摘要 摘要 在水利工程、巖土工程、水文地質(zhì)、石油工業(yè)、化學(xué)工業(yè)、環(huán)境保護(hù)、 海岸工程等許多部門(mén)中，都需研究介質(zhì)中流體傳輸運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。如在水利水 電工程中，常常需研究庫(kù)水位突降對(duì)土壩上游面壩體穩(wěn)定的影響；在基坑工 程中，需研究基坑涌水量的大小，這些流體的運(yùn)動(dòng)都不僅是復(fù)雜的三維空問(wèn) 滲流問(wèn)題，有時(shí)還需考慮時(shí)間對(duì)它們的影響，這就使得這些流體的運(yùn)動(dòng)具有 四維性。本文針對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了較為深入的研究。主要研究成果如下： 1 簡(jiǎn)要介紹了目前非穩(wěn)定滲流的研究現(xiàn)狀，主要存在的問(wèn)題和常用的研究 手段及計(jì)算方法，并從三維固結(jié)理論出發(fā)，推導(dǎo)了三維非穩(wěn)定滲流的微分 方程式： 2 以八結(jié)點(diǎn)等參元為例，推導(dǎo)了三維問(wèn)題的非穩(wěn)定滲流有限元格式，并編 制了相應(yīng)的計(jì)算程序，討論了編程中的各種邊界條件，包括自由面的處理 方法等，特別對(duì)非穩(wěn)定滲流中自由面邊界積分項(xiàng)的計(jì)算方法進(jìn)行了詳細(xì)的 研究，利用該計(jì)算方法可以更精確地確定非穩(wěn)定滲流中自由面的位置； 3 在基于變分不等式的基礎(chǔ)上，對(duì)有自由面的滲流問(wèn)題作了進(jìn)一步深入研 究，詳細(xì)論述了有自由面滲流問(wèn)題的弱表達(dá)式、有限元離散方程等，并編 制了相應(yīng)的計(jì)算三維穩(wěn)定滲流場(chǎng)的計(jì)算程序； 4 在滲流分析中，出滲點(diǎn)表現(xiàn)出強(qiáng)烈的發(fā)散性，通常的對(duì)出滲點(diǎn)的處理方 法都不自b i e 好地解決該問(wèn)題，本文在前人的基礎(chǔ)上，對(duì)出滲點(diǎn)的問(wèn)題做了 進(jìn)一步的研究，并編制了相應(yīng)非穩(wěn)定滲流場(chǎng)計(jì)算程序； 5 本文對(duì)差分方法做了更進(jìn)一步地研究，詳細(xì)論述了一種精度高、收斂快 的差分方法，利用該差分方法，可以顯著地提高非穩(wěn)定滲流計(jì)算的收斂性； 6 通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)算例和考題，說(shuō)明了本文所編制程序的正確性，詳細(xì)討 論了滲透介質(zhì)的給水度、網(wǎng)格剖分的粗密對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。 關(guān)鍵詞：非穩(wěn)定滲流有限元自由面出滲點(diǎn) 邊界條件奇異性 自由面邊界積分項(xiàng)等參元 皇墅墜亞 a b s t r a c t t h em e c h a n i s mo ff l u i df l o wi nt h em e d i am u s tb es t u d i e di nt h ef i e l d so f h y d r a u l i c e n g i n e e r i n g 、g e o t e c h n o l o g ) 7e n g i n e e r i n g 、h y d r o l o g i c a lg e o l o g ye n g i n e e r i n g 、o i li n d u s t r y 、 c h e m i c a li n d u s t r y 、e n v i r o n m e n t a lp r o t e c t i o n 、c o a s t a le n g i n e e r i n ga n ds oo n 。f o r e x a m p l e ， t h ee f f e c to ft h ed a m ss t a b i l i t yi ss t u d i e dd u r i n gt h eh y d r a u l i ce n g i n e e r i n g ，w h e nt h ew a t e r l e v e lf a l l si nt h er e s e r v o i r ：a n dt h ef l u xi sc o n s i d e r e dd u r i n gt h ef o u n d a t i o ne x c a v a t i o n t h e f l u i df l o wi sa c o m p l i c a t e dt h r e e d i m e n s i o n a lp r o b l e m ，a n dt i m ee f f e c ti so f t e nc o n s i d e r e d 。a d e e pr e s e a r c ha i m i n gt ot h i sp r o b l e mh a sb e e nd o n ea n dt h ef o l l o w i n gc o n t e n t sa r es t u d i e di n d e t a i l s ： lt h ed e v o l o p m e n ts t a t u s 、c h i e f l ye x i s t e n tp r o b l e m 、t h eu s u a lr e s e a r c ha n dn u m e r i c a l m e t h o da r ei n t r o d u c e db r i e f l yd u r i n gt h ea n a l y s i so ft h eu n s t e a d ys e e p a g e ，a n dt h e e q u a t i o n o ft h et h r e e - d i m e n s i o n a lu n s t e a d ys e e p a g ei sd e d u c e db yt h et h e o r yo ft h e t h r e e d i m e n s i o n a lc o n s o l i d a t i o n ； 2 t h ef i n i t ee l e m e n te q u a t i o ni sd e d u c e df i r s t l yw i t he i g h tn o d e s ，a n dt h ec o r r e s p o n g i n g p r o g r a m m e i s c o m p i l e d 。