 1 4 1 ) 和邊值條件( 1 4 2 ) 所組成的特征值問題可寫 成如下等價(jià)的離散線性h a m i l t o n 系統(tǒng)的特征值問題： j 塞： ：； = t a ”( n 。- l - 1 ： + 。t n ， 穢：。+ ) 1 ，n c n 一，。一，c ，- 。s ， 其中 r - 9 ( a - u + s “：面u = 。， c ，a e ， j = ：計(jì)帥，= r n 蒜黼圳卻一鬻+ 1 7 一璣 n壯r幽 。一 i | 妒 “ o ； a 是復(fù)參數(shù) 我們稱z 是與方程( 2 1 1 ) 相對(duì)應(yīng)的形式自伴差分算子許多人對(duì)實(shí)系數(shù)二階自傳 算子譜問題作了大量研究，主要成果見1 1 ，2 ，3 ，8 ，9 ，1 0 ，1 1 】對(duì)于二階奇異自伴差分 算子譜問題的研究最早見于【1 】在1 1 】中，a t k i n s o n 將二階奇異差分算子分成極限 點(diǎn)型和極限圓型此后很少有人對(duì)實(shí)系數(shù)二階奇異自伴差分算子譜問題進(jìn)行系統(tǒng)的研 究1 9 9 5 年。在a t k i n s o n ，c o d d i n g t o n 和l e v i s o n 等人工作的基礎(chǔ)上，j i r a r i1 3 系 統(tǒng)研究了實(shí)系數(shù)二階奇異自伴差分算子譜問題，建立了函數(shù)矩陣m ( a ) 與譜函數(shù)p ( ) 之間的關(guān)系文【1 2 】研究了有限區(qū)間上二階向量差分算子的譜理論目前沒有發(fā)現(xiàn)有 關(guān)復(fù)系數(shù)二階奇異自伴微分或差分算