a l l k i n d so fb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r ed i s c u s s e di nt h e p r o g r a m m ei n v o l v i n gt h ep h r e a t i cs u r f a c ee t c ，e s p e c i a l l yt h ec a l c u l a t i n go ft h ei n t e g r a l i t o mw h i c hc a l lc a l c u l a t et h ep o s i t i o no f t h e p h r e a t i cs u r f a c ea c c u r a t e l y i sd i s c u s s e d ； 3 ad e e pr e s e a r c hi sd o n eo nt h ep h r e a t i cs u r f a c eo fs e e p a g et h r o u g ht h em e t h o do f v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y 。t h ea p p r o x i m a t e e x p r e s s i o n 、t h ef i n i t ee l e m e n te q u a t i o na n d s oo n a r ed i s c u s s e d ，a n dt h ec o r r e s p o n d i n gp r o g r a m m ei sc o m p i l e d ： 4 d u r i n g t h ea n a l y s i so f t h es e e p a g e ，t h ef r o z e n p o i n t ss h o w t h ei n t e n s i v ei r r e g u l a r i t y ，t h e u s u a lm e t h o dc a i l n ts o l v et h i sp r o b l e mw e l l ，s oad e e pr e s e a r c hi sd o n eo nt h eb a s i so f f i l ep r e d e c e s s o r ，a n dt h ec o r r e s p o n d i n gp r o g r a m m ei sc o m p i l e d ； 5 a d e e pr e s e a r c hi s d o n eo nt h ed i f f e r e n c em e t h o d ，a n dak i n do fm e t h o dw i t hh i g h p r e c i s i o na n dq t d c kc o n v e r g e n c e i sd i s c u s s e di nd e t a i l s 。t h ec o n v e r g e n c eo f t h eu n s t e a d y s e e p a g e c a l c u l a t i o nc a nb ei m p r o v e dr e m a r k a b l ew i t ht h i sm e t h o d ； 6 i no r d e rt ov a r i f yt h ep r o g r a m e ，ag r e a td e a lo fe x a m p l e si n v o l v i n gt h ee x p e r i m e n t sa n d t h ee n g i n e e r i n g p r o b l e m a r ec a l c u l a t e d ，a n dt h ee f f e c to f t h ev o l u m e t r i cw a t e rc o n t e n to f t h ep e i m e a t i n gm e d i u ma n dt h es i z eo ft h ee l e m e n t sa r ed i s c u s s e di r td e t a i l s 。 k e yw o r d ：u n s t e a d ys e e p a g e f i n i t ee l e m e n tt h ep h r e a t i cs u r f a c e f i l ef r o z e np o i n t s b o u n d a r yc o n d i t i o ni r r e g u l a r i t y t h ei n t e g r a li t e mo f t h ef r e e s u r f a c e i s o p a r a m e t f i ce l e m e n t 河海大學(xué)碩士學(xué)位論文 第一章緒論 第節(jié)研究目的和意義 滑坡、洪水是當(dāng)今人類(lèi)經(jīng)常要遇到的自然災(zāi)害。其中滑坡災(zāi)害對(duì)人類(lèi)和社會(huì) 的影響已經(jīng)成為一個(gè)不容忽視的環(huán)境難題，其危害已成為僅次地震的第二大自然 災(zāi)害。隨著人類(lèi)工程活動(dòng)日益頻繁，規(guī)模日益增大，遇到的邊坡穩(wěn)定問(wèn)題也越 來(lái)越突出。邊坡失穩(wěn)輕則增加投資，延長(zhǎng)工期；重則摧毀建筑物，造成人員傷亡。 統(tǒng)計(jì)資料【2 顯示：1 9 5 l 1 9 9 1 年的4 0 年中，我國(guó)工程滑坡災(zāi)害至少造成1 1 6 9 人 死亡；經(jīng)濟(jì)損失更是巨大，僅云南漫灣水電站滑坡造成的損失就超過(guò)i o 億元， 延誤工期一年以上。 影響邊坡穩(wěn)定性的因素很多，包括地質(zhì)構(gòu)造、地應(yīng)力、巖土體介質(zhì)特性、結(jié) 構(gòu)特性、結(jié)構(gòu)面、邊坡坡角、天體引潮力、地震、植被、水文地質(zhì)條件以及人類(lèi) 工程活動(dòng)等。其中以水對(duì)邊坡的影響最為突出，故有“治坡先治水”、“無(wú)永不滑 坡”之說(shuō)。水的存在會(huì)增大巖土體的容重，巖土體在水的長(zhǎng)期浸泡下力學(xué)性質(zhì)劣 化，孔隙水壓力使滑動(dòng)面上的有效正應(yīng)力降低，滑坡后緣的孔隙水壓力產(chǎn)生水平 分量，這些都不利于滑坡體的穩(wěn)定。當(dāng)巖土體中含有可溶鹽類(lèi)( 如石膏) 時(shí)，水的 溶蝕作用具有很強(qiáng)的破壞性。大氣降水( 主要是降雨) 觸發(fā)滑坡已屢見(jiàn)報(bào)導(dǎo)，滑坡 除與降水量有關(guān)外，還與降水持續(xù)時(shí)間、地表徑流排泄條件、初始地下水位、滑 坡體巖土體的滲透特性等因素密切相關(guān)。據(jù)調(diào)查，9 0 以上的滑波與水的作用有 關(guān)。許多滑坡產(chǎn)生在雨季。1 9 9 4 年7 月2 3 日位于香港島堅(jiān)尼地城的觀龍樓d 區(qū) 在遭受連續(xù)多日的暴雨之后，滑坡土體達(dá)1 0 0 0 m p j 。z a r u b a ，w e n e l ( 1 9 6 9 年) 對(duì)捷 克斯洛伐克幾個(gè)地區(qū)滑坡的頻率與每年降水量之間建立了關(guān)系。f u k u o k a ( 1 9 5 3 年) 記錄了在日本的許多滑坡，土體滑動(dòng)的速度與降雨量之間似乎存在著一定的關(guān)系 4 1 。p e e k ，d e e r d ( 1 9 6 0 年1 在美國(guó)夏威夷群島檀香山的w a i m a o 的滑坡中，將運(yùn)動(dòng) 速率與十天連續(xù)暴雨之間建立了關(guān)系f 引。1 9 6 6 年和1 9 6 7 年在巴西里約熱內(nèi)盧， 當(dāng)非常強(qiáng)大的暴雨后，發(fā)生了破壞性滑坡( b a r a t a ，1 9 6 9 年) 1 。當(dāng)水庫(kù)的水位突 然升降時(shí)，也經(jīng)常產(chǎn)生滑坡，特別是對(duì)粉土。l e g e t ，b r e t l e y ( 1 9 5 3 ) 敘述過(guò)，加拿 大的顛蒂普羅克湖當(dāng)排水時(shí)產(chǎn)生許多滑坡【7 】。b r e t h ( 1 9 6 7 a ，1 9 6 7 b ) 及l(fā) a u f f e r 等 f 1 9 6 7 年) 敘述過(guò)在奧絕利的g e p a t s c h 當(dāng)水庫(kù)灌水時(shí)，發(fā)生了冰磧土的巖錐物質(zhì)的 第一章緒論 大規(guī)?；瑒?dòng)【8 “。隨著水庫(kù)水位的升高，滑動(dòng)速率也增大，最大的垂直運(yùn)動(dòng)是 1 5 c m 日。灌水暫停后，速率減小。美國(guó)華盛頓州富蘭克林德羅斯湖當(dāng)灌水時(shí)， 發(fā)生過(guò)5 0 0 個(gè)以上的滑坡。從上面的滑坡事例可以看出：許多滑坡發(fā)生在降雨后， 降雨后堤壩中形成非穩(wěn)定滲流場(chǎng)，對(duì)堤壩的穩(wěn)定有著極重要的影響。 我國(guó)是一個(gè)洪災(zāi)頻發(fā)的國(guó)家，全國(guó)有大約2 3 的國(guó)土面積受到不同類(lèi)型、不 同程度的洪災(zāi)威脅，這些地區(qū)多處于經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)的平原地區(qū)，如長(zhǎng)江、黃河、珠江 中下游及沿海一帶。堤防工程是舉世公認(rèn)的防御洪水最普遍、最有效的工程措施。 據(jù)統(tǒng)計(jì)1 1 1 1 ：我國(guó)現(xiàn)有各類(lèi)堤防2 5 萬(wàn)k m ，其中主要堤防6 5 7 萬(wàn)k m 。以長(zhǎng)江為例， 共有各類(lèi)堤肪3 萬(wàn)k m ，其中長(zhǎng)江于堤為3 6 0 0 k i n 。黃河堤防f 孟津以下) 為】4 0 0 k m 。 1 9 9 8 年的大洪水給我國(guó)帶來(lái)了深重的災(zāi)難，國(guó)家投資1 2 0 0 億元用于以防洪為目 標(biāo)的水利基本建設(shè)【1 “，同時(shí)堤防的安全問(wèn)題也引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的高度關(guān)注。在 堤防的安全評(píng)價(jià)中，其核心問(wèn)題就是采用可靠性分析方法，對(duì)堤防在不同洪水位 下發(fā)生邊坡滑動(dòng)失穩(wěn)、滲透變形失穩(wěn)進(jìn)行計(jì)算預(yù)測(cè)，特別是在暴雨季節(jié)，江河大 堤及沿海堤防受洪潮為水升降的影響，是一種典型的非穩(wěn)定滲流過(guò)程，其特點(diǎn)是 洪峰大、歷時(shí)短，沿海省份暴漲暴跌的河流只有3 d 左右，長(zhǎng)江等內(nèi)河也不過(guò)十 幾天，遠(yuǎn)沒(méi)有水庫(kù)蓄水過(guò)程所持續(xù)的時(shí)間長(zhǎng)，難瞄形成穩(wěn)定的滲流，因而需要按 洪峰過(guò)程計(jì)算關(guān)鍵點(diǎn)可能發(fā)生的滲流最大峰值作為設(shè)計(jì)堤防的依據(jù)。因此，借助 有限元等數(shù)值計(jì)算手段有針對(duì)性地進(jìn)行非穩(wěn)定滲流場(chǎng)分析是十分有必要的。 第二節(jié)非穩(wěn)定滲流研究現(xiàn)狀 庫(kù)水位變化對(duì)土壩i 臨水坡的穩(wěn)定性有著極大的影響，是發(fā)生滑坡險(xiǎn)情的主要 原因之一。而壩坡穩(wěn)定性分析與壩體浸潤(rùn)線的位置是密切相關(guān)的，因此，欲分析 壩體的穩(wěn)定性，必須首先確定壩體浸潤(rùn)線的位置。當(dāng)庫(kù)水位變化時(shí)，土壩內(nèi)的滲 流場(chǎng)也會(huì)隨之發(fā)生變化，因而其浸潤(rùn)線的位置也會(huì)隨著時(shí)間的變化而改變，土壩 內(nèi)產(chǎn)生的滲流將是非穩(wěn)定滲流。 目前，非穩(wěn)定滲流計(jì)算主要采用飽和模型和飽和一非飽和滲流兩種模型，當(dāng) 采用飽和模型進(jìn)行滲流計(jì)算時(shí)，通常只是把浸潤(rùn)線以下的飽和區(qū)域作為研究對(duì) 象，浸潤(rùn)面作為活動(dòng)邊界的自由面，在非穩(wěn)定滲流計(jì)算中被視為流量補(bǔ)給的邊界 條件，因此，在數(shù)值模擬中容易出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象；于是，國(guó)內(nèi)外一些學(xué)者致力于綜 合考慮飽和一菲飽和滲流區(qū)域的數(shù)值計(jì)算方法，數(shù)值模擬飽和一非飽和滲流問(wèn)題 河海大學(xué)碩士學(xué)位論文 得到了很快的發(fā)展。在飽和非飽和滲流模型中，浸潤(rùn)面被假設(shè)為零壓力面而非 第二類(lèi)邊界條件，這在數(shù)值模擬中更容易求解，但是飽和一非飽和滲流模型需要 比較多的參數(shù)，且不易試驗(yàn)獲馭，所以準(zhǔn)確選取參數(shù)，特別是確定水特征關(guān)系 曲線是成功運(yùn)用該模型的關(guān)鍵，同時(shí)也是難點(diǎn)。 第三節(jié)有自由面滲流問(wèn)題的解法概述 滲流問(wèn)題的數(shù)值分析方法主要有邊界單元法、有限分析法、有限差分法和有 限單元法。有限差分法通過(guò)差分方法求解偏微分方程來(lái)實(shí)現(xiàn)曲線網(wǎng)格的自動(dòng)生 成，實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜幾何邊界的模擬，但是仍難以準(zhǔn)確地求解復(fù)雜的滲流問(wèn)題，而有 限單元法是一種應(yīng)用較為成熟、最廣泛的方法【1 ”。 在有自由面的滲流問(wèn)題中，由于自由面邊界是未知的，這樣就使得滲流計(jì)算 變得復(fù)雜和困難，通常都采用迭代的方法來(lái)獲得近似解。其算法有變網(wǎng)格法和固 定網(wǎng)格法。 最初的方法是將自由面作為可動(dòng)邊界處理的變網(wǎng)格法，此法直接引用6 0 年 代中期z i e n k i e w i c z 等人最初解有壓流問(wèn)題時(shí)的方法1 4 ，在求解迭代的過(guò)程中修 改自由面，并使網(wǎng)格發(fā)生相應(yīng)的改變，直到自由面穩(wěn)定為止”】【1 6 】。該算法最大的 優(yōu)點(diǎn)是滲流自由面和溢出點(diǎn)可以隨著求解滲流場(chǎng)的迭代過(guò)程逐步穩(wěn)定，迭代過(guò)程 是收斂的，但是，網(wǎng)格變動(dòng)法有比較明顯的缺陷 】： ( 1 ) 當(dāng)初始滲流自由面和最終穩(wěn)定滲流自由面位置相差較大時(shí)，會(huì)使計(jì)算單 元發(fā)生畸變，乃至與相鄰單元發(fā)生交替、重疊，以至于在計(jì)算過(guò)程中常需對(duì)滲流域進(jìn) 行重新剖分計(jì)算； f 2 ) 當(dāng)自由面附近滲流介質(zhì)不均一，尤其有水平介質(zhì)層時(shí)網(wǎng)格變動(dòng)會(huì)破壞介 質(zhì)分區(qū)，程序處理十分困難； ( 3 ) 當(dāng)滲流域內(nèi)有結(jié)構(gòu)物時(shí)，網(wǎng)格變動(dòng)常會(huì)改變結(jié)構(gòu)的邊界條件，計(jì)算精度 受到影響； ( 4 ) 在網(wǎng)格變動(dòng)過(guò)程中，每一次迭代計(jì)算網(wǎng)格均要隨自由面的變動(dòng)而變動(dòng)， 總體滲透矩陣需要重新形成，故需大量機(jī)時(shí)： ( 5 ) 在研究滲流與應(yīng)力耦合作用中，由于應(yīng)力分析經(jīng)常要包括滲流虛區(qū)( 非飽 第一章緒論 和區(qū)1 ，因而不能片jj 司一網(wǎng)格進(jìn)行耦合作用分析。 目前，用網(wǎng)格不變法研究滲流自由面是國(guó)內(nèi)外的主要趨勢(shì)。從1 9 7 3 年n e u m a n 提出網(wǎng)格不變法以來(lái)，迄今較為適用的網(wǎng)格不變法包括殘余流量法f 埔】、初流量法 u 9 1 、節(jié)點(diǎn)虛流量法【2 0 】、虛單元法2 ”、單元滲透矩陣調(diào)整法【2 2 】、高斯點(diǎn)有限元法| ：2 3 】 及截止負(fù)壓法【2 4 f 2 5 】等?，F(xiàn)將各種方法的分析過(guò)程簡(jiǎn)述如下： 一、殘余流量法 ( 1 ) 對(duì)所研究的滲流區(qū)域進(jìn)行離散，并根據(jù)有限元法求出給定點(diǎn)的水頭值； ( 2 ) 根據(jù)h = z 確定初始自由面的位置； f 3 1 若初始滲流自由面上法向流域?yàn)榱? 不考慮地下水的地表入滲和蒸發(fā)) ，則 該自由面為最終的滲流自由面，否則按如下調(diào)整： ( 4 ) 求節(jié)點(diǎn)的殘余流量 醵 = 肌】1 d v ( 11 ) n 式中：【州一單元形函數(shù)； 乳 一流過(guò)初始自由面的殘余流量；其值為： g 。) = 眠扣 ( 1 2 ) 式中： 以 _ 一醫(yī)p 肛。 ( 1 3 ) 【k - - 黼“b 卜幾何矩陣；a - - $ 元內(nèi)自由面的表面積；f 一迭代次數(shù)； ( 5 ) 以 幺) 作為控制方程的右端項(xiàng)求解方程； k 胡。 = q 。) ( 1 4 ) ( 6 ) 求解第i + 1 次迭代前的水頭值： 融+ 。 _ 口，) + 塒。 重復(fù)( 4 ) 一( 6 ) ，直到滿(mǎn)足( 3 ) 為止。但是 ( 卜5 ) 由于該方法的全部調(diào)整均基于第一次有 限元計(jì)算的結(jié)果，因而計(jì)算的精度較差。 二、初流量法 由于滲流控制方程的有限元線性方程組為： 醫(yī)】 明= q 0 ( 卜6 ) 4 河海大學(xué)碩士學(xué)位論文 求解方程組，可得滲流域內(nèi)各未知水頭節(jié)點(diǎn)的水頭值，當(dāng)滲流區(qū)域中存在有第一 類(lèi)邊界條件時(shí)，可根據(jù)有限元中處理已知節(jié)點(diǎn)位移的方式，f k 】刪除該節(jié)點(diǎn)所對(duì) 應(yīng)的方程，并將其它方程中己知水頭與總體滲透矩陣中相應(yīng)的系數(shù)之積移到方程 的右端，形成新的節(jié)點(diǎn)流量 q 1 ，則( 卜6 ) 式變?yōu)椋?k 】 - q 0 ) 一 q 】) ( 1 7 ) 式中：f 世l 為去掉與已知水頭節(jié)點(diǎn)相關(guān)的滲透系數(shù)項(xiàng)后的總體滲透矩陣，由( 卜7 ) 式計(jì)算出滲流域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)水頭值，按z = 日的條件求出滲流自由面的初始位置。 對(duì)每個(gè)可能被自由面穿越或自由面以上的單元逐個(gè)高斯點(diǎn)計(jì)算水頭值，當(dāng)日 z ，則表明該高斯點(diǎn)位于自由面之下，于是 可以確定滲流自由面的初始位置，當(dāng)這個(gè)面同時(shí)又滿(mǎn)足第二類(lèi)邊界條件時(shí)，此近 似自由面即為所求。對(duì)每個(gè)可能包含自由面的單元，逐個(gè)計(jì)算高斯點(diǎn)( r , ，r ) 水頭， 當(dāng)h 0 ，表明節(jié)點(diǎn)處于自由面以下， 置節(jié)點(diǎn)分區(qū)值為0 ；否則，表明節(jié)點(diǎn)處于自由面及以上，置節(jié)點(diǎn)分區(qū)值為1 ； ( 3 ) 累計(jì)單元節(jié)點(diǎn)分區(qū)值，其和記為m ，若m = 0 ，表明單元處于自由面 以下；若m = ( n 為單元節(jié)點(diǎn)數(shù)) ，表明單元處于自由面以上；若0 m n ， 表明單元被滲流自由面所穿越； f 4 1 通過(guò)對(duì)受自由面影響的單元節(jié)點(diǎn)的移動(dòng)，將單元一分為二，自由面以上 歸滲流虛區(qū)；以下歸滲流實(shí)區(qū)； ( 5 ) 位于滲流虛區(qū)中的單元稱(chēng)為虛單元，不參與下次滲流計(jì)算； ( 6 1 求解各節(jié)點(diǎn)的水頭值，判斷迭代結(jié)果是否滿(mǎn)足精度要求，若不滿(mǎn)足，恢 復(fù)各節(jié)點(diǎn)的原來(lái)位置，重復(fù)( 2 ) 一( 6 ) 步，直到滿(mǎn)足要求為止，此時(shí)的自由面即為穩(wěn) 定的滲流自由面。 但是很明顯可以看出，虛單元法在處理有自由面穿越的單元時(shí)，節(jié)點(diǎn)移動(dòng)路 徑的確定是比較困難的。計(jì)算的精度也很難保證。 五、單元滲透矩陣調(diào)整法 6 河海大學(xué)碩士學(xué)位論文 ( 1 ) 對(duì)滲流區(qū)域進(jìn)行離散，按( 1 6 ) 式用實(shí)際的滲透系數(shù)建立總體滲透矩陣， 求出各節(jié)點(diǎn)的水頭值： ( 2 ) 根據(jù)以上的水頭值，求出其近似的自由面位置，把被滲流自出面穿越的 單元當(dāng)成復(fù)合材料單元來(lái)處理，自由面以下的為實(shí)際的滲透系數(shù)，自由面以上的 為很小值，用此方法來(lái)消除非飽和區(qū)對(duì)問(wèn)題解的影響，重新建立總體滲透矩陣， 求出各節(jié)點(diǎn)的水頭值： ( 3 ) 重復(fù)( 2 ) 直到兩次計(jì)算的水頭值之差小于給定的精度為止。 這樣求出的單元滲透系數(shù)矩陣不能真實(shí)的反映這一區(qū)域的透水特性，且矩陣 的主系數(shù)不占優(yōu)，影響總滲透矩陣的占優(yōu)特性，影響計(jì)算精度和穩(wěn)定性。并且對(duì) 于三維問(wèn)題，自由面穿越的單元的形式很復(fù)雜，數(shù)學(xué)上不易處理，程序工作量很 大。 六、高斯點(diǎn)有限元法 該方法把延拓的求解域用三類(lèi)單元來(lái)表示，自由面以下的單元滲透系數(shù) 取實(shí)際值，以上的單元滲透系數(shù)取為o ，而把跨自由面單元看作式復(fù)合材料單元， 其滲透系數(shù)是從零到實(shí)際值按線性變化的。根據(jù)高斯點(diǎn)上節(jié)點(diǎn)水頭值按該分布函 數(shù)選取滲透系數(shù)膏的值來(lái)計(jì)算單元滲透系數(shù)矩陣。解出水頭后，重新計(jì)算自由面 并形成滲透矩陣，如此迭代直到自由面位置水頭的平均變化范圍小于給定的精度 為止。該方法同樣要確定自由面穿越單元的形式，數(shù)學(xué)上不易處理，精度不高。 七、截止負(fù)壓法 該方法直接以壓力場(chǎng)作為未知函數(shù)導(dǎo)出罰函數(shù)有限元方程，在滲流飽和區(qū)液 體壓力為正，而在非飽和區(qū)的液體壓力允許有一定的負(fù)值，從而可在正負(fù)壓力之 間尋找零壓力面，即自由面 這種方法理論嚴(yán)密，在迭代的過(guò)程中不需要每次判 斷計(jì)算近似自由面的位置，計(jì)算的精度較高，但是每次計(jì)算都需重新形成整體勁 度矩陣。 這些方法在求解有滲流自由面的問(wèn)題時(shí)，都是通過(guò)一步步的迭代，使得水頭 逐步的滿(mǎn)足滲流自由面上的邊界條件，由于滲流自由面在出滲點(diǎn)存在發(fā)散性，因 此一般的方法都不能很好地解決出滲點(diǎn)的問(wèn)題，如何準(zhǔn)確而有效地確定出滲點(diǎn)的 位置是滲流數(shù)值分析的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題。 第一章緒論 第四節(jié)本文課題的提出 在水利工程、巖土工程、水文地質(zhì)、石油工業(yè)、化學(xué)工業(yè)、環(huán)境保護(hù)、海岸 工程等許多部門(mén)中，都需研究介質(zhì)中流體傳輸運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。如在水利水電工程中， 經(jīng)常需研究庫(kù)水位突降對(duì)土壩上游而壩體穩(wěn)定的影響：在基坑工程中，要研究基 坑降水基坑中涌水量的大小，這些流體的運(yùn)動(dòng)都不僅是復(fù)雜的三維空間滲流問(wèn) 題，有時(shí)候還需考慮時(shí)間對(duì)它們的影響，這就使得這些流體的運(yùn)動(dòng)具有四維性。 對(duì)于有自由面的非穩(wěn)定滲流闖題，現(xiàn)有的分析方法或者將其作了比較大的簡(jiǎn)化， 如將其簡(jiǎn)化成為分時(shí)段的穩(wěn)定滲流問(wèn)題，這些簡(jiǎn)化必然導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的誤差較 大，也必然使得這樣設(shè)計(jì)的工程不安全或者不經(jīng)濟(jì)；或者計(jì)算求解很不方便。本 文在王嬡的求解有自由面滲流問(wèn)題的初流量法的改進(jìn)1 2 6 j 一文的基礎(chǔ)上，作進(jìn)一步 的深入研究，將其推廣用于分析計(jì)算三維非穩(wěn)定滲流問(wèn)題。 第五節(jié)本文所做的主要工作 本文結(jié)合大量的文獻(xiàn)資料，做了如下幾個(gè)方面的工作： 1 簡(jiǎn)要介紹了目前非穩(wěn)定滲流的研究現(xiàn)狀，主要存在的問(wèn)題和常用的研究手段 及計(jì)算方法，并從三維固結(jié)理論出發(fā)，推導(dǎo)了三維非穩(wěn)定滲流的微分方程式； 2 以八結(jié)點(diǎn)等參元為例，推導(dǎo)了三維問(wèn)題的非穩(wěn)定滲流有限元格式，并編制了 相應(yīng)的計(jì)算程序，討論了編程中的各種邊界條件，包括自由面的處理方法等， 特別對(duì)非穩(wěn)定滲流中自由面邊界積分項(xiàng)的計(jì)算方法進(jìn)行了詳細(xì)的研究，利用 該計(jì)算方法可以更精確地確定非穩(wěn)定滲流中自由面的位置； 3 在基于變分不等式的基礎(chǔ)上，對(duì)有自由面的滲流問(wèn)題作了進(jìn)一步深入研究， 詳細(xì)論述了有自由面滲流問(wèn)題的弱表達(dá)式、有限元離散方程等，并編制了相 應(yīng)的計(jì)算三維穩(wěn)定滲流場(chǎng)的計(jì)算程序： 4 在滲流分析中，出滲點(diǎn)表現(xiàn)出強(qiáng)烈的發(fā)散性，通常的對(duì)出滲點(diǎn)的處理方法都 不能很好地解決該問(wèn)題，本文在前人的基礎(chǔ)上，對(duì)出滲點(diǎn)的問(wèn)題做了進(jìn)一步 的研究，并編制了相應(yīng)的計(jì)算程序； 5 本文對(duì)差分方法做了更進(jìn)一步地研究，詳細(xì)論述了一種精度高、收斂快的差 河海大學(xué)碩士學(xué)位論文 分方法，利用該差分方法，可以顯著地提高非穩(wěn)定滲流計(jì)算的收斂性； 6 通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)算例和考題，說(shuō)明了本文所編制程序的正確性，詳細(xì)討論了 滲透介質(zhì)的給水度、網(wǎng)格剖分的粗密對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。 第二章非穩(wěn)定滲流基率微分方程 第二章非穩(wěn)定滲流基本微分方程 本章從基本概念出發(fā)，利用達(dá)西滲透定律和連續(xù)性方程，推導(dǎo)了各向異性多 孔介質(zhì)的非穩(wěn)定滲流基本微分方程，并論述了有自由面的非穩(wěn)定滲流定解問(wèn)題。 第一節(jié)滲流基本方程 一、達(dá)西滲透定律 在各向異性的多孔介質(zhì)中流動(dòng)的流體，當(dāng)其運(yùn)動(dòng)的慣性力可以忽略不計(jì)，而 且水力坡降大于起始水力坡降時(shí)，其流動(dòng)滿(mǎn)足代表線性阻力的達(dá)西定律。達(dá)西定 律的一般形式為 2 7 1 ： 劬 v ，= 一k ，_ 戚 壙，考 v r = 一k ：_ 化 寫(xiě)成向量彤式為： v = 一未v 矗 式中：”，”，v ：為z ，y ，z 三個(gè)主軸上的滲透流速，t ，k y ， 上的滲透系數(shù)，h 為滲流區(qū)域中各點(diǎn)的水頭，其值為： h ：旦+ z ( 2 1 ) ( 2 2 ) k ：為三個(gè)主軸 ( 2 - 3 ) 式中：p 為壓強(qiáng)，y 為流體的容重，2 為該點(diǎn)的位置高程。 達(dá)西定德是有一定的適用范圍的，首先，達(dá)西定律只能適用于線性阻力關(guān)系 的層流運(yùn)動(dòng)，因而受到一定水力條件的限制，當(dāng)滲流速度或者是水力坡降增大時(shí)， 由于慣性力的增大，層流的粘阻力逐漸失去其主控作用，因而達(dá)西定律有一定的 上限，其值一般用臨界雷諾數(shù)【2 8 1 來(lái)表示： r e ：v d ( 24 ) 河海大學(xué)碩士學(xué)位論文 式中：v 為滲透流速，p 為水的運(yùn)動(dòng)粘滯系數(shù)，d 為顆粒的直徑，常用平均直徑矗。， 有時(shí)也用有效直徑d ， 不過(guò)，從很多人的試驗(yàn)總結(jié)得知，由于顆粒的形狀和排列情況以及孔隙率的 不同，試驗(yàn)結(jié)果也沒(méi)有一個(gè)很明確的分界點(diǎn)，所以結(jié)論相差較大。但是，一般來(lái) 說(shuō)，作為達(dá)西定律上限的臨界雷諾數(shù)r e 一般在1 1 0 之間。 其次，達(dá)西定律的下限是當(dāng)滲透流速或者是水力坡降小到一定程度時(shí)，粘土 中的滲透不能突破土顆粒周?chē)Y(jié)合水薄膜的堵塞，使得不產(chǎn)生滲流，即在開(kāi)始滲 透時(shí)，由于有效的過(guò)水?dāng)嗝娴淖儎?dòng)也使得流動(dòng)不符合達(dá)西線性阻力定律。2 9 1 。 二、連續(xù)性方程 圖2 一i微分單元體各面上進(jìn)出流量示意圖 + 盟出 戚 地下水運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程，可由質(zhì)量守恒定律推導(dǎo)褥出，即滲流場(chǎng)中水 在某一單元體內(nèi)的增減速率等于進(jìn)出該單元體水的質(zhì)量變化速率之差。如圖 2 1 所示的微分單元體血d 如，通過(guò)左面流迸水體的質(zhì)量的速率為以毋出， 通過(guò)右面流進(jìn)水體的質(zhì)量的速率為( p 匕+ 去p u 出 妙出，則單位時(shí)間內(nèi)左右面進(jìn) 出的水的質(zhì)量之差，即凈有的流入量為 下面，最后累加各面的凈有流入流出量 曇p q 出如出，同樣，考慮前后面和t 僦 則得單位時(shí)間內(nèi)單元體內(nèi)總的進(jìn)水質(zhì)量 蘭三童! ! 堡塞望鎏莖查壁坌查堡一 一( 曇p v ，+ 言以，+ 魯以 叔妙出 q s ， 一【瓦，+ 瓦，+ 瓦= j 帆妙北 恤馴 將上式展開(kāi)，可得： 一p ( 警+ 等+ 警卜蛐一卜西3 p + b 考+ v ：割血q - e ， 式中后一括號(hào)項(xiàng)與前一括號(hào)項(xiàng)相比甚小，可以忽略不計(jì)，故式( 2 6 ) 可以寫(xiě)成： 一p ( 殺+ 等+ 巹卜吵出 q - 7 ， 上式即為水體質(zhì)量在單元體內(nèi)積累的速率，根據(jù)質(zhì)量守恒定律，它應(yīng)等于單元體 內(nèi)水體質(zhì)量m 隨時(shí)問(wèn)的變化速率，即： o m o ( p 出a y d z ) 幽( 2 8 ) 一= 一 7 展開(kāi)得： 警鄧百8 v 叫, 百8 n 瑚魯 2 刮 式中：n 為土體的孔隙率，p 為水的密度，v 為單元體的體積。 式( 2 9 ) 中的第一項(xiàng)表示單元土體的體積變化引起的水體質(zhì)量改變，為： ”戶(hù)百o v 卅礦魯 2 m 式( 2 9 ) 中的第二項(xiàng)表示單元土體的孔隙變化引起的水體質(zhì)量改變，在單元體 內(nèi)，土體的變形主要來(lái)自于孔隙體積的改變，相對(duì)于孔隙體積的改變來(lái)說(shuō)，土體骨架 顆粒的壓縮可以忽略不計(jì)。若設(shè)骨架顆粒的體積為圪，則： e；o-,)v(2-11) 由于d 礦= 0 ，即： d ( ( 1 一n ) 礦) = 0 ( 2 1 2 ) 將式( 2 - 1 2 ) 展開(kāi)，可得： 陽(yáng)( 1 一”) + ( 1 一n ) d 礦= 一v d + ( 1 一n ) d v = o ( 2 1 3 ) 化簡(jiǎn)得： dr=(1一m)唧(2-14) 故： 式他一。、中的蘭磊o n 表= 示p v 孔( 隙1 - 水 茵o g 薹v 度變化引起的水體質(zhì)量改變，此時(shí)引用( 2 - 水1 5 的)式( 2 一g ) 中的第三項(xiàng)表示孔隙水的密度變化引起的水體質(zhì)量段父此啊號(hào)l 用球”。 河海大學(xué)碩士學(xué)位論文 壓縮性與其彈性模量e 之間的倒數(shù)關(guān)系，即 瓦2 萬(wàn)12 贏 ( 2 _ 1 6 ) 根據(jù)質(zhì)量守恒定律： d p ( n v 、= p d ( n v ) + n v d p = 0 ( 21 7 ) 故： 魯一p p v 餅( 2 1 8 ) 故式( 2 - 9 ) 可以寫(xiě)成： 警甲百c g 占v + n 百a p ( 2 - 1 9 ) x , j 一般三維情況，從土體的本構(gòu)關(guān)系可得體積應(yīng)變?yōu)椋?= 丟= 掣 睜z 式中：k v 為土體的體積模量，如為土體的平均總應(yīng)力，p 為土體的平均有效應(yīng) 力，可以用下式計(jì)算： 曠掣 p ：掣 對(duì)式( 2 - 2 0 ) 進(jìn)行微分，可得： 堡：上望；土f 絲 o t k 。o tk 。f o t 太沙基一倫杜立克固結(jié)理論假定平均總應(yīng)力不隨時(shí)間變化，即 監(jiān)：一土望 o t k ，o t 將式( 2 - 2 4 ) 代入式( 2 1 9 ) 中，可得： 百o m = 卜去悟o t 研 。 。k 。j 由于水頭晟：旦+ z ，則有： p g ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 盟：0 。這樣： 西 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 、 印一西 第二章非穩(wěn)定滲流基本微分方程 i = 一三+ i ( 2 - 2 6 ) a p g o ta 、 7 當(dāng)z 不隨時(shí)問(wèn)變化時(shí)，則有： 害：p 蠑c 3 d ( 2 - 2 7 ) 畝2 p g 瓦 代人式( 2 - 9 ) ，可得： 詈g 卜擊詹 z s ， 根據(jù)質(zhì)量守恒定律，式( 2 - 2 8 ) 和式( 2 7 ) 相等，即： 一( 鼉+ 芳+ 警 = 以( 妒一去 謄 c 。啦， 當(dāng)認(rèn)為水和土是不可壓縮時(shí)，上式變?yōu)椋?一j 誓+ 誓+ 娑l = o ( 2 - 3 0 ) 【舐咖 a z l 此式為不可壓縮流體在剛體介質(zhì)中流動(dòng)的連續(xù)性方程，說(shuō)明任意點(diǎn)的單位流 量或者流速的凈有改變率等于零，對(duì)于單元體在某一個(gè)方向的改變必須與其它方 向相反符號(hào)的改變相平衡。 三、非穩(wěn)定滲流基本微分方程 當(dāng)考慮介質(zhì)和水體的壓縮性時(shí)，將達(dá)西定律代入到連續(xù)性方程( 2 1 4 ) 中， 可得非穩(wěn)定滲流得微分方程式為p 。1 ： 去卜蕓) + 茜( b 考 + 魯卜警 = p 2 9 ( ”盧一擊 詈= 墨詈 c z 吲， 上式即為考慮了土體和水的壓縮性的非穩(wěn)定滲流微分方程式。它既適用于承 壓含水層，也適用于無(wú)壓滲流，只是在應(yīng)用時(shí)，需結(jié)合特定的邊界條件和初始條 件。當(dāng)土體是各向同性時(shí)，上式變?yōu)椋?塑+魯+磐：睪罷(2-32)ox 2 + 薩+ 蠆。i 瓦 上式中：s , = p 2 9 【n p 一擊) ，稱(chēng)為單位儲(chǔ)存量( 1 m ) ，即單位體積的飽和土體 內(nèi)，當(dāng)下降1 個(gè)單位水頭時(shí)，由于土體壓縮和水的膨脹所釋放出來(lái)的儲(chǔ)存水量。 它與多孔介質(zhì)和流體的彈性特征有關(guān)。 對(duì)于有自由面的非穩(wěn)定滲流問(wèn)題，如果考意壓縮性，它仍然受方程式( 2 3 1 ) 河海大學(xué)碩士學(xué)位論文 的支配，只是在求解的過(guò)程中，需要結(jié)合變動(dòng)的自由面邊界條件。但是在一般情 況下，由于自由面的下降所引起的土體壓縮和彈性釋放水量與自由面降距所排出 的水量相比甚小，因此可以略去土體和水的壓縮性，即式( 2 - 3 1 ) 中的右端項(xiàng)為零， 故該式變?yōu)椋?曇( k 罷 + 導(dǎo)( b 爹) + 壺( t 警 = 。 c z 一。， 從形式上看，上式與穩(wěn)定滲流的微分方程完全相同，但是邊界條件不同，而 且求解所得到的水頭場(chǎng)分布是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)h = a ( x ，y ，z ，f ) 。 第二節(jié)有自由面的非穩(wěn)定滲流定解條件 每一流動(dòng)過(guò)程都是在限定的空間流場(chǎng)內(nèi)發(fā)生的。沿這些流場(chǎng)邊界起支配作用 的條件稱(chēng)之為邊界條件。研究開(kāi)始時(shí)流場(chǎng)內(nèi)的整個(gè)流動(dòng)狀態(tài)或流動(dòng)支配條件稱(chēng)之 為初始條件。邊界條件和初始條件一起統(tǒng)稱(chēng)為定解條件。求解非穩(wěn)定滲流方程時(shí)， 需要同時(shí)考慮初始條件和邊界條件。 邊界條件可以分為以下三類(lèi)： 第一類(lèi)邊界條件為邊界上給定水頭分布，或稱(chēng)為水頭邊界條件，此已知邊界 條件可以寫(xiě)為： 卜= g ，y ，z ，) ( 2 3 4 ) 第二類(lèi)邊界條件為在邊界上給定水頭的法向?qū)?shù)，或稱(chēng)為流量邊界條件，此邊界 條件可以寫(xiě)為： 乳= 專(zhuān)2 g 舭f ) ( 2 - 3 5 ) 考慮到各向異性時(shí)，還可以寫(xiě)為： t 敘o h l ，+ k ，詈”t 瓦o h 。刪 3 6 ) 上式中的q 為單位面積邊界上穿過(guò)的流量，相當(dāng)于7 一，f 。，z ：為外法線h 與坐標(biāo) 間的方向余弦。 第三類(lèi)邊界條件為混合邊界條件，是指含水層邊界的內(nèi)外水頭差和交換的流 量之間保持一定的線性關(guān)系，即： 塹三童塹鱟室望些苧查堂坌塑堡 h+aioh：(2-37) 冊(cè) 式中群為正常數(shù)，它和都是此類(lèi)邊界各點(diǎn)的已知數(shù)。 初始條件為： g ，y ，) = h o g ，y ，z )( 2 一s 8 ) 對(duì)于非穩(wěn)定滲流，變動(dòng)的滲流自由面邊界除了要滿(mǎn)足第一類(lèi)邊界條件 h + = = ( 2 - 3 9 ) 外，還應(yīng)滿(mǎn)足第二類(lèi)邊界條件的流量補(bǔ)給關(guān)系，其表達(dá)式為： 俐票剛 協(xié)4 。) 式中：為飽和差( 自由面上升) 或給水度( 自由面下降) ，它表示在自由面改變單 位高度下，從含水層單位截面積上吸收或排出的水量，是無(wú)量綱數(shù)，o 9 自出面r 4 外法線方向與垂線的交角。 圖2 - 2有自由面的滲流問(wèn)題示意圖 以上三莢邊界條件在數(shù)學(xué)上依次稱(chēng)為d i r i c h l e t 條件、n e u m a n n 條件、f o u r i e r 條件a 現(xiàn)以土壩滲流為例，如圖2 - 2 所示，其邊界條件為；已知水頭邊界f ，在 該邊界面上，肛常數(shù)；不透水邊界i _ ：，在該邊界上，o = _ h = 0 ，是流面；出滲面邊 界r 3 ，在該邊界上，要同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件，即： j l = ：和豇差 t 。，最后一個(gè)是 自由面邊界r 4 ，在該邊界上，也要同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件，即：自卜= ：和 t 孫= 河海大學(xué)碩士學(xué)位論文 由上述可知，在求解非穩(wěn)定滲流問(wèn)題的過(guò)程中，邊界條件很復(fù)雜，尤其是滲 流自由面邊界，它是一個(gè)不確定的邊界，顯示出強(qiáng)烈的非線性，目前傳統(tǒng)的方法 是用迭代法來(lái)求解，況且在非穩(wěn)定滲流問(wèn)題中，自由面是隨著時(shí)間的變化而改 變的，這就更加增加了解題的難度。 第三節(jié)本章小結(jié) 本章從基本的概念出發(fā)，推導(dǎo)t s b 穩(wěn)定滲流的微分方程式，其內(nèi)容包括： 1 以達(dá)西滲透定律和連續(xù)性方程，推導(dǎo)了各向異性多孔介質(zhì)的非穩(wěn)定滲流基本 微分方程，在推導(dǎo)過(guò)程中，嚴(yán)格從土體的三維固結(jié)理論出發(fā)，比文獻(xiàn) 3 0 中的 推導(dǎo)方法更嚴(yán)密； 2 論述了有自由面的非穩(wěn)定滲流問(wèn)題的定解條件。 第三章三維非穩(wěn)定滲流有限元法 第三章三維非穩(wěn)定滲流有限元法 本章在第二章提出的定解問(wèn)題的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出可以直接進(jìn)行求解的數(shù)學(xué)表 達(dá)式，同時(shí)采用g a l e r k i n 有限元方法，進(jìn)行有限元離散，對(duì)時(shí)間項(xiàng)采用有限差 分法，推導(dǎo)出可以直接進(jìn)行求解的有限元方程。 一、基本方程式 第一節(jié)有限元法基本計(jì)算公式 符合達(dá)西定律的非均質(zhì)各向異性可壓縮土體的三維空間非穩(wěn)定滲流，其水頭 函數(shù)所滿(mǎn)足的基本方程式為： 曇( 吒罷 + 專(zhuān)( b 考 + 曇( 屯警 = 墨詈 在q 內(nèi)c 。州 式中：h = h ( x ，y ，z ，f ) 為待求水頭函數(shù)：戤，k y ，：為以五y ，。軸為主軸方向的滲透系 數(shù)；s 為單位貯水量；q 為滲流區(qū)域。式( 3 - 1 ) 所對(duì)應(yīng)的定解條件為前述的初始 條件和邊界條件。 二、變分有限元計(jì)算公式 根據(jù)變分原理，上述定解問(wèn)題與下列泛函取極小值等價(jià)： m ，= 酬t ( 甜b ( 黔t ( 黔跏釧蚴+ 艫p z ， 有限元法是用有限個(gè)4 e - 元的集合體代替連續(xù)的滲流場(chǎng)，滲流場(chǎng)剖分成若干單 元后，滲流場(chǎng)就分解為各個(gè)單元之和，于是，泛i i t 式( 3 2 ) 相應(yīng)地分解為有關(guān)單 元泛函之和，即： 以伊則k 2 + 缸( 勢(shì)t 蝴銣蛐出+ 妒 = i i 8 + ，2 。+ 厶。( 3 - 3 ) 下面對(duì)矸、，；、野分別求導(dǎo)數(shù)和極小值。 以空間8 節(jié)點(diǎn)等參單元為例： 河海大學(xué)碩士學(xué)位論文 ，( 善，t z ) y 式中：艏，7 7 ) = i 1 ( 1 + 袱1 + 咖( 1 + 翻 ( i = l ，2 8 ) 對(duì)水頭求偏導(dǎo)數(shù)： 陋】= 斛恥潞 島= 譬 雅可比行列式： 陋】防 1 9 = _ 1 曰，：l 叢 2 l 砂 f 3 4 1 ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) 以m氓 ， 舳 。 和磷 m k 也厶軋m = = 扣拈 m：式防 為形 = ： 式陣k 式模矩防換 頭成 ：變 水寫(xiě) 中標(biāo) 其坐 。 1 l l ， x 力善( 。 = x 砒一蘇拍一砂劬一瑟 鞏一西鞏一卻鞏一西鞏一西鞏一卻毗一騭 叭一鴛姒一卻眥一鴛 眠i鞏一劫鞏百 鞏i 墮砂鞏i叭i 叭一妙叭i 1ij 夙毋脅 ，10 盟砂盟砂 盟瑟 咝知 盟 = 二 叭一鴛叭一切。日。h鞏一鴛鞏一卻 。m。h x x 眥一西姒一卻 。h 咝西。h盟騭。h x 盟西。m 如一鴛瑟一卻瑟一西 砂一騭砂一卻砂一西覷一鴛良一叻缸一西 第三章三維非穩(wěn)定滲流有限元法 矸的求導(dǎo)： 著每。= 卉尋卜( 蕓 2 ，( 爹 2 + t = ( 警 2 a ：a y d z c s 砌， 將式( 3 6 ) 代入得： 齋2 齋必( 嘴啤磚( 眺晴t ( 吣州出蛐 。孵】t 蝌+ b 蝌+ 吣= 咖”善d q d g 】。 舯鏟扒甄k 。a 蘇n , a 敏n j 叱號(hào)警+ k o n i o 出n ji 出印出 ( 3 1 】) 2 削w , - 哥： 將式( 3 5 ) i g 邊x , i - 時(shí)間取導(dǎo)數(shù)得： 等= 【槲8 則有： 景2 = 齋夠一詈出蛐= 疇c 印m h 】斟m 蛐 = j 【】墨 九t